【324428】2024春七年级数学下册 第12讲 分式的概念与运算(核心考点讲与练)(含解析)(新版
第12讲分式的概念与运算(核心考点讲与练)
一、分式的基本概念
-
定义
示例剖析
分式的定义:一般地,如果
、
表示两个整式,并且
中含有字母,那么式子
叫做分式,其中
叫分子,
叫分母且
.
例如
分式有意义(或分式存在)的条件:分式的分母不等于零即
.
使
有意义的条件是
分式的值为零的条件:分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零.
即当
且
时,
.
使
值为0的x值为1
二、分式的基本性质
-
定义
示例剖析
分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
即
约分:利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因式,但不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同时乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个分式变成分母相同的分式.为了通分,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.
三、分式的基本运算
-
-
-
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
(
,
为正整数)
-
-
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法;
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘;
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式.
分式的加减
⑴同分母分式加减法则:分母不变,分子相加减。
⑵异分母分式加减法则:
运算步骤:①先确定最简公分母;②对每项通分,化为相同分母; ③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简,化为最简分式.
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序:先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.
考点一:分式的基本概念
例题1
当x取何值时,分式
的值为0?
【答案】x=-1;
【解析】依题得
,解得
,所以
.
求解此类题目,最易忽略分母不能为零的情况!
例题2当x________时,分式
有意义.
【答案】
.
【解析】解:当2x﹣1≠0,即x
时,分式
有意义.故答案为
.
例题3
当x=时,分式
的值为0.
【答案】
.
【解析】解:依题:
,解之得
,故
.
例题4⑴下列式子:
,
其中是分式的有(
)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
⑵当
时,分式
有意义;当
时,分式
有意义;
⑶当
为何值时,下列分式的值为
?
①
②
③
④
⑤
⑴D; ⑵
,
为任意实数;
⑶①
,
②
, ③
,④
, ⑤
.
例题5⑴当
时,分式
的值为1;如果分式
的值为
,则
的值是_____.
⑵当
时,分式
的值为正数;当
时,分式
的值为负数;当
时,分式
的值为正整数.
⑶当
时,分式
无意义,当
时,分式
的值为0,则
_____.
⑴
, 0;
,即
,解得
;
,即
,解得
;
⑵
,
,=0、1、2或5.
,即
,解得
;
,即
,解得
;或
,不等式组无解.
⑶
,
,
考点二:分式的基本性质
例题6下列各式中是最简分式的是( )
A.
;
B.
;
C.
;
D.
【答案】B;
【解析】解:A、该分式的分子分母中含有公因式(x﹣5),不是最简分式,故A不符合题意;B、该分式符合最简分式的定义,故B符合题意;C、该分式的分子分母中含有公因式(a﹣b),不是最简分式,故C不符合题意;D、该分式的分子分母中含有公因数4,不是最简分式,故D不符合题意.故选:B.
例题7先化简,再求值:
,其中
.
【答案】
,-2;
【解析】解:原式=
=
,当
时,原式=
.
例题8
如果将分式
中的x和y都扩大到原来的3倍,那么分式的值(
)
扩大到原来的3倍;
扩大到原来的9倍;
缩小到原来的
;
不变
【答案】A.
【解析】将3x,
3y分别代入分式中的x,
y得
,因此扩大到原来的3倍,故选A.在代入变化后的数据之后无需计算,只需通过简单的式子变形,将其变为与原式相似的形式即可.
例题9化简:
=.
【答案】
;
【解析】原式=
.
分式的化简应先将分子分母分别进行因式分解再约去相同的因式,约分的依据就是分式的基本性质.
例题10⑴下列式子中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
⑵若
,
的值扩大为原来的
倍,下列分式的值如何变化?
①
②
③
④
⑶不改变分式的值,把分式的分子和分母各项系数都化成整数:
.
⑴ D;
⑵①
,不发生变化;
②
,是原来的
倍;
③
,是原来的
倍;
④
,是原来的
倍;
⑶
;
;
.
例题11⑴
约分:
⑵ 求下列各组分式的最简公分母:
①
与
;②
,
与
⑶通分:①
;
②
,
,
;
③
,
,
⑷ 下列分式为最简分式的是( )
A.
B.
C.
D.
⑴
,
,
,
;⑵ ①
;②
⑶①
,
,
②先分解因式,而后找公分母为
,
,
;
③
,
.
易错点:在通分的时候,分子的位置忘了同时乘.
⑷ D.
考点三:分式的基本运算
例题12计算:
______.
【答案】
;
【解析】解:
,
故答案为:
.
例题13
计算:
=
.
【答案】
;
【解析】解:原式=
=
=
.
考点四:整数指数幂及运算
例题14将分式
表示成不含有分母的形式:_________________.
【答案】
;
【解析】解:
,故答案为:
.
例题15PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm0.0000025m)的颗粒物,含有大量有毒、有害物质,也称可入肺颗粒物.将 0.0000025 用科学记数法表示为_______________.
【答案】
;
【解析】解:由题意得:
;故答案为:
.
例题16⑴ 用科学计数法表示下列各数:
⑵ 计算:
①
②
⑶下列等式不成立的是( )
A.
B.
C.
D.
⑴
⑵ ①
②
⑶ D
例题17计算:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑴
; ⑵
; ⑶
;
⑷
;
⑸1;
⑹
.
