第11讲因式分解（核心考点讲与练)

一．因式分解的意义

1、分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．

二．公因式

1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．

2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：

①定系数，即确定各项系数的最大公约数；

②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；

③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．

三．因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

2、具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．

提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．

4、提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．

四．因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．

　　平方差公式：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）；

　　完全平方公式：a²±2ab+b²＝（a±b）²；

　2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．

五．提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用．

六、因式分解-分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．

例如：①ax+ay+bx+by

＝x（a+b）+y（a+b）

＝（a+b）（x+y）

②2xy﹣x²+1﹣y²

＝﹣（x²﹣2xy+y²）+1

＝1﹣（x﹣y）²

＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）

七．因式分解-十字相乘法等

借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法．

①x²+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x²+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax²+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁，a₂的积a₁•a₂，

把常数项c分解成两个因数c₁，c₂的积c₁•c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好是一

次项b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c＝（a₁x+c₁）（a₂x+c₂）．

八．实数范围内分解因式

实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），

一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．

例如：x²﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解

x²﹣2＝x²﹣（ ）²＝（x+ ）（x﹣ ）

九．因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题．

2、利用因式分解解决证明问题．

3、利用因式分解简化计算问题．

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．

2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．

一．因式分解的意义（共3小题）

1．（莱州市期末）已知多项式ax²+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+4），则abc为（　　）

A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12

【分析】把多项式乘法展开再根据对应项系数相等即可求解．

【解答】解：∵（x﹣1）（x+4），

＝x²+3x﹣4，

＝ax²+bx+c，

∴a＝1，b＝3，c＝﹣4．

则abc＝﹣12．

故选：D．

【点评】注意正确计算多项式的乘法运算，然后根据对应项系数相等求解是解题的关键．

2．（阳江期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay

C．x²+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x²+4x+3

【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．

【解答】解：A、a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；

B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、x²+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

D、（x+1）（x+3）＝x²+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．

3．（淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得

x²﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x²﹣4x+m＝x²+（n+3）x+3n

∴ ．

解得：n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x²+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x²﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x²+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：

2x²+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），

则2x²+3x﹣k＝2x²+（2a﹣5）x﹣5a

∴ ．

解得：a＝4，k＝20．

故另一个因式为（x+4），k的值为20．

【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．

二．公因式（共2小题）

4．（沂源县期末）6x³y²﹣3x²y³分解因式时，应提取的公因式是（　　）

A．3xy B．3x²y C．3x²y³ D．3x²y²

【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．

【解答】解：6x³y²﹣3x²y³＝3x²y²（2x﹣y），

因此6x³y²﹣3x²y³的公因式是3x²y²．

故选：D．

【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．

5．（南京期中）多项式3a²b﹣6a³b各项的公因式是　3a²b　．

【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；即可确定答案．

【解答】解：∵3a²b﹣6a³b＝3a²b（1﹣2a），

∴公因式为：3a²b．

故答案为：3a²b．

【点评】此题考查了公因式的确定方法．如果各项是单项式，则先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；如果各项是多项式，则需要先因式分解．

三．因式分解-提公因式法（共4小题）

6．（天宁区校级月考）因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝　（x﹣y）（m﹣1）　．

【分析】直接将原式变形，进而提取公因式（m﹣1），进而得出答案．

【解答】解：原式＝x（m﹣1）﹣y（m﹣1）

＝（m﹣1）（x﹣y）．

故答案为：（m﹣1）（x﹣y）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

7．（启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　（y﹣z）（2a+3b）　．

【分析】利用提公因式法分解即可．

【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）

＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）

＝（y﹣z）（2a+3b）．

【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．

8．（高邮市校级模拟）因式分解：3x⁴﹣9x²＝　3x²（x²﹣3）　．

【分析】提公因式3x²分解因式即可．

【解答】解：3x⁴﹣9x²

＝3x²（x²﹣3）．

故答案为：3x²（x²﹣3）．

【点评】本题主要考查因式分解﹣提公因式法，正确找到公因式是解题的关键．

9．（江都区二模）若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a²b+ab²的值等于　﹣2　．

【分析】原式提取公因式，把ab与a+b整体代入计算即可求出值．

【解答】解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，

∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及代数式求值，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．

四．因式分解-运用公式法（共4小题）

10．（乐亭县期末）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）

A．﹣x²+y² B．﹣x²﹣y² C．4x²+4xy﹣y² D．x²+xy+y²

【分析】根据平方差公式：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a²±2ab+b²＝（a±b）²，进行分析即可．

【解答】解：A、﹣x²+y²可以用平方差分解，故此选项符合题意；

B、﹣x²﹣y²不能用平方差分解，故此选项不符合题意；

C、4x²+4xy﹣y²不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；

D、x²+xy+y²不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式和完全平方公式．

11．（宜兴市模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．x²+4y² B．﹣x²+4y² C．x²﹣2y+1 D．﹣x²﹣4y²

【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．

【解答】解：A．x²+4y²两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；

B．﹣x²+4y²是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；

C．x²﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；

D．﹣x²﹣4y²两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．

故选：B．

【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．

12．（遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）³+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．

【解答】解：（x﹣y）³+4（y﹣x）

＝（x﹣y）³﹣4（x﹣y）

＝（x﹣y）[（x﹣y）²﹣4]

＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），

故将多项式（x﹣y）³+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；

故选：A．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．

13．（朝天区期末）分解因式：a²﹣4ab+4b²＝　（a﹣2b）²　．

【分析】利用完全平方公式即可进行因式分解．

【解答】解：原式＝a²﹣2×a×2b+（2b）²＝（a﹣2b）²，

故答案为：（a﹣2b）²．

【点评】本题考查应用公式法分解因式，掌握a²±2ab+b²＝（a±b）²是正确解答的关键．

五．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）

14．（绿园区期末）因式分解：

（1）4m²﹣36；

（2）2a²b﹣8ab²+8b³．

【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；

（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：（1）原式＝4（m²﹣9）

＝4（m+3）（m﹣3）；

（2）原式＝2b（a²﹣4ab+4b²）

＝2b（a﹣2b）²．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

15．（通州区期末）分解因式：

（1）2x²﹣8y²；

（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）²．

【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．

（2）逆用完全平方公式，再进行化简．

【解答】解：（1）2x²﹣8y²

＝2（x²﹣4y²）

＝2（x+2y）（x﹣2y）．

（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）²

＝[2+3（m﹣1）]²

＝（3m﹣1）²．

【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．

六．因式分解-分组分解法（共3小题）

16．（玄武区校级期中）因式分解

（1）m²（x﹣2）+m（2﹣x）

（2）（x+y）²﹣4（x+y﹣1）；

（3）（x²+y²）²﹣4x²y²；

（4）x³+x²y﹣xy²﹣y³．

【分析】（1）先提公因式，再提公因式即可；

（2）利用完全平方公式进行因式分解；

（3）先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式进行因式分解；

（4）先利用分组分解法进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．

【解答】解：（1）m²（x﹣2）+m（2﹣x）

＝m²（x﹣2）﹣m（x﹣2）

＝（x﹣2）（m²﹣m）

＝m（x﹣2）（m﹣1）；

（2）（x+y）²﹣4（x+y﹣1）

＝（x+y）²﹣4（x+y）+4

＝（x+y﹣2）²；

（3）（x²+y²）²﹣4x²y²

＝（x²+y²+2xy）（x²+y²﹣2xy）

＝（x+y）²（x﹣y）²；

（4）x³+x²y﹣xy²﹣y³

＝x²（x+y）﹣y²（x+y）

＝（x+y）（x²﹣y²）

＝（x+y）²（x﹣y）．

【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式进行因式分解的一般步骤是解题的关键．

17．（临西县期末）阅读下面的文字与例题．

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：

（1）am+an+bm+bn

＝（am+bm）+（an+bn）

＝m（a+b）+n（a+b）

＝（a+b）（m+n）

（2）x²﹣y²﹣2y﹣1＝x²﹣（y²+2y+1）

＝x²﹣（y+1）²

＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）

试用上述方法分解因式a²+ab+2ac+bc+c²＝　（a+c）（a+b+c）　．

【分析】首先将原式重新分组再利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出即可．

【解答】解：a²+ab+2ac+bc+c²

＝（a+c）²+b（a+c）

＝（a+c+b）（a+c）．

故答案为：（a+c+b）（a+c）．

【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．

18．（金坛区期末）因式分解：4x²﹣y²﹣2y﹣1＝　（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）　．

【分析】先给后三项加上一个负括号，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解．

【解答】解：4x²﹣y²﹣2y﹣1

＝4x²﹣（y²+2y+1）

＝（2x）²﹣（y+1）²

＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．

故答案为：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．

【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法并合理分组是解决本题的关键．

七．因式分解-十字相乘法等（共5小题）

19．（淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x²+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x²+ax+b分解因式正确的结果为　（x﹣6）（x+2）　．

【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．

【解答】解：因式分解x²+ax+b时，

∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），

∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，

又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），

∴a＝﹣8+4＝﹣4，

∴原二次三项式为x²﹣4x﹣12，

因此，x²﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），

故答案为：（x﹣6）（x+2）．

【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．

20．（虹口区期末）分解因式：2a²﹣a﹣6＝　（2a+3）（a﹣2）　．

【分析】原式利用十字相乘法分解即可．

【解答】解：原式＝（2a+3）（a﹣2）．

故答案为：（2a+3）（a﹣2）．

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（玄武区校级期中）分解因式：

（1）3ax²+6axy+3ay²；

（2）（4m²+9）²﹣144m²；

（3）x²﹣xy+4x﹣4y；

（4）（x²﹣3）²+（x²﹣3）﹣2．

【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可；

（2）先根据平方差公式进行分解，再根据完全平方公式分解因式即可；

（3）先分组，再提取公因式即可；

（4）先根据十字相乘法分解因式，再根据平方差公式分解因式即可．

【解答】解：（1）3ax²+6axy+3ay²

＝3a（x²+2xy+y²）

＝3a（x+y）²；

（2）（4m²+9）²﹣144m²；

＝（4m²+9+12m）（4m²+9﹣12m）

＝（2m+3）²（2m﹣3）²；

（3）x²﹣xy+4x﹣4y

＝（x²﹣xy）+（4x﹣4y）

＝x（x﹣y）+4（x﹣y）

＝（x﹣y）（x+4）；

（4）（x²﹣3）²+（x²﹣3）﹣2

＝（x²﹣3+2）（x²﹣3﹣1）

＝（x²﹣1）（x²﹣4）

＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．

【点评】本题考查了分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．

22．（济阳区期末）阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x²+2x）（x²+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x²+2x”看成一个整体，令x²+2x＝y，则原式＝y²+2y+1＝（y+1）²再将“y”还原即可．

解：设x²+2x＝y．

原式＝y（y+2）+1（第一步）

＝y²+2y+1（第二步）

＝（y+1）²（第三步）

＝（x²+2x+1）²（第四步）．

问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果　（x+1）⁴　；

②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式（x²﹣6x+8）（x²﹣6x+10）+1进行因式分解；

（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：

（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．

【分析】（1）①最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；

②根据材料，用换元法进行分解因式；

（2）设1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y，则原式＝2021（y+2+3+…+2020），再将y代入即可求解．

