第12讲分式的概念与运算（核心考点讲与练）

一、分式的基本概念

定义	示例剖析
分式的定义：一般地，如果 、 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 叫分子， 叫分母且 ．	例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即 ．	使 有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当 且 时， ．	使 值为0的x值为1

二、分式的基本性质

定义	示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.

三、分式的基本运算

分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂	（ ， 为正整数）

1. 分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.

⑴先把除法变为乘法；

⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；

⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；

⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．

2. 分式的加减

⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。

⑵异分母分式加减法则：

运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．

3. 分式的混合运算

注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.

考点一：分式的基本概念

例题1 当x取何值时，分式 的值为0？

【答案】x=－1；

【解析】依题得 ，解得 ，所以 . 求解此类题目，最易忽略分母不能为零的情况！

例题2当x________时，分式 有意义．

【答案】 ．

【解析】解：当2x﹣1≠0，即x 时，分式 有意义．故答案为 ．

例题3 当x=时，分式 的值为0.

【答案】 .

【解析】解：依题： ，解之得 ，故 .

例题4⑴下列式子： ， 其中是分式的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

⑵当 时，分式 有意义；当 时，分式 有意义；

⑶当 为何值时，下列分式的值为 ？

① ② ③ ④ ⑤

1. ⑴D； ⑵ ， 为任意实数;

_⑶① ， ② ， ③ _，④ ， ⑤ .

例题5⑴当 时，分式 的值为1；如果分式 的值为 ，则 的值是_____.

⑵当 时，分式 的值为正数；当 时，分式 的值为负数；当 时，分式 的值为正整数.

⑶当 时，分式 无意义，当 时，分式 的值为0，则 _____.

2. ⑴ ， 0；

，即 ，解得 ； ，即 ，解得 ；

⑵ ， ，=0、1、2或5.

，即 ，解得 ；

，即 ，解得 ；或 ，不等式组无解.

⑶ ， ，

考点二：分式的基本性质

例题6下列各式中是最简分式的是（　　）

A． ； B． ； C． ； D．

【答案】B；

【解析】解：A、该分式的分子分母中含有公因式（x﹣5），不是最简分式，故A不符合题意；B、该分式符合最简分式的定义，故B符合题意；C、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣b），不是最简分式，故C不符合题意；D、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故D不符合题意．故选：B．

例题7先化简，再求值： ，其中 .

【答案】 ，-2；

【解析】解:原式= = ,当 时，原式= .

例题8 如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）

扩大到原来的3倍； 扩大到原来的9倍； 缩小到原来的 ； 不变

【答案】A.

【解析】将3x, 3y分别代入分式中的x, y得 ，因此扩大到原来的3倍，故选A.在代入变化后的数据之后无需计算，只需通过简单的式子变形，将其变为与原式相似的形式即可.

例题9化简： ＝.

【答案】 ；

【解析】原式＝ . 分式的化简应先将分子分母分别进行因式分解再约去相同的因式，约分的依据就是分式的基本性质.

例题10⑴下列式子中，正确的是（ ）

_A. B. C. D.

⑵若 ， 的值扩大为原来的 倍，下列分式的值如何变化？

① ② ③ ④

⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：

．

3. ⑴ D；

⑵① ，不发生变化；

② ，是原来的 倍；

③ ，是原来的 倍；

④ ，是原来的 倍；

⑶ ； ； .

例题11⑴ 约分：

⑵ 求下列各组分式的最简公分母：

① 与 ；② ， 与

⑶通分：① ；

② ， ， ；

③ ， ，

⑷ 下列分式为最简分式的是（ ）

A． B． C． D．

4. ⑴ ， ， ， ；⑵ ① ；②

⑶① ， ，

②先分解因式，而后找公分母为

， ， ；

③ ， .

_{易错点：在通分的时候，分子的位置忘了同时乘}.

⑷ D.

考点三：分式的基本运算

例题12计算： ______．

【答案】 ；

【解析】解： , 故答案为： .

例题13 计算： ＝　 　．

【答案】 ；

【解析】解：原式＝ = = .

考点四：整数指数幂及运算

例题14将分式 表示成不含有分母的形式：_________________.

【答案】 ;

【解析】解： ,故答案为： .

例题15PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将 0.0000025 用科学记数法表示为_______________．

【答案】 ;

【解析】解：由题意得： ；故答案为： .

