第08讲整式乘法（核心考点讲与练）

一．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

a^m•aⁿ＝a^m+n（m，n是正整数）

（2）推广：a^m•aⁿ•a^p＝a^m+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如2³与2⁵，（x﹣y）²与（x﹣y）³等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

二．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（a^m）ⁿ＝a^mn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）ⁿ＝aⁿbⁿ（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

三．单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．

四．单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．

五．多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

一．同底数幂的乘法（共5小题）

1．（瑞安市开学）计算a³•（﹣a）的结果是（　　）

A．a⁴ B．﹣a⁴ C．a² D．﹣a²

【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【解答】解：a³•（﹣a）＝﹣a³•a＝﹣a⁴．

故选：B．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

2．（平阳县期中）已知10^x＝m，10^y＝n，则10^x+y等于（　　）

A．2m+3n B．m²+n³ C．mn D．m²n³

【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值即可．

【解答】解：∵10^x＝m，10^y＝n，

∴10^x+y

＝10^x•10^y

＝mn，

故选：C．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是灵活运用同底数幂的乘法的法则．

3．（冷水滩区期末）计算：

（1）x•x⁵+x²•x⁴；

（2） ．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，计算即可；

（2）根据同底数幂的乘法法则，计算即可．

【解答】解：（1）原式＝x⁶+x⁶＝2x⁶；

（2）原式＝ ．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．

4．（宝应县月考）计算：（a﹣b）²•（b﹣a）³+（a﹣b）⁴•（b﹣a）

【分析】首先根据偶次幂的性质变成同底数幂，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．

【解答】解：原式＝（b﹣a）²•（b﹣a）³+（b﹣a）⁴•（b﹣a），

＝（b﹣a）⁵+（b﹣a）⁵，

＝2（b﹣a）⁵．

【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

5．（雨花区校级月考）已知4^x＝8，4^y＝2，求x+y的值．

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：∵4^x＝8，4^y＝2，

∴4^x×4^y＝8×2＝16＝4²，

∴x+y＝2．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）

6．（虎林市校级期末）下列计算正确的是（　　）

A．a³•a⁴＝a¹² B．（2a）²＝2a²

C．（a³）²＝a⁵ D．（﹣2×10²）³＝﹣8×10⁶

【分析】根据同底数的幂的乘法法则可判定A，根据积的乘方法则可判定B，根据幂的乘方法则可判定C，根据积的乘方和幂的乘方法则可判断D．

【解答】解：a³•a⁴＝a⁷，故A不正确，不符合题意；

（2a）²＝4a²，故B不正确，不符合题意；

（a³）²＝a⁶，故C不正确，不符合题意；

（﹣2×10²）³＝﹣8×10⁶，故D正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查同底数的幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等运算，解题的关键是掌握同底数的幂的乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则．

7．（南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2^a×3^b×4^c＝192，则a+b+c的取值不可能是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】将原方程化为2^a+2c•3^b＝2⁶•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．

【解答】解：根据题意得：2^a+2c•3^b＝2⁶•3，

∴a+2c＝6，b＝1，

∵a，b，c为自然数，

∴当c＝0时，a＝6；

当c＝1时，a＝4；

当c＝2时，a＝2；

当c＝3时，a＝0，

∴a+b+c不可能为8．

故选：D．

【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键．

8．（南阳期末）已知a^m＝5，aⁿ＝2，则a^2m+n的值等于（　　）

A．50 B．27 C．12 D．25

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：∵a^m＝5，aⁿ＝2，

∴a^2m+n＝（a^m）²×aⁿ

＝5²×2

＝50．

故选：A．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

9．（仙居县期中）计算：x³•x⁸•x+（x³）⁴．

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对式子进行求解，再合并同类项即可．

【解答】解：x³•x⁸•x+（x³）⁴

＝x¹²+x¹²

＝2x¹²．

【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

10．（昌平区校级期中）已知3^m＝a，3ⁿ＝b，分别求：

（1）3^m+n．

（2）3^2m+3n．

（3）3^2m+3³ⁿ的值．

【分析】（1）依据同底数幂的乘法法则的逆运算进行计算即可；

（2）依据同底数幂的乘法法则的逆运算以及幂的乘方法则的逆运算进行计算即可；

（3）依据幂的乘方法则的逆运算进行计算即可．

【解答】解：（1）由题可得，3^m+n＝3^m•3ⁿ＝ab；

（2）由题可得，3^2m+3n＝3^2m•3³ⁿ＝（3^m）²•（3ⁿ）³＝a²b³；

（3）由题可得，3^2m+3³ⁿ＝（3^m）²+（3ⁿ）³＝a²+b³．

【点评】本题主要考查了幂的运算法则的运用，关键是掌握同底数幂的乘法法则的逆运算以及幂的乘方法则的逆运算．

11．（龙华区校级月考）（1）若10^x＝3，10^y＝2，求代数式10^3x+4y的值．

（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8^m•4ⁿ的值．

【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；

（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．

【解答】解：（1）∵10^x＝3，10^y＝2，

∴代数式10^3x+4y＝（10^x）³×（10^y）⁴

＝3³×2⁴

＝432；

（2）∵3m+2n﹣6＝0，

∴3m+2n＝6，

∴8^m•4ⁿ＝2^3m•2²ⁿ＝2^3m+2n＝2⁶＝64．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