【解答】解：（1）①设x²+2x＝y．

原式＝y（y+2）+1（第一步）

＝y²+2y+1（第二步）

＝（y+1）²（第三步）

＝（x²+2x+1）²（第四步）

＝（x+1）⁴，

故答案为：（x+1）⁴；

②设x²﹣6x＝y，

原式＝（y+8）（y+10）+1

＝y²+18y+80+1

＝（y+9）²

＝（x²﹣6x+9）²

＝（x﹣3）⁴；

（2）设1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y，

原式＝y（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）

＝y（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）

＝2021y+2021（2+3+…+2020）

＝2021（y+2+3+…+2020）

＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）

＝2021×1

＝2021．

【点评】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．

23．（南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：

x⁴+4＝（x⁴+4x²+4）﹣4x²＝（x²+2）²﹣（2x）²＝（x²﹣2x+2）（x²+2x+2）．

（1）按照这种方法把多项式x⁴+4y⁴分解因式；

（2）分解因式：a⁴+a²b²+b⁴．

【分析】（1）将原式变形为x⁴+4y⁴＝x⁴+4x²y²+4y⁴﹣4x²y²，进一步分解可得；

（2）将原式变形为a⁴+2a²b²+b⁴﹣a²b²＝（a²+b²）²﹣（ab）²再进一步分解可得．

【解答】解：（1）x⁴+4y⁴

＝x⁴+4x²y²+4y⁴﹣4x²y²

＝（x²+2y²）²﹣4x²y²

＝（x²+2y²+2xy）（x²+2y²﹣2xy）；

（2）a⁴+a²b²+b⁴

＝a⁴+2a²b²+b⁴﹣a²b²

＝（a²+b²）²﹣（ab）²

＝（a²+b²+ab）（a²+b²﹣ab）．

【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．

八．实数范围内分解因式（共3小题）

24．（如皋市校级月考）在实数范围内分解因式：a²﹣3b²＝　（a+ ）（a﹣ ）　．

【分析】利用平方差公式因式分解即可．

【解答】解：a²﹣3b²

＝a²﹣（ ）²

＝（a+ ）（a﹣ ）．

【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，一定要注意分解到不能再分解为止．

25．（南岗区模拟）在实数范围内分解因式：x²y﹣2y＝　y（x+ ）（x﹣ ）　．

【分析】先提取公因式y后，再把剩下的式子写成x²﹣ ，符合平方差公式的特点，可以继续分解．

【解答】解：x²y﹣2y＝y（x²﹣2）＝y（x+ ）（x﹣ ）．

故答案为：y（x+ ）（x﹣ ）．

【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

26．（崇川区校级月考）因式分解：

（1）x²﹣2（实数范围内）；

（2）﹣3ax²+18axy﹣27ay²．

【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）原式＝（x+ ）（x﹣ ）；

（2）原式＝﹣3a（x²﹣6xy+9y²）

＝﹣3a（x﹣3y）²．

【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

九．因式分解的应用（共3小题）

27．（亭湖区期末）把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（　　）

A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数

【分析】用字母设出原两位数的十位数字和个位数字，表示出原两位数和新两位数的和，进行因式分解，看是哪个常数的倍数即可．

【解答】解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，

∴这两个数的和为11a+11b＝11（a+b），

∴所得的和一定是11的倍数，

故选：C．

【点评】本题考查了因式分解的应用；注意两位数的表示方法为：10×十位数字+个位数字．

28．（崇川区期末）（阅读材料）

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝ ．

例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝ ＝ ．

（探索规律）

（1）F（15）＝　 　，F（24）＝　 　，…；

（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝　1　，…；

猜想：F（x²）＝　1　（x是正整数）．

（应用规律）

（3）若F（x²+x）＝ ，且x是正整数，求x的值；

（4）若F（x²﹣11）＝1，请直接写出x的值．

【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入F（n）＝ 中进行计算即可；

（2）由完全平方数的特点可知结果为1；

（3）把x²+x化为x（x+1）即可得出结果；

（4）把（x²﹣11）写成完全平方数的形式即可得出x．

【解答】解：（1）∵3×5＝15，

∴F（15）＝ ；

∵4×6＝24，

∴F（24）＝ ；

故答案为： ； ；

（2）∵4，9，25都是平方数，

∴F（25）＝1，F（X²）＝1，

故答案为：1；1；

（3）∵F（x²+x）＝ ，且x²+x＝x（x+1），

∴x（x+1）＝8×9，

∴x＝8，

即x的值为8；

（4）∵F（x²﹣11）＝1，

∴（x²﹣11）是一个完全平方数，

∴x²﹣11＝x²﹣12+1，

∴2x＝12，

∴x＝6，

即x的值为6．

【点评】本题属于新定义问题，从题目所给的信息中分析得出规律从而掌握分解因数的方法，熟悉完全平方数的特点是解题关键．

29．（南昌期末）阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）＝0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²＝0，∴（m﹣n）²＝0，（n﹣4）²＝0，∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x²﹣2xy+2y²+6y+9＝0，求xy的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；

（3）已知a﹣b＝8，ab+c²﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．

【分析】（1）根据x²﹣2xy+2y²+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）²+（y+3）²＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；

（2）首先根据a²+b²﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）²+（b﹣6）²＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；

（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c²﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）²+（c﹣8）²＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．

【解答】解：（1）∵x²﹣2xy+2y²+6y+9＝0，

∴（x²﹣2xy+y²）+（y²+6y+9）＝0，

∴（x﹣y）²+（y+3）²＝0，

∴x﹣y＝0，y+3＝0，

∴x＝﹣3，y＝﹣3，

∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，

即xy的值是9．

（2）∵a²+b²﹣10a﹣12b+61＝0，

∴（a²﹣10a+25）+（b²﹣12b+36）＝0，

∴（a﹣5）²+（b﹣6）²＝0，

∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，

∴a＝5，b＝6，

∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，

∴6≤c＜11，

∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．

（3）∵a﹣b＝8，ab+c²﹣16c+80＝0，

∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）²＝0，

∴（a﹣4）²+（c﹣8）²＝0，

∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，

∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，

∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，

即a+b+c的值是8．

【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．

（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．

题组A 基础过关练

一．选择题（共8小题）

1．（宁波模拟）下列因式分解正确的是（　　）

A．﹣2a²+4a＝﹣2a（a+2） B．x²﹣6xy+9y²＝（x﹣3y）²

C．2x²﹣y²＝（2x+y）（2x﹣y） D．a²+b²＝（a+b）²

【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可．

【解答】解：由于﹣2a²+4a＝﹣2a（a﹣2），所以选项A不符合题意；

由于x²﹣6xy+9y²＝（x﹣3y）²，所以选项B符合题意；

由于4x²﹣y²＝（2x+y）（2x﹣y），所以选项C不符合题意；

由于a²+2ab+b²＝（a+b）²，所以选项D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．

2．（上虞区期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（　　）

①﹣4x²﹣y²；

②4x²﹣（﹣y）²；

③a²+2ab﹣b²；

④x+1+ ；

⑤m²n²+4﹣4mn．

A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤

【分析】根据平方差公式及完全平方公式进行判断即可求求解．

【解答】解：①﹣4x²﹣y²，不符合平方差公式，故不能用公式法分解因式；

②4x²﹣（﹣y）²＝（2x+y）（2x﹣y），符合平方差公式，故能用公式法分解因式；

③a²+2ab﹣b²，不符合完全平方公式，故不能用公式法分解因式；

④x+1+ ＝ ，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式；

⑤m²n²+4﹣4mn＝（mn﹣2）²，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式，

故选：C．

【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，掌握平方差公式及完全平方公式是解题的关键．

3．（南浔区期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（　　）

A．4x²﹣1 B．x²﹣2x﹣1 C．4x²+2x+1 D．4x²﹣4x+1

【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A.4x²﹣1，只含有两项，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不合题意；

B．x²﹣2x﹣1，两项平方项x²与﹣1的符号不同，故本选项不合题意；

C.4x²+2x+1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不合题意；

D.4x²﹣4x+1＝（2x﹣1）²，符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4．（嘉兴期末）若x²﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则a^b的值是（　　）