【探究对象】分式运算的几种技巧
【探究目的】在基本运算的基础上进行运算技巧的拓展,使学生更深入地掌握本讲内容
【变式一】先约分后通分技巧
计算
【分析】两个分式均能约分,故先约分后再计算
【解析】原式
【变式二】分离整数技巧
计算
【分析】两个分式的分子、分母不能约分,分离整数方法可使计算化简
【解析】原式=
【点评】分离整数这种方法是复杂分式运算必考察,秋季讲义仍有专项练习,希望教师在暑
假能有所铺垫
【变式三】裂项相消技巧
计算
【分析】此类题可利用
裂项相消计算
【解析】原式
【变式四】分组计算技巧
计算
【分析】通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为
,第二项、第三项分母乘积为
,采取分组计算比较简捷
【解析】原式
【变式五】变形技巧
已知
,求
的值
【分析】将已知两边同除以
可变出
,然后利用完全平方公式的逆用可求出
的值
【解析】由
,两边同除以
,得
,即
∴
已知三个数x、y、z满足
=
,
=
,
=
.则
的值为 .
由
=
,得
=
,裂项得
+
=
.
同理
+
=
,
+
=
.
所以,
+
+
+
+
+
=
+
=
,
+
+
=
.
于是
=
+
+
=
,所以
=
.
【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源,具有一定的难度,属于技能考查.学生要想顺利解答此题,必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧.
【教师备选】全国中考分式运算八例
1.计算代数式
的值,其中
,
,
.
【解析】原式=
当
,
,
时,
原式=3
【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法,提公因式并约分的应用,形式简洁,而又能考查多个知识点,注意化为最简后再代数。
2.化简求值:
,其中:
【分析】如果用先算括号中的异分母的分式相加减,所得结果再与后项约分略显麻烦
【解析】利用乘法分配率:原式
当
时,原式=1
注意括号的添加:
3.计算:
【解析】原式
.
4.计算:
.
【解析】原式
5.化简分式
,并从
中选一个你认为合适的整数x代入求值.
【解析】原式
由于当x=
或x=1或x=0时,分式的分母为0,
故取x的值时,不可取x=
或x=1或x=0,
若取x=2,
此时原式
.
6.先化简
,然后从
的范围内选取一个合适的整数作为
的值代入求值.
【解析】原式
∵
,且
为整数,∴若使分式有意义,
只能取
和1.
若取
=1时,原式=
.
7.已知:
,
,求
的值.
【解析】原式
当
,
时,原式
8.已知:
,求
的值。
【解析】原式
【点评】本题考查了分式的化简求值,注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。
思维拓展训练(选讲)
当
取何值时,下列分式有意义:
⑴
; ⑵
; ⑶
.
⑴
; ⑵x取任意实数; ⑶
且
.
计算:
⑴
;
⑵
;
⑶
;
⑴ 原式
;
⑵ 方法:直接通分或拆分.
原式
;
⑶方法:分步通分.
原式
.
已知
为实数,且
,设
请比较
与
的大小 .
由通分计算:
,则
由
可得
∴
计算
知识模块一 分式的基本概念 课后演练
⑴已知分式
的值为零,那么
的值是,
⑵当
,分式
的值为正数
.
⑴
; ⑵
.
知识模块二 分式的基本性质 课后演练
若
成立,则
的值为.
.
约分:
⑴
;⑵
;⑶
.
⑴
⑵
⑶
知识模块三 分式的基本运算 课后演练
计算:
.
原式=
.
计算:
原式=
.
课后测
⑴当x_______时,分式
有意义,当x_______时,分式
无意义.
⑵当x__________时,分式
的值为零.
⑶当x__________时,分式
的值为正.
⑷分式
的值为零,则a____,
.
⑴
⑵
⑶
⑷
.
计算下列各式
⑴
;
⑵
;
⑶
;⑷
;
⑴
;⑵
; ⑶
;⑷
.
计算
⑴
; ⑵
;
⑶
; ⑷
;
⑴
; ⑵
; ⑶0 ; ⑷
.
- 1【354787】初一期末试卷一
- 2【354786】初一期末试卷五
- 3【354785】初一期末试卷四
- 4【354784】初一期末试卷三
- 5【354783】初一期末试卷二
- 6【350123】第6章 知识点梳理
- 7【350122】第5章 知识点梳理
- 8【350121】第4章 知识点梳理
- 9【350120】第3章 知识点梳理
- 10【350119】第2章 知识点梳理
- 11【350118】第1章 知识点梳理
- 12【350117】6.2 方差
- 13【350116】6.1.3 众数
- 14【350115】6.1.2 中位数
- 15【350114】6.1.1 第2课时 加权平均数
- 16【350112】5.3 图形变换的简单应用
- 17【350113】6.1.1 第1课时 平均数
- 18【350111】5.2 旋转
- 19【350110】5.1.2 轴对称变换
- 20【350109】5.1.1 轴对称图形
- 【350108】4.6 两条平行线间的距离
- 【350107】4.5 第2课时 垂线段与点到直线的距离
- 【350106】4.5 第1课时 垂线
- 【350105】4.4 第2课时 平行线的判定方法2,3
- 【350104】4.4 第1课时 平行线的判定方法1
- 【350103】4.3 平行线的性质
- 【350102】4.2 平移
- 【350101】4.1.2 相交直线所成的角
- 【350100】4.1.1 相交与平行
- 【350099】3.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
- 【350098】3.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解
- 【350097】3.2 第2课时 提多项式公因式
- 【350096】3.2 第1课时 提单项式公因式
- 【350095】3.1 多项式的因式分解
- 【350094】2.2.3 运用乘法公式进行计算
- 【350093】2.2.2 第2课时 运用完全平方公式进行计算
- 【350092】2.2.2 第1课时 完全平方公式
- 【350091】2.2.1 平方差公式
- 【350090】2.1.4 第2课时 多项式与多项式相乘
- 【350089】2.1.4 第1课时 单项式与多项式相乘