三．单项式乘单项式（共4小题）

12．（婺城区校级模拟）计算2a²•5a⁴的结果是（　　）

A．7a⁶ B．7a⁸ C．10a⁶ D．10a⁸

【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．

【解答】解：2a²•5a⁴＝10a⁶．

故选：C．

【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

13．（绿园区期末）计算：2x•（﹣3xy）＝　﹣6x²y　．

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．

【解答】解：2x•（﹣3xy）＝﹣6x²y，

故答案为：﹣6x²y．

【点评】本题考查的是单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．

14．（龙口市月考）计算：

（1）3⁶•3⁹；

（2）a•a⁷﹣a⁴•a⁴；

（3）﹣b⁶•b⁶；

（4）（﹣2）¹⁰•（﹣2）¹³；

（5）3y²•y³﹣5y•y⁴．

【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；

（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案；

（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；

（4）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．

【解答】解：（1）3⁶•3⁹＝3⁶⁺⁹＝3¹⁵；

（2）a•a⁷﹣a⁴•a⁴

＝a⁸﹣a⁸

＝0；

（3）﹣b⁶•b⁶＝﹣b¹²；

（4）（﹣2）¹⁰•（﹣2）¹³

＝﹣2¹⁰•2¹³

＝﹣2²³；

（5）3y²•y³﹣5y•y⁴

＝3y⁵﹣5y⁵

＝﹣2y⁵．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

15．（顺德区校级期末）（﹣2y³）²+（﹣4y²）³﹣（﹣2y）²•（﹣3y²）²．

【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，再合并同类项即可求解．

【解答】解：（﹣2y³）²+（﹣4y²）³﹣（﹣2y）²•（﹣3y²）²

＝4y⁶﹣64y⁶﹣4y²•（9y⁴）

＝4y⁶﹣64y⁶﹣36y⁶

＝﹣96y⁶．

【点评】考查了积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．

四．单项式乘多项式（共4小题）

16．（高青县期末）化简：

（1）2（2x²﹣xy）+x（x﹣y）；

（2）ab（2ab²﹣a²b）﹣（2ab）²b+a³b²．

【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算；

（2）根据单项式乘多项式、积的乘方法则计算．

【解答】解：（1）2（2x²﹣xy）+x（x﹣y）

＝4x²﹣2xy+x²﹣xy

＝5x²﹣3xy；

（2）ab（2ab²﹣a²b）﹣（2ab）²b+a³b²

＝2a²b³﹣a³b²﹣4a²b³+a³b²

＝﹣2a²b³．

【点评】本题考查的是单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

17．（鄞州区期中）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求代数式a²﹣ac﹣b（a﹣c）的值．

【分析】先分解因式，再将已知的a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，两式相加得a﹣c＝﹣1，整体代入即可．

【解答】解：a²﹣ac﹣b（a﹣c）

＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）

＝（a﹣c）（a﹣b），

∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，

∴a﹣c＝﹣1，

当a﹣b＝3，a﹣c＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，

【点评】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a﹣c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．

18．（沂水县期末）如果m²+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）²的值为（　　）

A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6

【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．

【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）²

＝m²﹣2m+m²+4m+4

＝2m²+2m+4．

当m²+m＝5时，原式＝2（m²+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．

故选：A．

【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．

19．（钱塘区期末）已知代数式7a（a﹣kb）﹣3（b²﹣14ab﹣1）经化简后不含ab项，求k的值．

【分析】方程合并同类项后，令ab项系数为0即可求出k的值．

【解答】解：7a（a﹣kb）﹣3（b²﹣14ab﹣1）

＝7a²﹣7abk﹣3b²+42ab+3

＝7a²﹣3b²+（42﹣7k）ab+3，

∵化简后不含ab项，

∴42﹣7k＝0，

解得k＝6．

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

五．多项式乘多项式（共4小题）

20．（鱼台县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．0 D．1

【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．

【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x²+3x+mx+3m＝x²+（3+m）x+3m，

又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，

∴3+m＝0，

解得m＝﹣3．

故选：A．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．

21．（镇海区期末）若（x+1）（x²﹣5ax+a）的乘积中不含x²项，则常数a的值为（　　）

A．5 B． C．﹣ D．﹣5

【分析】先将多项式展开得到x³+（﹣5a+1）x²﹣4ax+a，再由乘积中不含x²项，可得﹣5a+1＝0，求a即可．

【解答】解：（x+1）（x²﹣5ax+a）

＝x•x²+x•（﹣5ax）+ax+x²﹣5ax+a

＝x³+（﹣5a+1）x²﹣4ax+a，

∵乘积中不含x²项，

∴﹣5a+1＝0，

∴a＝ ，

故选：B．

【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，并能准确计算是解题的关键．

22．（上城区期末）亮亮计算一道整式乘法的题（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“﹣”写成了“+”，得到的结果为6x²﹣5x﹣25．