A．﹣8 B．8 C．﹣ D．

【分析】直接利用多项式乘多项式得出关于a，b的等式，进而得出答案．

【解答】解：∵x²﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），

∴x²﹣bx﹣10＝x²+（﹣a+5）x﹣5a，

故﹣a+5＝﹣b，﹣5a＝﹣10，

解得：a＝2，b＝﹣3，

故a^b＝2^﹣3＝ ．

故选：D．

【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确得出a，b的值是解题关键．

5．（镇海区期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）

A．4x²﹣1 B．4x²+4x﹣1 C．x²﹣x+ D．x²﹣xy+y²

【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别将各式分解，即可作出判断．

【解答】解：A．4x²﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故此选项不合题意；

B．4x²+4x﹣1无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；

C．x²﹣x+ ＝（x﹣ ）²，故此选项符合题意；

D．x²﹣xy+y²无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键．

6．（柯桥区模拟）利用函数知识对关于代数式ax²+bx+c（a≠0）的以下说法作出判断，则正确的有（　　）

①如果存在两个实数p≠q，使得ap²+bp+c＝aq²+bq+c，则ax²+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）；

②存在三个实数m≠n≠s，使得am²+bm+c＝an²+bn+c＝as²+bs+c；

③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c；

④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据二次函数的性质，根的判别式一一判断即可．

【解答】解：①∵x＝p或q时，ap²+bp+c与aq²+bq+c不一定等于0，

∴①错误；

②∵最多存在两个实数m≠n，使得am²+bm+c＝an²+bn+c，

∴②错误；

③∵ac＜0，则Δ＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数m＜n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c，

∴③正确；

④∵ac＜0，则△不一定大于0，抛物线与x轴没有交点，

∴④错误；

故选：A．

【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握二次函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式的知识点．

7．（东阳市期末）把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+3）（x﹣4），则a，b的值分别是（　　）

A．a＝﹣1，b＝﹣12 B．a＝1，b＝12 C．a＝﹣1，b＝12 D．a＝1，b＝﹣12

【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．

【解答】解：∵多项式x²+ax+b分解因式的结果为（x+3）（x﹣4），

∴x²+ax+b＝（x+3）（x﹣4）＝x²﹣x﹣12，

故a＝﹣1，b＝﹣12，

故选：A．

【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确利用乘法公式用将原式展开是解题关键．

8．（余杭区期中）三角形的三边a，b，c满足（a+b）²﹣c²＝2ab，则此三角形是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【分析】将所给出的等式化简可得a²+b²＝c²，利用勾股定理的逆定理可求解．

【解答】解：∵三角形的三边a，b，c满足（a+b）²﹣c²＝2ab，

∴a²+2ab+b²﹣c²﹣2ab＝0，

∴a²+b²＝c²，

∴三角形为直角三角形．

故选：B．

【点评】本题主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，将等式变形为a²+b²＝c²是解题的关键．

二．填空题（共9小题）

9．（惠州期末）因式分解：3x²﹣6x+3＝　3（x﹣1）²　．

【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．

【解答】解：3x²﹣6x+3

＝3（x²﹣2x+1）

＝3（x﹣1）²，

故答案为：3（x﹣1）²．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

10．（长垣市期末）分解因式：2x³+4x²+2x＝　2x（x+1）²　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式＝2x（x²+2x+1）

＝2x（x+1）²．

故答案为：2x（x+1）²．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

11．（淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x²+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x²+ax+b分解因式正确的结果为　（x﹣6）（x+2）　．

【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．

【解答】解：因式分解x²+ax+b时，

∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），

∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，

又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），

∴a＝﹣8+4＝﹣4，

∴原二次三项式为x²﹣4x﹣12，

因此，x²﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），

故答案为：（x﹣6）（x+2）．

【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．

12．（南岗区校级期末）若a+b＝8，ab＝15，则a²+ab+b²＝　49　．

【分析】首先配方得出a²+ab+b²＝（a+b）²﹣ab进而得出答案．

【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，

则a²+ab+b²＝（a+b）²﹣ab＝8²﹣15＝49．

故答案为：49．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确配方得出是解题关键．

13．（河口县期末）若m+n＝3，则2m²+4mn+2n²﹣6的值为　12　．

【分析】原式前三项提取2变形后，利用完全平方公式化简，将m+n的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵m+n＝3，

∴2m²+4mn+2n²﹣6＝2（m+n）²﹣6＝18﹣6＝12．

故答案为：12．

【点评】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

14．（温州模拟）分解因式：m²﹣4m＝　m（m﹣4）　．

【分析】提取公因式m，即可求得答案．

【解答】解：m²﹣4m＝m（m﹣4）．

故答案为：m（m﹣4）．

【点评】本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．

15．（西湖区校级三模）已知x﹣y＝ ，xy＝4，则xy²﹣x²y＝　﹣2　．

【分析】原式提取公因式，把已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵x﹣y＝ ，xy＝4，

∴原式＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝﹣4× ＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．

16．（瑞安市期中）有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　20　．

【分析】因为m，n，p，q都是四个不同正整数，所以（5﹣m）、（5﹣n）、（5﹣p）、（5﹣q）都是不同的整数，四个不同的整数的积等于9，这四个整数为﹣1、﹣3、1、3，由此求得m，n，p，q的值，问题得解．

【解答】解：因为（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，

每一个因数都是整数且都不相同，

那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，

由此得出m、n、p、q分别为6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20．

故答案为：20．

【点评】本题考查了有理数的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题．

17．（鹿城区校级期中）大长方形中放入5张长为a，宽为b的相同的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为　4　．

【分析】根据“阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36”，即可得出关于x，y的方程组，利用（①²﹣②）÷2，可求出一张小长方形的面积．