例题16⑴ 用科学计数法表示下列各数：

⑵ 计算： ① ②

⑶下列等式不成立的是（ ）

A. B. C. D.

5. ⑴

⑵ ① ②

⑶ D

例题17计算：

⑴ ⑵

_⑶ ⑷

⑸ ⑹

6. ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；

⑷ ； ⑸1； ⑹ .

【探究对象】分式运算的几种技巧

【探究目的】在基本运算的基础上进行运算技巧的拓展，使学生更深入地掌握本讲内容

【变式一】先约分后通分技巧

计算

【分析】两个分式均能约分，故先约分后再计算

【解析】原式

【变式二】分离整数技巧

计算

【分析】两个分式的分子、分母不能约分，分离整数方法可使计算化简

【解析】原式=

【点评】分离整数这种方法是复杂分式运算必考察，秋季讲义仍有专项练习，希望教师在暑

假能有所铺垫

【变式三】裂项相消技巧

计算

【分析】此类题可利用 裂项相消计算

【解析】原式

【变式四】分组计算技巧

计算

【分析】通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为 ，第二项、第三项分母乘积为 ，采取分组计算比较简捷

【解析】原式

【变式五】变形技巧

已知 ，求 的值

【分析】将已知两边同除以 可变出 ，然后利用完全平方公式的逆用可求出 的值

【解析】由 ，两边同除以 ，得

，即

∴

1. 已知三个数x、y、z满足 ＝ ， ＝ ， ＝ ．则 的值为　　　　　.

7. 由 ＝ ，得 ＝ ，裂项得 ＋ ＝ ．

同理 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ．

所以， ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋ ＋ ＝ ．

于是 ＝ ＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ ．

【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧．

【教师备选】全国中考分式运算八例

1.计算代数式 的值，其中 ， ， ．

【解析】原式=

当 ， ， 时，

原式=3

【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，注意化为最简后再代数。

2.化简求值： ，其中：

【分析】如果用先算括号中的异分母的分式相加减，所得结果再与后项约分略显麻烦

【解析】利用乘法分配率：原式

当 时，原式=1

注意括号的添加：

3.计算：

【解析】原式

.

4.计算： ．

【解析】原式

5.化简分式 ，并从 中选一个你认为合适的整数x代入求值．

【解析】原式

由于当x= 或x=1或x=0时，分式的分母为0，

故取x的值时，不可取x= 或x=1或x=0，

若取x=2，

此时原式 ．

6.先化简 ，然后从 的范围内选取一个合适的整数作为 的值代入求值．

_{【解析】原式}

∵ ，且 为整数，∴若使分式有意义， 只能取 和1.

若取 =1时，原式= .

7.已知： ， ，求 的值．

【解析】原式

当 ， 时，原式

8.已知： ，求 的值。

【解析】原式

【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。

思维拓展训练(选讲)

1. 当 取何值时，下列分式有意义：

⑴ ； ⑵ ； ⑶ .

1. ⑴ ； ⑵x取任意实数； ⑶ 且 .

2. 计算：

⑴ ； ⑵ ；

⑶ ；

2. ⑴ 原式 ；

⑵ 方法：直接通分或拆分. 原式 ；

⑶方法：分步通分.

原式

.

3. 已知 为实数，且 ，设 请比较 与 的大小 .

8. 由通分计算： ，则

由 可得

∴

4. 计算

3. 

知识模块一 分式的基本概念 课后演练

1. ⑴已知分式 的值为零，那么 的值是,

⑵当 ,分式 的值为正数 .

9. ⑴ ； ⑵ _.

知识模块二 分式的基本性质 课后演练

2. 若 成立，则 的值为．

1. .

3. 约分：

⑴ ；⑵ ；⑶ .

11. ⑴ ⑵ ⑶

知识模块三 分式的基本运算 课后演练

4. 计算： ．

1. 原式= .

5. 计算：

13. 原式= .

课后测

1. ⑴当x_______时，分式 有意义，当x_______时，分式 无意义．

⑵当x__________时，分式 的值为零．

⑶当x__________时，分式 的值为正．

⑷分式 的值为零，则a____， ．

4. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ .

2. 计算下列各式

⑴ ；

⑵ ；

⑶ ；⑷ ；

5. ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ .

3. 计算

⑴ ； ⑵ ；

⑶ ； ⑷ ；

6. ⑴ ； ⑵ ； ⑶0 ； ⑷ .