（1）求m的值；

（2）计算这道整式乘法的正确结果．

【分析】（1）根据题意可得（3x+m）（2x﹣5），应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得6x²﹣（15﹣2m）x﹣5m，由已知常数项相等可得﹣5m＝﹣25，计算即可得出答案；

（2）由（1）可知m的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案．

【解答】解：（1）根据题意可得，

（3x+m）（2x﹣5）

＝6x²﹣15x+2mx﹣5m

＝6x²﹣（15﹣2m）x﹣5m，

即﹣5m＝﹣25，

解得m＝5；

（2）（3x﹣5）（2x﹣5）

＝6x²﹣15x﹣10x+25

＝6x²﹣25x+25．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．

23．（黄岩区模拟）已知：（x﹣1）（x+3）＝ax²+bx+c，求代数式9a﹣3b+c的值．

【分析】先根据多项式乘多项式法则计算等式左边，根据题意得出a、b、c的值，再代入计算可得．

【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x²+3x﹣x﹣3＝x²+2x﹣3，

∴a＝1、b＝2、c＝﹣3，

则原式＝9×1﹣3×2﹣3

＝9﹣6﹣3

＝0．

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

题组A 基础过关练

一．选择题（共12小题）

1．（澄海区期末）计算：（﹣2a²）³＝（　　）

A．﹣8a⁶ B．8a⁶ C．﹣6a⁶ D．﹣8a⁵

【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．

【解答】解：（﹣2a²）³＝﹣8a⁶．

故选：A．

【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．

2．（江夏区期末）计算：（﹣2a）³＝（　　）

A．﹣6a³ B．6a³ C．﹣8a³ D．8a³

【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．

【解答】解：（﹣2a）³＝﹣8a³，

故选：C．

【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．

3．（香坊区期末）已知x^m＝a，xⁿ＝b，m，n均为正整数，则x^2m+n的值为（　　）

A．2ab B．2a+b C．a²b D．a²+b

【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

【解答】解：∵x^m＝a，xⁿ＝b，m，n均为正整数，

∴x^2m+n＝x^2m•xⁿ＝（x^m）²•xⁿ＝a²b．

故选：C．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

4．（船山区校级期末）设（x^m﹣1yⁿ⁺²）•（x^5my²）＝x⁵y⁷，则（﹣ m）ⁿ的值为（　　）

A．﹣ B．﹣ C．1 D．

【分析】直接利用单项式乘单项式进而得出关于m，n的等式，进而利用幂的乘方运算求出答案．

【解答】解：∵（x^m﹣1yⁿ⁺²）•（x^5my²）＝x⁵y⁷，

∴x^m﹣1+5myⁿ⁺²⁺²＝x⁵y⁷，

∴m﹣1+5m＝5，n+2+2＝7，

解得：m＝1，n＝3，

则（﹣ m）ⁿ＝（﹣ ×1）³＝﹣ ．

故选：A．

【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．（鲤城区期末）下列运算正确的是（　　）

A．2a²﹣a²＝a² B．a³+a³＝a⁶

C．（﹣xy²）³＝﹣x³y⁵ D．2mn•3mn＝5mn

【分析】依据合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则进行判断，即可得出结论．

【解答】解：A．2a²﹣a²＝a²，原式计算正确，故本选项符合题意；

B．a³+a³＝2a³，原式计算错误，故本选项不合题意；

C．（﹣xy²）³＝﹣x³y⁶，原式计算错误，故本选项不合题意；

D．2mn•3mn＝6m²n²，原式计算错误，故本选项不合题意；

故选：A．

【点评】本题主要考查了合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则的运用，“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

6．（江油市期末）下面运算中正确的是（　　）

A．m²•m³＝m⁶ B．m²+m²＝2m⁴

C．（﹣3a²b）²＝6a⁴b² D．（﹣2x²）•（﹣5x⁴）＝10x⁶

【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方的运算法则计算，判断即可．

【解答】解：A、m²•m³＝m⁵，本选项计算错误，不符合题意；

B、m²+m²＝2m²，本选项计算错误，不符合题意；

C、（﹣3a²b）²＝9a⁴b²，本选项计算错误，不符合题意；

D、（﹣2x²）•（﹣5x⁴）＝10x⁶，本选项计算正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

7．（安居区期末）当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，则（a+b﹣1）（3﹣2a﹣2b）的值为（　　）

A．55 B．﹣55 C．25 D．﹣25

【分析】先代入得出等式，求出a+b＝﹣4，变形后整体代入，即可求出答案．

【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，

∴a+b+1＝﹣3，

∴a+b＝﹣4，

∴（a+b﹣1）（3﹣2a﹣2b）

＝[（a+b）﹣1][3﹣2（a+b）]

＝[﹣4﹣1]×[3﹣2×（﹣4）]