【解答】解：依题意得：

，

即 ，

（①²﹣②）÷2，得：xy＝4．

∴一张小长方形的面积为4．

故答案为4．

【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

18．（上虞区期末）因式分解：

（1）4x²﹣y²；

（2）9a³﹣6a²b+ab²．

【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：（1）4x²﹣y²＝（2x）²﹣y²

＝（2x+y）（2x﹣y）；

（2）9a³﹣6a²b+ab²

＝a（9a²﹣6ab+b²）

＝a（3a﹣b）²．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

19．（嵊州市期末）分解因式：

（1）25a²﹣4；

（2）3ax²﹣6axy+3ay²．

【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；

（2）先提公因式3a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．

【解答】解：（1）原式＝（5a+2）（5a﹣2）；

（2）原式＝3a（x²﹣2xy+y²）＝3a（x﹣y）²．

【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是应用公式的前提，找出各项的公因式是提公因式的关键．

20．（宁波期末）因式分解：

（1）﹣ab+2a²b﹣a³b；

（2）（x﹣y）²﹣x+y．

【分析】（1）直接提取公因式﹣ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；

（2）将原式后两项添括号，再提取公因式（x﹣y），进而分解因式即可．

【解答】解：（1）原式＝﹣ab（1﹣2a+a²）

＝﹣ab（a﹣1）²；

（2）原式＝（x﹣y）²﹣（x﹣y）

＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．

21．（鄞州区期末）因式分解：

（1）a²﹣4b²；

（2）﹣x²+6xy﹣9y²．

【分析】（1）根据平方差公式分解因式；

（2）先提负号，然后根据完全平方公式分解因式．

【解答】解：（1）a²﹣4b²

＝a²﹣（2b）²

＝（a+2b）（a﹣2b）；

（2）﹣x²+6xy﹣9y²

＝﹣（x²﹣6xy+9y²）

＝﹣（x﹣3y）²．

【点评】本题考查了运用公式法分解因式，解题的关键是掌握a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a²±2ab+b²＝（a±b）²．

22．（拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝3²﹣1²，16＝5²﹣3²，24＝7²﹣5²；则8、16、24这三个数都是奇特数．

（1）填空：32　是　奇特数，2018　不是　奇特数．（填“是”或者“不是”）

（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据32＝9²﹣7²，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．

（2）利用平方差公式计算（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；

（3）利用阴影部分面积为：S_阴影部分＝99²﹣97²+95²﹣93²+91²﹣89²+…+7²﹣5²+3²﹣1²，进而求出即可．

【解答】解：（1）∵32＝8×4＝9²﹣7²，

∴32是奇特数，

∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，

∴2018不是奇特数，

故答案为：是，不是；

（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，

理由：∵（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，

∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．

（3）S_阴影部分＝99²﹣97²+95²﹣93²+91²﹣89²+…+7²﹣5²+3²﹣1²

＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）

＝（99+97+95+…+3+1）×2

＝ ×2

＝5000．

【点评】本题考查了正方形面积、新概念应用、平方差公式a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．

23．（镇海区期末）阅读下列材料：

对于多项式x²+x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x²+x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x²+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x²﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x²﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x²﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．

请你根据以上材料，解答以下问题：

（1）当x＝　1　时，多项式8x²﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x²﹣x﹣7有因式　（x﹣1）　，从而因式分解8x²﹣x﹣7＝　（x﹣1）（8x+7）　；

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：

①3x²+11x+10；

②x³﹣21x+20．

【分析】（1）当x＝1时，多项式8x²﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x²﹣x﹣7有因式（x﹣1），从而因式分解8x²﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；

（2）①当x＝﹣2时，3x²+11x+10＝0，所以有一个因式是（x+2），从而得出答案；

②当x＝1，4，﹣5时，x³﹣21x+20＝0，所以x³﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．

【解答】解：（1）当x＝1时，多项式8x²﹣x﹣7的值为0，

所以多项式8x²﹣x﹣7有因式（x﹣1），

从而因式分解8x²﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7），

故答案为：1，（x﹣1），（x﹣1）（8x+7）；

（2）①因为当x＝﹣2时，3x²+11x+10＝0，

所以有一个因式是（x+2），

所以3x²+11x+10＝（x+2）（3x+5）；

②因为当x＝1，4，﹣5时，x³﹣21x+20＝0，

所以x³﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握多项式乘多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．

24．（宁波期末）阅读理解并解答：

【方法呈现】

（1）我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．

例如：x²+2x+3＝（x²+2x+1）+2＝（x+1）²+2，

∵（x+1）²≥0，

∴（x+1）²+2≥2．

则这个代数式x²+2x+3的最小值是　2　，这时相应的x的值是　﹣1　．

【尝试应用】

（2）求代数式﹣x²+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．

【拓展提高】

（3）将一根长300cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．

【分析】（1）由题意不难看出其最小值为2，相应的x的值为﹣1；

（2）根据（1）中的方法，不难求得结果；

（3）可设一段铁丝长为xcm，则另一段长为（300﹣x）cm，然后列出式子进行求解即可．

【解答】解：（1）∵x²+2x+3＝（x+1）²+2≥2，

∴其最小值为2，这时相应的x的值为﹣1．

故答案为：2，﹣1；

（2）﹣x²+14x+10＝﹣（x²﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）²+59，

∵﹣（x﹣7）²≤0，

∴﹣（x﹣7）²+59≤59，

故代数式﹣x²+14x+10的最大值为59，相应的x的值为7，

（3）有最小值，

设一段铁丝长为xcm，则另一段长为（300﹣x）cm，由题意得：

，

当x＝150，两个正方形的面积之和有最小值 ．

则另一段铁丝的长度为300﹣150＝150（cm）．

【点评】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用．

题组B 能力提升练

一．选择题（共5小题）

1．（南宫市校级期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a²+b²+c²＝11，则ab+bc+ac＝（　　）

A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11

【分析】由已知得出a﹣c＝4，求出a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ （2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²]＝12，即可得出所求的值．

【解答】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，

∴a﹣c＝4，

∴a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ （2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²]＝12，

∴ab+bc+ac＝a²+b²+c²﹣12＝﹣1，

故选：B．

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要灵活应用完全平方公式．

2．（句容市期末）已知m²＝3n+a，n²＝3m+a，m≠n，则m²+2mn+n²的值为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．无法确定

【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．

【解答】解：∵m²＝3n+a，n²＝3m+a，

∴m²﹣n²＝3n﹣3m，

∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，

∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，

∵m≠n，

∴（m+n）+3＝0，

∴m+n＝﹣3，

∴m²+2mn+n²＝（m+n）²＝（﹣3）²＝9．

故选：A．

【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值．

3．（泰兴市一模）已知m²＝4n+a，n²＝4m+a，m≠n，则m²+2mn+n²的值为（　　）

A．16 B．12 C．10 D．无法确定

【分析】将m²＝4n+a与n²＝4m+a相减可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根据m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再将m²+2mn+n²变形为（m+n）²，整体代入即可求解．