＝（﹣5）×11

＝﹣55，

故选：B．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．

8．（淮阳区期末）要使多项式（﹣x²+ax+1）（﹣6x﹣b）展开后不含x的二次项，则a与b的关系是（　　）

A．ab＝﹣6 B．ab＝6 C．b＝﹣6a D．b＝6a

【分析】先将多项式展开，然后合并同类项，最后令含x²的系数为0，即可求出a与b的值．

【解答】解：（﹣x²+ax+1）（﹣6x﹣b）

＝6x³﹣6ax²﹣6x+bx²﹣bax﹣b

＝6x³+（﹣6a+b）x²+（﹣6﹣ba）x﹣b，

∵（﹣x²+ax+1）（﹣6x﹣b）展开后不含x的二次项，

∴﹣6a+b＝0，

∴b＝6a，

故选：D．

【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

9．（荆门期末）若（﹣2x+a）（x﹣1）的展开式中不含x的一次项，则a的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．任意数

【分析】先将多项式展开，然后令x的系数为0，求出a的值．

【解答】解：（﹣2x+a）（x﹣1）

＝﹣2x²+（a+2）x﹣a

∵展开式中不含x的一次项，

∴a+2＝0，

∴a＝﹣2，

故选：A．

【点评】本题考查了多项式，熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键．

10．（渠县校级开学）计算（﹣ ）²⁰²²×（﹣2 ）²⁰²²的结果是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2022

【分析】利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．

【解答】解：（﹣ ）²⁰²²×（﹣2 ）²⁰²²

＝[﹣ ×（﹣ ）]²⁰²²

＝1²⁰²²

＝1，

故选：C．

【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．

11．（澄海区期末）已知单项式3x²y³与﹣2xy²的积为mx³yⁿ，那么m﹣n＝（　　）

A．﹣11 B．5 C．1 D．﹣1

【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．

【解答】解：∵3x²y³•（﹣2xy²）＝mx³yⁿ，

∴﹣6x³y⁵＝mx³yⁿ．

∴m＝﹣6，n＝5．

∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11．

故选：A．

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．

12．（渝北区期末）下列计算正确的是（　　）

A．﹣6a²+2b＝﹣4a² B．3a²﹣a²＝2a²

C．﹣3a²•4a＝12a³ D．12a⁶+3a²＝4a³

【分析】根据合并同类项的运算法则判断A、B、D，根据单项式乘单项式的运算法则判断C．

【解答】解：A、﹣6a²与2b不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

B、原式＝2a²，故此选项符合题意；

C、原式＝﹣12a³，故此选项不符合题意；

D、12a⁶与3a²不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查整式的加减，单项式乘单项式的运算，掌握合并同类项和同底数幂的乘法运算法则是解题关键．

二．填空题（共3小题）

13．（双阳区期末）计算：2x²y•（﹣3xy）＝　﹣6x³y²　．

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．

【解答】解：2x²y•（﹣3xy）＝﹣6x³y²，

故答案为：﹣6x³y²．

【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

14．（海口期末）计算：（3a²b）²•（﹣2ab²）＝　﹣18a⁵b⁴　．

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．

【解答】解：（3a²b）²•（﹣2ab²）

＝9a⁴b²•（﹣2ab²）

＝﹣18a⁵b⁴．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

15．（微山县期末）比较大小：2⁵⁶　＜　9²⁸．（填“＞，＜或＝”）

【分析】把两个数的指数部分转化为相同，即可比较大小．

【解答】解：9²⁸＝3⁵⁶，

∴2⁵⁶＜3⁵⁶，

即2⁵⁶＜9²⁸，

故答案为：＜．

【点评】本题主要考查幂的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的指数转化为相同．

三．解答题（共5小题）

16．（朝阳区期中）计算：（a﹣2）﹣（3a﹣1）+（2a）²．

【分析】直接去括号合并同类项结合积的乘方运算计算得出答案．

【解答】解：原式＝a﹣2﹣3a+1+4a²

＝4a²﹣2a﹣1．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项，正确掌握积的乘方运算法则是解题关键．

17．（德城区校级月考）计算：2a²⋅6a⁴+（﹣2a³）²．

【分析】直接利用单项式乘多项式法则和积的乘方法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝12a⁶+4a⁶

＝16a⁶．

故答案为：16a⁶．

【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18．（常德期末）（1）计算：（﹣ a²b）³•（﹣4ab²）²．

（2）用整式乘法公式计算：90²﹣88×92．

【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式可得；

（2）利用平方差公式计算可得．

【解答】（1）解：原式＝

＝﹣2a⁸b⁷．

（2）解：原式＝90²﹣（90﹣2）×（90+2）

＝90²﹣90²+4

＝4．

【点评】本题主要考查整式的乘法公式和平方差的运用，解题的关键是掌握整式的运算法则．

19．（沐川县期末）化简：（3x﹣1）（2x²+3x﹣4）

【分析】根据多项式乘以多项式的即可求出答案．

【解答】解：原式＝6x³+9x²﹣12﹣2x²﹣3x+4

＝6x³+7x²﹣15x+4

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

20．（杜尔伯特县期末）阅读下列材料，并解决下面的问题：

我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子2³＝8可以变形为log₂8＝3，log₅25＝2也可以变形为5²＝25．在式子2³＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8．一般地，若aⁿ＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab＝n），且具有性质：

①log_abⁿ＝nlog_ab；②log_aaⁿ＝n；③log_aM+log_aN＝log_a（M•N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．

根据上面的规定，请解决下面问题：

（1）计算：log₃1＝　0　，log₁₀25+log₁₀4＝　2　（请直接写出结果）；

（2）已知x＝log₃2，请你用含x的代数式来表示y，其中y＝log₃72（请写出必要的过程）．

【分析】（1）先认真阅读题目，得出3^x＝1，求出x即可；得出log₁₀25+log₁₀4＝log₁₀100，求出即可；

（2）先变形得出y＝log₃72，再求出即可．

【解答】解：（1）log₃1＝0，log₁₀25+log₁₀4＝log₁₀100＝2，

故答案为：0，2；

（2）∵x＝log₃2，

∴y＝log₃72

＝log₃8+log₃9

＝3log₃2+2

＝3x+2．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，注意：一般地，若aⁿ＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab＝n）．

题组B 能力提升练

一．选择题（共4小题）

1．（赛罕区校级期中）已知a＝2⁴⁰，b＝3³²，c＝4²⁴，则a、b、c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a

【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结论．

【解答】解：∵a＝2⁴⁰＝（2⁵）⁸＝32⁸，

b＝3³²＝（3⁴）⁸＝81⁸，

c＝4²⁴＝（4³）⁸＝64⁸，

又∵32＜64＜81，

∴a＜c＜b．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．

2．（南岗区校级期中）下列计算正确的是（　　）

A．3x³•2x²y＝6x⁵ B．2a²•3a³＝6a⁵

C．（﹣2x）•（﹣5x²y）＝﹣10x³y D．（﹣2xy）•（﹣3x²y）＝6x³y

【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简求出即可．

【解答】解：A、3x³×2x²y＝6x⁵y，故此选项错误；

B、2a²×3a³＝6a⁵，故此选项正确；

C、（﹣2x）×（﹣5x²y）＝10x³y，故此选项错误；

D、（﹣2xy）×（﹣3x²y）＝6x³y²，故此选错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（黔江区期末）要使（x²﹣x+5）（2x²﹣ax﹣4）展开式中不含x²项，则a的值等于（　　）

A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14

【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．

【解答】解：（x²﹣x+5）（2x²﹣ax﹣4）

＝2x⁴﹣ax³﹣4x²﹣2x³+ax²+4x+10x²﹣5ax﹣20

＝2x⁴﹣（a+2）x³+（a+6）x²+（4﹣5a）x﹣20，

∵展开式中不含x²项，

∴a+6＝0，

∴a＝﹣6，

故选：A．

【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提，令x的二次项的系数为0是正确解答的关键．

4．（余杭区期中）在关于x，y的二元一次方程组 的下列说法中，正确的是（　　）

①当a＝3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a＝﹣4时，解得x与y相等；③x，y满足关系式x+5y＝﹣12；④若9^x•27^y＝81，则a＝10．

A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④

【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a即可判断；②根据x＝y列出方程，求出a即可判断；③在原方程中，我们消去a，即可得到x，y的关系；④把底数统一化成a，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a．

【解答】解： ，

由①得：x＝2y+a+6③，

把③代入②中，得：y＝ ④，

把④代入③中，得：x＝ ，

∴原方程组的解为 ．

①∵方程的两根互为相反数，

∴x+y＝0，

即 ，

解得：a＝3，

∴①正确；

②当x与y相等时，x＝y，

即 ，

解得：a＝﹣4，

∴②正确；

③在原方程中，我们消去a，得到x，y的关系，

②﹣①×2得：x+5y＝﹣12，

∴③正确；

④∵9^x•27^y＝81，

∴（3²）^x•（3³）^y＝3⁴，

∴3^2x•3^3y＝3⁴，

∴3^2x+3y＝3⁴，

∴2x+3y＝4，

将方程组的解代入得： ＝4，

解得：a＝10，

∴④正确．

综上所述，①②③④都正确．

故选：D．

【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法．

二．填空题（共3小题）

5．（东港区校级期末）已知a，b满足等式a²+6a+9+ ＝0，则a²⁰²¹b²⁰²²＝　 　．

【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方解决此题．

【解答】解：∵a²+6a+9+ ＝0，

∴ ．

∵（a+3）²≥0， ，

∴当 时，（a+3）²＝0， ．

∴a＝﹣3，b＝ ．

∴a²⁰²¹b²⁰²²＝（ab）²⁰²¹•b＝ ＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方是解决本题的关键．

6．（玉州区期末）若a^m＝2，aⁿ＝3，则a^3m+2n＝　72　．

【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．

【解答】解：∵a^m＝2，aⁿ＝3，

∴a^3m+2n

＝（a^m）³×（aⁿ）²

＝2³×3²

＝72．

故答案为：72．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．

7．（饶平县校级期末）计算： ＝　﹣ x³y⁴　．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算即可．