【解答】解：将m²＝4n+a与n²＝4m+a相减得m²﹣n²＝4n﹣4m，

（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），

（m﹣n）（m+n+4）＝0，

∵m≠n，

∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，

∴m²+2mn+n²＝（m+n）²＝（﹣4）²＝16．

故选：A．

【点评】考查了因式分解的应用，关键是得到m+n＝﹣4，以及整体思想的应用．

4．（萧山区期末）有下列说法：

①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②无论k取任何实数，多项式x²﹣ky²总能分解成两个一次因式积的形式；

③若（t﹣3）^3﹣2t＝1，则t可以取的值有3个；

④关于x，y的方程组为 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是 ．

其中正确的说法是（　　）

A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②

【分析】利用平行公理对①判断，利用平方差公式的特点对②分析，③通过0指数、底数为1，底数为﹣1对代数式进行分类讨论得结果，④抓住a取每一个值方程的解都相同，求出x、y的值．

【解答】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；

②当k为负值时，多项式x²﹣ky²不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；

③当t＝4、 时，（t﹣3）^3﹣2t＝1，故本选项不正确；

④新方程为（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，

∵a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，

∴当a＝1时，y＝﹣1，

当a＝﹣2时，x＝3，

∴公共解是 ．

综上正确的说法是①④．

故选：A．

【点评】本题考查了平行公理、因式分解、零指数幂和二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．

5．（沙坪坝区校级月考）分解因式b²（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）

A．（x﹣3）（b²+b） B．b（x﹣3）（b+1）

C．（x﹣3）（b²﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）

【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．

【解答】解：b²（x﹣3）+b（x﹣3），

＝b（x﹣3）（b+1）．

故选：B．

【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．

二．填空题（共8小题）

6．（钢城区期末）多项式x²+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝　﹣5　．

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．

【解答】解：x²+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得

x²+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x²+（n﹣2）x﹣2n，

x²+mx+6＝x²+（n﹣2）x﹣2n，

﹣2n＝6，m＝n﹣2．

解得n＝﹣3，m＝﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．

7．（西湖区校级期中）已知x²﹣3x+1＝0，则﹣2x²+6x＝　2　；x³﹣2x²﹣2x+9＝　8　．

【分析】由x²﹣3x+1＝0，可得x²﹣3x＝﹣1，把﹣2x²+6x和x³﹣2x²﹣2x+9分解因式，使之出现x²﹣3x，整体代入即可求出结果．

【解答】解：∵x²﹣3x+1＝0，

∴x²﹣3x＝﹣1，

∴﹣2x²+6x

＝﹣2（x²﹣3x）

＝﹣2×（﹣1）

＝2，

x³﹣2x²﹣2x+9

＝x³﹣3x²+x²﹣3x+x+9

＝x（x²﹣3x）+（x²﹣3x）+x+9

＝﹣x+（﹣1）+x+9

＝8，

故答案为：2，8．

【点评】本题考查了因式分解的应用，正确把多项式分解为已知条件中出现的因式是解决问题的关键．

8．（诸暨市期末）已知x≠y，且满足两个等式x²﹣2y＝2021²，y²﹣2x＝2021²，则x²+2xy+y²的值为　4　．

【分析】联立方程，通过因式分解求出x+y的值，再将x²+2xy+y²因式分解得（x+y）²，将x+y的值代入求解．

【解答】解： ，

①﹣②得x²﹣y²+2x﹣2y＝0，

（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，

（x﹣y）（x+y+2）＝0，

∵x≠y，

∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，

∴x²+2xy+y²＝（x+y）²＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，通过整体代入的思想求解．

9．（江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a³b﹣2a²b²+ab³＝　﹣48　．

【分析】因式分解后整体代换求值

【解答】解：∵a³b﹣2a²b²+ab³＝ab（a²﹣2ab+b²）

＝ab（a﹣b）²

＝ab[（a+b）²﹣4ab]

＝﹣2×（16+8）

＝﹣48．

故答案为﹣48．

【点评】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键．

10．（西湖区校级期中）已知多项式x⁴+mx+n能分解为（x²+px+q）（x²+2x﹣3），则p＝　﹣2　，q＝　7　．

【分析】把（x²+px+q）（x²+2x﹣3）展开，找到所有x³和x²的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．

【解答】解：∵（x²+px+q）（x²+2x﹣3）＝x⁴+px³+qx²+2x³+2px²+2qx﹣3x²﹣3px﹣3q

＝x⁴+（p+2）x³+（q+2p﹣3）x²+（2q﹣3p）x﹣3q

＝x⁴+mx+n．

∴展开式乘积中不含x³、x²项，

∴ ，解得： ．

故答案为：﹣2，7．

【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．

11．（西湖区校级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a²﹣4b²＝　10　．

【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．

【解答】解：∵2b﹣a＝﹣2，

∴a﹣2b＝2，

∴a²﹣4b²

＝（a+2b）（a﹣2b）

＝5×2

＝10．

故答案为：10．

【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是知道2b﹣a和a﹣2b互为相反数．

12．（宁波模拟）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）²+…+a（a+1）⁹⁹＝　（a+1）¹⁰⁰　．

【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．

【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）²+…+a（a+1）⁹⁸]

＝（a+1）²[1+a+a（a+1）+a（a+1）²+…+a（a+1）⁹⁷]

＝（a+1）³[1+a+a（a+1）+a（a+1）²+…+a（a+1）⁹⁶]

＝…

＝（a+1）¹⁰⁰．

故答案为：（a+1）¹⁰⁰．

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

13．（光明区二模）分解因式：a³﹣6a²+9a＝　a（a﹣3）²　．

【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．

【解答】解：a³﹣6a²+9a＝a（a²﹣6a+9）＝a（a﹣3）²，

故答案为a（a﹣3）²

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

三．解答题（共14小题）

14．（拱墅区校级月考）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．

（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；

（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；

（3）已知a＝x²（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x⁴+4x²+2，请用含x的式子表示b．

【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得；

（2）利用“如意数”的定义求出c的值，再判断；

（3）利用“如意数”的定义表示出c，把a与c的值代入即可．

【解答】解：（1）由“如意数”的定义可得，

c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；

（2）证明：由“如意数”的定义可得，

c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m²+4m+m﹣4﹣m＝﹣m²+4m﹣4＝﹣（m﹣2）²，