【解答】解：原式＝﹣2x• ＝﹣ x³y⁴，

故答案为：﹣ x³y⁴，

【点评】考查幂的乘方与积的乘方的计算法则，掌握法则，按顺序计算是前提．

三．解答题（共15小题）

8．（广水市期末）阅读以下材料：

指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．

对数的定义：一般地，若a^x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log_aN，比如指数式2⁴＝16可以转化为对数式4＝log₂16，对数式2＝log₅25，可以转化为指数式5²＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log_a（M•N）＝log_aM+log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设log_aM＝m，log_aN＝n，则M＝a^m，N＝aⁿ，

∴M•N＝a^m•aⁿ＝a^m+n，由对数的定义得m+n＝log_a（M•N）

又∵m+n＝log_aM+log_aN，

∴log_a（M•N）＝log_aM+log_aN．

请解决以下问题：

（1）将指数式3⁴＝81转化为对数式　4＝log₃81　；

（2）求证：log_a ＝log_aM﹣log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）拓展运用：计算log₆9+10g₆8﹣10g₆2＝　2　．

【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．

（2）根据指数与对数的关系求证．

（3）利用对数运算法则求解．

【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log₃81．

故答案为：4＝log₃81．

（2）设log_aM＝m，log_aN＝n，则M＝a^m，N＝aⁿ，

∴ ＝a^m÷aⁿ＝a^m﹣n．

∴log_a ＝log_aa^m﹣n＝m﹣n＝log_aM﹣log_aN．

∴log_a ＝log_aM﹣log_aN．

（3）原式＝log₆（9×8÷2）

＝log₆36

＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键．

9．（江都区月考）先化简，再求值：

（1）已知：x+2y+1＝3，求3^x×9^y×3的值．

（2）已知：x^2m＝3，y²ⁿ＝5，求（x^3m）²+（﹣y³ⁿ）²﹣x^m﹣1yⁿ•x^m+1yⁿ的值．

【分析】（1）先根先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；

（2）据幂的乘方进行变形，再代入求出即可．

【解答】解：（1）x+2y+1＝3，

∴3^x×9^y×3

＝3^x×3^2y×3

＝3^x+2y+1

＝3³

＝27；

（2）∵x^2m＝3，y²ⁿ＝5，

∴（x^3m）²+（﹣y³ⁿ）²﹣x^m﹣1yⁿ•x^m+1yⁿ

＝（x^2m）³+（y²ⁿ）³﹣x^2my²ⁿ

＝3³+5³﹣3×5

＝27+125﹣15

＝137．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值、同底数幂的乘法和幂的乘方等知识点，能正确根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行变形是解此题的关键．

10．（思明区校级期末）计算：

（1）2a²•（3a²﹣5b）；

（2）（3x﹣4y）（x+2y）．

【分析】（1）原式去括号化简；

（2）先去小括号，再合并同类项．

【解答】解：（1）原式＝6a⁴﹣10a²b；

（2）原式＝3x²+6xy﹣4xy﹣8y²

＝3x²+2xy﹣8y²．

【点评】本题考查整式的混合运算，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则是解题关键．

11．（巧家县期末）已知关于x的代数式（2x+1）与（x+m）的乘积中，不含有x的一次项，求m的值．

【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再得出答案即可．

【解答】解：（1）（2x+1）（x+m）＝2x²+（1+2m）x+m，

①∵乘积中不含x的一次项，

∴1+2m＝0，

m＝﹣ ，

即当m＝﹣ 时，乘积中不含x的一次项．

【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．

12．（延边州期末）数学课堂上老师留了一道数学题，如图所示，甲，乙，丙，丁4名同学表示的式子是：

甲：10×6﹣10x﹣6x

乙：10×6﹣10x﹣6x﹣x²

丙：10×6﹣10x﹣6x+x²

丁：（10﹣x）（6﹣x）

4名同学中正确的学生是　丙、丁　．（填“甲”，“乙”“丙”，“丁”）

【分析】结合图形表示出绿地的面积，即可判断．

【解答】解：绿地的面积可表示为：①10×6﹣10x﹣6x+x²，故甲错误，乙错误，丙正确；

②（10﹣x）（6﹣x），故丁正确，

故答案为：丙、丁．

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是理解清楚题意，用不同的方法表示出绿地的面积．

13．（仓山区期末）街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．

（1）求改造后长方形草坪的面积；

（2）小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．

【分析】（1）根据长×宽可得面积；

（2）根据矩形的面积公式和作差法比较大小可得结论．

【解答】解：（1）依题意得：改造后长方形草坪的面积＝（a﹣x）（b+x）＝（ab+ax﹣bx﹣x²）米²．

（2）小明的观点不正确，理由如下：

解法一：

设改造前长方形草坪的面积为S_前，改造后长方形草坪的面积为S_后，

则 ．

∵x＞0，a＞b，

∴当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S_后﹣S_前＞0，即S_后＞S_前；

当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S_后﹣S_前＝0，即S_后＝S_前；

当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S_后﹣S_前＜0，即S_后＜S_前．

解法二：如图，设①的面积为S₁，②的面积为S₂，③的面积为S₃，则 ，

∵x＞0，a＞b，

当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S₂﹣S₁＞0，即S₂＞S₁；

∴S₂+S₃＞S₁+S₃，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积大．

当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S₂﹣S₁＝0，即S₂＝S₁；

∴S₂+S₃＝S₁+S₃，即改造后长方形草坪的面积与改造前长方形草坪的面积相等．

当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S₂﹣S₁＜0，即S₂＜S₁．

∴S₂+S₃＜S₁+S₃，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积小．

【点评】本题考查了列代数式和多项式乘以多项式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

14．（原州区期末）在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．

（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝　x²+3x+2　；（x+3）（x﹣1）＝　x²+2x﹣3　；

（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x²+　（a+b）　x+　ab　；

（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝　x²+（2+m）x+2m　．

【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；

（2）根据（1）的结果得出规律即可；

（3）根据（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab得出即可．

【解答】解：（1）（x+1）（x+2）＝x²+2x+x+2

＝x²+3x+2；

（x+3）（x﹣1）＝x²﹣x+3x﹣3＝x²+2x﹣3，

故答案为：x²+3x+2，x²+2x﹣3；

（2）（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab．

故答案为：（a+b），ab；

（3）（x+2）（x+m）＝x²+（2+m）x+2m．

故答案为：x²+（2+m）x+2m．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．

15．（泉山区校级期中）基本事实：若a^m＝aⁿ（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！

①如果2×8^x×16^x＝2²²，求x的值；

②如果2^x+2+2^x+1＝24，求x的值．

【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为2^1+7x＝2²²，得出1+7x＝22，求解即可；

②把2^x+2+2^x+1变形为2^x（2²+2），得出2^x＝4，求解即可．

【解答】解：①∵2×8^x×16^x＝2×2^3x×2^4x＝2^1+3x+4x＝2^1+7x＝2²²，

∴1+7x＝22，

∴x＝3；

②∵2^x+2+2^x+1＝24，

∴2^x（2²+2）＝24，

∴2^x＝4，

∴x＝2．

【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

16．（东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a^c＝b，那么（a，b）＝c．

例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　2　，（5，1）＝　0　，（3， ）＝　﹣2　．

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3ⁿ，4ⁿ）＝（3，4），

（3）小明给出了如下的证明：

设（3ⁿ，4ⁿ）＝x，则（3ⁿ）^x＝4ⁿ，即（3^x）ⁿ＝4ⁿ

所以3^x＝4，即（3，4）＝x，

所以（3ⁿ，4ⁿ）＝（3，4）．

试解决下列问题：

①计算（8，1000）﹣（32，100000）

②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）

【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a^m）ⁿ＝a^mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