∵（m﹣2）²≥0，

∴﹣（m﹣2）²≤0，

∴“如意数”c恒小于等于0；

（3）∵c＝ab+a+b，

∴（a+1）b＝c﹣a，

∴（x²+1）b＝x⁴+4x²+2﹣x²，

∴（x²+1）b＝x⁴+3x²+2＝（x²+1）（x²+2），

∵x²≥0，

∴x²+1＞0，

∴b＝x²+2．

【点评】本题以新概念“如意数”为背景考查了因式分解，关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答．

15．（拱墅区期中）若一个四位数A满足：①千位数字²﹣百位数字²＝后两位数，则称A为“美妙数”．

例如：∵6²﹣1²＝35，∴6135为“美妙数”．

②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．

例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．

（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是　8715　．

若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是　4016或5316　．

（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．

【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；

（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．

【解答】解：（1）∵8²﹣7²＝15，

∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，

∵16＝4²﹣0²＝5²﹣3²，

∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，

故答案为8715；4016或5316；

（2）根据题意得，（1000m+100n+m²﹣n²）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，

化简得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，

∵m、n均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9，

∴m＝8，n＝6或m＝8，n＝1，

∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m²﹣n²＝8628或8163．

【点评】本题主要考查了新定义，整数的计算，关键是根据新定义列出代数式和方程．

16．（涡阳县期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．

例如：分解因式x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；

求代数式2x²+4x﹣6的最小值，2x²+4x﹣6＝2（x²+2x﹣3）＝2（x+1）²﹣8．

可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：x²﹣4x﹣5＝　（x+1）（x﹣5）　．

（2）当x为何值时，多项式﹣2x²﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．

（3）利用配方法，尝试解方程 ﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．

【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；

（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；

（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．

【解答】解：（1）x²﹣4x﹣5

＝（x﹣2）²﹣9

＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）

＝（x+1）（x﹣5），

故答案为：（x+1）（x﹣5）；

（2）∵﹣2x²﹣4x+3＝﹣2（x+1）²+5，

∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；

（3）∵ ，

∴（ ﹣2ab+2b²）+（b²﹣2b+1）＝0

∴（ a﹣ b）²+（b﹣1）²＝0

∴ a﹣ b＝0，b﹣1＝0，

解得，a＝2，b＝1．

【点评】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．

17．（娄底期中）利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：

（1）因式分解：x²﹣4x+4＝　（x﹣2）²　．

（2）填空：

①当x＝﹣2时，代数式x²+4x+4＝　0　．

②当x＝　3　时，代数式x²﹣6x+9＝0．

③代数式x²+8x+20的最小值是　4　．

（3）拓展与应用：求代数式a²+b²﹣6a+8b+28的最小值．

【分析】（1）根据完全平方公式可以将题目中的式子因式分解；

（2）①将x＝﹣2代入代数式x²+4x+4中，即可求得代数式x²+4x+4的值；

②解方程x²﹣6x+9＝0，求出x的值，即可解答本题；

③将代数式变形，然后根据非负数的性质，即可得到代数式x²+8x+20的最小值；

（3）将代数式a²+b²﹣6a+8b+28变形，然后根据非负数的性质，即可求得代数式a²+b²﹣6a+8b+28的最小值．

【解答】解：（1）x²﹣4x+4＝（x﹣2）²，

故答案为：（x﹣2）²；

（2）①当x＝﹣2时，

x²+4x+4

＝（﹣2）²+4×（﹣2）+4

＝4+（﹣8）+4

＝0，

故答案为：0；

②∵x²﹣6x+9＝0，

∴（x﹣3）²＝0，

∴x₁＝x₂＝3，

故答案为：3；

③∵x²+8x+20＝（x+4）²+4，

∴当x＝﹣4时，x²+8x+20取得最小值4，

故答案为：4；

（3）∵a²+b²﹣6a+8b+28＝（a﹣3）²+（b+4）²+3≥3，

∴代数式a²+b²﹣6a+8b+28的最小值是3．

【点评】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．

18．（沂南县期末）先阅读下列材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．

如：ax+by+bx+ay，x²+2xy+y²﹣1分组分解法：

解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）

解：原式＝（x+y）²﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）

（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．

如：x²+2x﹣3

解：原式＝x²+2x+1﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：a²﹣b²+a﹣b；

（2）分解因式：x²﹣6x﹣7．

【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；

（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．

【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）

＝（a﹣b）（a+b+1）；

（2）原式＝（x²﹣6x+9﹣16）

＝（x﹣3）²﹣16

＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）

＝（x﹣7）（x+1）．

【点评】此题主要考查了十字相乘法以及分组分解法分解因式，正确应用公式是解题关键．

19．（鄞州区校级期末）已知多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b含有因式x²+x﹣2，求 的值．

【分析】由于x²+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除，则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到 的值．

【解答】解：∵x²+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），

∴2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，

设商是A．

则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），

则x＝﹣2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．

当x＝﹣2时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①

当x＝1时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②

①﹣②，得

3a+36＝0，

∴a＝﹣12，

∴b＝﹣6﹣a＝6．

∴ ＝ ＝﹣2．

【点评】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用，注意因式的特点，灵活解决问题．

20．（清远期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝2²﹣0²，12＝4²﹣2²，20＝6²﹣4²，因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数；

（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的的平方差，再判断；

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）²（2k﹣1）²＝8k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【解答】解：（1）28＝4×7＝8²﹣6²；2012＝4×503＝504²﹣502²，

所以是神秘数；

（2）（2k+2）²﹣（2k）²＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，

则（2k+1）²﹣（2k﹣1）²＝8k，

由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【点评】此题考查的知识点是因式分解的应用，同时考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．

21．（拱墅区期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）²＝a²+2ab+b²．请解答下列问题：

（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：　（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac　；

（2）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35．用上面得到的数学等式求a²+b²+c²的值；

（3）小明同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形拼出一个面积为（a+7b）（9a+4b）的长方形，求x+y+z的值；

（4）如图④大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边（x＞y），观察图案，以下关系式正确的是　①③④　（填序号）．