【解答】解：（1）∵5²＝25，∴（5，25）＝2；

∵5⁰＝1，∴（5，1）＝0；

∵3^﹣2＝ ，∴（3， ）＝﹣2；

故答案为2，0，﹣2；

（3）①（8，1000）﹣（32，100000）

＝（2³，10³）﹣（2⁵，10⁵）

＝（2，10）﹣（2，10）

＝0；

②设3^x＝4，3^y＝5，则3^x•3^y＝3^x+y＝4×5＝20，

所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，

∴（3，20）﹣（3，4）

＝x+y﹣x

＝y

＝（3，5），

即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）

【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方根式是解题的关键．

17．（李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：

材料一：比较3²²和4¹¹的大小．

解：∵4¹¹＝（2²）¹¹＝2²²，且3＞2

∴3²²＞2²²，即3²²＞4¹¹

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小

材料二：比较2⁸和8²的大小

解：∵8²＝（2³）²＝2⁶，且8＞6

∴2⁸＞2⁶，即2⁸＞8²

小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小

【方法运用】

（1）比较3⁴⁴、4³³、5²²的大小

（2）比较81³¹、27⁴¹、9⁶¹的大小

（3）已知a²＝2，b³＝3，比较a、b的大小

（4）比较3¹²×5¹⁰与3¹⁰×5¹²的大小

【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；

（2）根据题目中的例子可以解答本题；

（3）根据题目中的例子可以解答本题；

（4）根据题目中的例子可以解答本题．

【解答】解；（1）∵3⁴⁴＝（3⁴）¹¹＝81¹¹，

4³³＝（4³）¹¹＝64¹¹，

5²²＝（5²）¹¹＝25¹¹，

∵81＞64＞25，

∴81¹¹＞64¹¹＞25¹¹，

即3⁴⁴＞4³³＞5²²；

（2）∵81³¹＝（3⁴）³¹＝3¹²⁴，

27⁴¹＝（3³）⁴¹＝3¹²³，

9⁶¹＝（3²）⁶¹＝3¹²²，

∵124＞123＞122，

∴3¹²⁴＞3¹²³＞3¹²²，

即81³¹＞27⁴¹＞9⁶¹；

（3）∵a²＝2，b³＝3，

∴a⁶＝8，b⁶＝9，

∵8＜9，

∴a⁶＜b⁶，

∴a＜b；

（4）∵3¹²×5¹⁰＝（3×5）¹⁰×3²，

3¹⁰×5¹²＝（3×5）¹⁰×5²，

又∵3²＜5²，

∴3¹²×5¹⁰＜3¹⁰×5¹²．

【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．

18．若（x﹣3）（x+m）＝x²+nx﹣15，求 的值．

【分析】首先把）（x﹣3）（x+m）利用多项式的乘法公式展开，然后根据多项式相等的条件：对应项的系数相同即可得到m、n的值，从而求解．

【解答】解：（x﹣3）（x+m）

＝x²+（m﹣3）x﹣3m

＝x²+nx﹣15，

则

解得： ．

＝ ．

【点评】本题考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，理解多项式的乘法法则是关键．

19．（渝北区校级月考）已知（x³+mx+n）（x²﹣3x+4）的展开式中不含x³和x²项．

（1）求m与n的值．

（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m²﹣mn+n²）的值．

【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x²和x³项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；

（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m²﹣mn+n²）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．

【解答】解：（x³+mx+n）（x²﹣3x+4）＝x⁵﹣3x⁴+（m+4）x³+（n﹣3m）x²+（4m﹣3n）x+4n，

根据展开式中不含x²和x³项得： ，

解得： ．

即m＝﹣4，n＝﹣12；

（2）∵（m+n）（m²﹣mn+n²）

＝m³﹣m²n+mn²+m²n﹣mn²+n³

＝m³+n³，

当m＝﹣4，n＝﹣12时，

原式＝（﹣4）³+（﹣12）³＝﹣64﹣1728＝﹣1792．

【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（伊通县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x²+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x²﹣9x+10．

（1）求正确的a、b的值．

（2）计算这道乘法题的正确结果．

【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；

（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．

【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）

＝6x²+2bx﹣3ax﹣ab

＝6x²+（2b﹣3a）x﹣ab

＝6x²+11x﹣10．

（2x+a）（x+b）

＝2x²+2bx+ax+ab

＝2x²+（2b+a）x+ab

＝2x²﹣9x+10．

∴ ，

∴ ；

（2）（2x﹣5）（3x﹣2）

＝6x²﹣4x﹣15x+10

＝6x²﹣19x+10．

【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．

21．（杨浦区校级月考）已知3^x+1•2^x﹣3^x•2^x+1＝6^3x+4，求x．

【分析】由原式得出3×3^x•2^x﹣2×3^x•2^x＝6^3x+4，即6^x＝6^3x+4，据此列出关于x的方程，解之可得．

【解答】解：3^x+1•2^x﹣3^x•2^x+1＝6^3x+4，

3×3^x•2^x﹣2×3^x•2^x＝6^3x+4，

3×6^x﹣2×6^x＝6^3x+4，

6^x＝6^3x+4，

则x＝3x+4，

解得：x＝﹣2．

【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

22．（天台县期末）阅读下面材料

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a²+b²…；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a²+b²，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如a²+b²＝（a+b）²﹣2ab，请根据以上材料解决下列问题：

（1）式子①a²b²，② ，③a²﹣b²，④a²b+ab²中，属于对称式的是　①②④　（填序号）；

（2）已知（x+a）（x+b）＝x²+mx+n

①若m＝2，n＝﹣4，求对称式 的值；

②若n＝﹣4，求对称式 + 的最小值，写出求解过程；

③若m＝2，直接写出对称式a³b+ab³的最大值　2　．

【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；

（2）①根据已知m＝a+b，n＝ab，整体代入即可求解；

②将对称式化简后整理为非负数的形式即可求解；

③将对称式化简后配方即可求最大值．

【解答】解：（1）①a²b²＝（ab）²，② ＝ ，③a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），④a²b+ab²＝ab（a+b）．

由定义知属于对称式的是①②④，

故答案为：①②④．

（2）∵（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab＝x²+mx+n

∴m＝a+b，n＝ab，

∴a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝m²﹣2n，

①m＝a+b＝2，n＝ab＝﹣4，

∴ + ＝

＝

＝

＝﹣3；

答：对称式 + 的值为﹣3；

②若n＝﹣4，则n＝ab＝﹣4，

∴a²b²＝（ab）²＝16，

∴ +

＝

＝

＝

＝

＝ ，

∵m²≥0，

∴ ≥ ，

答：对称式 + 的最小值为 ；

③∵m＝a+b＝2，n＝ab．

∴a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝4﹣2ab＝4﹣2n，

而a³b+ab³

＝ab（a²+b²）

＝n（4﹣2n）

＝﹣2n²+4n

＝﹣2（n﹣1）²+2，

∵﹣2（n﹣1）²≤0，

∴﹣2（n﹣1）²+2的最大值为2，

∴对称式a³b+ab³的最大值为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识，解决本题的关键是理解阅读材料，掌握分式计算法则及配方法．

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