①xy＝ ，②xy＝m，③x²﹣y²＝m•n，④x²+y²＝

【分析】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；

（2）依据a²+b²+c²＝（a+b+c）²﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；

（3）依据所拼图形的面积为：xa²+yb²+zab，而（a+7b）（9a+4b）＝9a²+67ab+28b²，可得x，y，z的值，从而得解；

（4）由图形可得m²﹣n²＝4xy，x+y＝m，x﹣y＝n，通过计算可判定①，③，④正确，而无法判定②正确．

【解答】解：（1）根据图形可得（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，

故答案为（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；

（2）由（1）得：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，

∴a²+b²+c²＝（a+b+c）²﹣（2ab+2bc+2ac）

＝（a+b+c）²﹣2（ab+bc+ac），

∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，

∴a²+b²+c²＝10²﹣2×35

＝30；

（3）由拼图可知：所拼图形的面积为：xa²+yb²+zab，

∵（a+7b）（9a+4b）＝9a²+67ab+28b²，

∴x＝9，y＝28，z＝67，

∴x+y+z＝9+28+67＝104；

（4）由图可知：m²﹣n²＝4xy，x+y＝m，x﹣y＝n，

∴xy＝ ，故①正确；

（x+y）（x﹣y）＝mn，

即x²﹣y²＝mn，故③正确；

x²+y²＝（x+y）²﹣2xy＝m²﹣2• ＝ ，故④正确；

根据已知条件无法得到xy＝m故②错误．

故答案为①③④．

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，灵活运用平方差公式及完全平方公式运算是解题的关键．

22．（青秀区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则

原式＝A²+2A+1＝（A+1）²．

再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）²．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）²＝　（x﹣y+1）²　；

（2）因式分解：（x²﹣6x）（x²﹣6x+18）+81；

（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；

（2）令A＝x²﹣6x，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；

（3）将原式转化为（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n²+3n+1）²，根据n为正整数得到n²+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）²

＝（x﹣y+1）²；

（2）令A＝x²﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A²+18A+81＝（A+9）²，

故（x²﹣6x）（x²﹣6x+18）+81＝（A+9）²＝（x﹣3）⁴．

（3）（n+1）（n+2）（n²+3n）+1

＝（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1

＝（n²+3n）（n²+3n+2）+1

＝（n²+3n）²+2（n²+3n）+1

＝（n²+3n+1）²，

∵n为正整数，

∴n²+3n+1也为正整数，

∴代数式（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．

23．（广水市模拟）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝2²﹣0²，12＝4²﹣2²，20＝6²﹣4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为　2500　．

【分析】（1）利用36＝10²﹣8²；2016＝505²﹣503²说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；

（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”＝（2n+2）²﹣（2n）²，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：2²﹣0²＝4，最大的为：50²﹣48²＝196，将它们全部列出不难求出他们的和．

【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：

36＝10²﹣8²；2016＝505²﹣503²；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），

∵（2k+2）²﹣（2k）²＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）

＝（4k+2）×2

＝4（2k+1），

∵4（2k+1）能被4整除，

∴“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，

S＝（2²﹣0²）+（4²﹣2²）+（6²﹣4²）+…+（50²﹣48²）＝50²＝2500．

故答案是：2500．

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．

24．（下城区校级月考）阅读理解并填空：

（1）为了求代数式x²+2x+3的值，我们必须知道x的值．若x＝1，则这个代数式的值为　6　；若x＝2，则这个代数式的值为　11　，…可见，这个代数式的值因的取值不同而变化．尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．

（2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：x²+2x+3＝（x²+2x+1）+2＝（x+1）²+2，因为（x+1）²是非负数，所以，这个代数式x²+2x+3的最小值是　2　，这时相应的x是　﹣1　．

尝试探究并解答：

（3）求代数式x²﹣12x+37的最小值，并写出相应x的值．

（4）求代数式﹣x²﹣6x+11的最大值，并写出相应x的值．

（5）已知y＝﹣x²+6x﹣3，且x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．

【分析】（1）把x＝1和x＝2分别代入代数式x²+2x+3中，再进行计算即可得出答案，再比较数值的变化情况即可；

（2）根据非负数的性质即可得出答案．

（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；

（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；

（5）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质以及x的取值范围即可得出答案．

【解答】解：（1）把x＝1代入x²+2x+3中，得：1²+2+3＝6；

若x＝2，则这个代数式的值为2²+2×2+3＝11；

故答案为：6，11

（2）根据题意可得：

x²+2x+3＝（x²+2x+1）+2＝（x+1）²+2，

∵（x+1）²是非负数，

∴这个代数式x²+2x+3的最小值是2，相应的x的值是﹣1；

故答案为2；﹣1

（3）∵x²﹣12x+37＝（x﹣6）²+1，

∴x²﹣12x+37的最小值是1，相应的x的值是6；

（4）根据题意得：

∴﹣x²﹣6x+11＝﹣（x+3）²+20，

∴代数式﹣x²﹣6x+11的最大值是20，相应的x的值是﹣3；

（5）∵y＝﹣x²+6x﹣3，

∴y＝﹣（x﹣3）²+6，

∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，

∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．

【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．

25．（吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x²﹣120x+3456．”

分析：由于常数项数值较大，则常采用将x²﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．

解：x²﹣120x+3456

＝x²﹣2×60x+60²﹣60²+3456

＝（x﹣60）²﹣144

＝（x﹣60）²﹣12²

＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）

＝（x﹣48）（x﹣72）

通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：

（1）x²﹣140x+4875

（2）4x²﹣4x﹣575．

【分析】（1）、（2）仿照阅读材料、利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．

【解答】解：（1）x²﹣140x+4875

＝x²﹣2×70x+70²﹣70²+4875

＝（x﹣70）²﹣25

＝（x﹣70）²﹣5²

＝（x﹣70+5）（x﹣70﹣5）

＝（x﹣65）（x﹣75）；

（2）4x²﹣4x﹣575

＝（2x）²﹣2×2x×1+1²﹣1²﹣575

＝（2x﹣1）²﹣576

＝（2x﹣1）²﹣24²

＝（2x﹣1+24）（2x﹣1﹣24）

＝（2x+23）（2x﹣25）．

【点评】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．

26．（松桃县校级期中）已知：a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，求多项式a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac的值．

提示：（先求出b﹣a，c﹣a，c﹣b的值，再把所给式子整理为含（a﹣b）²，（b﹣c）²，（a﹣c）²的形式代入即可求出）

【分析】先求出（a﹣b）、（b﹣c）、（a﹣c）的值，再把所给式子整理为含（a﹣b）²，（b﹣c）²和（a﹣c）²的形式，代入求值即可．

【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，

∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，

∴a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca

＝ （2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ca）

＝ [（a²﹣2ab+b²）+（b²﹣2bc+c²）+（a²﹣2ac+c²）]

＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]，

＝ ×（1+1+4），

＝3．

【点评】此题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．

27．（越城区校级自主招生）找出能使二次三项式x²+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．

【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x²+ax﹣6分解因式后有4种情况．

【解答】解：x²+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；

x²﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；

x²+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）；

x²﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．

【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．