第06讲二元一次方程组的应用（核心考点讲与练）
一．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
二．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
三．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
一．由实际问题抽象出二元一次方程（共4小题）
1．（下城区模拟）王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（ ）
A．70m+30（m﹣n）＝W
B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W
C．70×（1+20%）m+30n＝W
D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W
【分析】王阿姨全部苹果共卖得金额＝先卖70个苹果的总价+剩下的30个苹果卖出的总价．根据等量关系直接列出方程即可．
【解答】解：依题意得，
先卖70个苹果的单价是m（1+20%）元，
剩下的30个苹果卖出的单价是（m﹣n）元，
∴全部苹果共卖得金额是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．
∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系．注意多每个比进价多20%是原来的价钱m再加上20%m．
2．（饶平县校级期末）大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？
【分析】首先根据题意表示出大型客车x辆可座54x人，中型客车y辆可座36y人，根据总人数为378可得方程54x+36y＝378．
【解答】解：设需要大型客车x辆，中型客车y辆，由题意得：
54x+36y＝378，
则3x+2y＝21，
当x＝1时，y＝9；
当x＝2时，y＝
（不合题意）；
当x＝3时，y＝6；
当x＝4时，y＝
（不合题意）；
当x＝5时，y＝3；
当x＝6时，y＝
（不合题意）；
当x＝7时，y＝0；
答：一共有4种符合题意的答案．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．列二元一次方程：把一袋花生分给一群猴子，每只猴子分3粒，还剩下8粒．设有x粒花生，y只猴子．
【分析】根据猴子数量乘以每只猴子分3粒再加上8即可得出等式．
【解答】解：设有x粒花生，y只猴子，则
3y+8＝x．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据已知得出花生粒的总个数是解题关键．
4．根据题意列二元一次方程：长方形的长是5cm，宽是2bcm，周长为acm．
【分析】根据长方形的周长公式（长+宽）×2＝周长代入相应数值可得答案．
【解答】解：由题意得：（5+2b）×2＝a．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
二．由实际问题抽象出二元一次方程组（共5小题）
5．（拱墅区期中）某校运动员分组训练，若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为 
．
【分析】根据“若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（西湖区二模）某中学体育组配备了篮球20个和排球10个，一个篮球和一个排球的单价之和为93元．若设篮球的单价为a元，排球的单价为b元，已知本次购买的总费用为1510元，根据题意可得方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“一个篮球和一个排球的单价之和为93元．购买篮球20个和排球10个共花费1510元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：
．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（奉化区校级期末）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹排布而成的，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图1所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是
．类似地，图2所示的算筹图可用方程组表述为 
．
【分析】上下两行的前两个算筹分别为x、y的系数，每行的后一个算筹是常数项，且十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据图2知，此算筹图可用方程组表述为
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
8．（仙居县期末）某班用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个，若设购买篮球x个，足球y个，则可列方程组为 
．
【分析】根据“用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个”，找到等量关系列出方程即可．
【解答】解：设购买篮球x个，购买足球y个，根据“足球和篮球共11个”可x+y＝11；
根据“两种球共花费了700元”可得买篮球的钱数+买足球的钱数＝700，
即50x+80y＝700，
因此可得方程组：
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的等量关系，难度不大．
9．（赣州模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 
．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故答案是：
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．二元一次方程组的应用（共10小题）
10．（萧山区期末）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
【分析】设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再代入第3天及第4天的数据中验证即可得出结论（若3，4天的结果均不对，则1，2天中的数据有误，以3，4天的数据列出方程组求出牙刷和牙膏的单价，再代入1，2天的数据中验证即可）．
【解答】解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
，解得：
，
∴23x+20y＝23×3+20×15＝369（元），17x+11y＝17×3+11×15＝216（元）．
又∵369≠368，
∴第3天的记录有误．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（拱墅区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（ ）
A．若x＝2，则S＝20 B．若y＝2，则S＝20
C．若x＝2y，则S＝10 D．若x＝4y，则S＝10
【分析】由长方形的性质得2x+5y＝30，再分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵长方形ABCD的周长为60，
∴AB+AD＝30，
由题意得：x+2y+x+3y＝30，
即2x+5y＝30，
A、若x＝2时，则y＝
，
∴S＝xy＝
，故选项A不符合题意；
B、若y＝2时，则x＝10，
∴S＝xy＝20，故选项B符合题意；
C、若x＝2y，则4y+5y＝30，
解得：y＝
，
∴x＝
，
∴S＝xy＝
，故选项C不符合题意；
D、若x＝4y，则8y+5y＝30，
解得：y＝
，
∴x＝
，
∴S＝xy＝
，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，在各个条件下求出x、y、S的值是解题的关键．
12．（江干区期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x＝a+b，y＝b+c，阴影E的长为c，宽为a+b﹣c，阴影D的长为a，宽为b﹣a，由阴影E的周长为8可求解x值判定①；由阴影D周长为6可求解b值，即可求a，进而判定②；由大长方形的面积为24，可求b+c＝6，假设三个正方形的周长为24，可求得a＝0，不成立，故可判定③．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∴x＝a+b，y＝b+c，
阴影E的长为c，宽为a+b﹣c，
阴影D的长为a，宽为b﹣a，
∵阴影E的周长为8，
∴2（c+a+b﹣c）＝8，
∴a+b＝4，
即x＝4，故①正确；
∵阴影D周长为6，
∴2（a+b﹣a）＝6，
解得b＝3，
∵a+b＝4，
∴a＝1，
即正方形A的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为24，
∴xy＝24，
∵x＝4，
∴y＝6，
∴b+c＝6，
假设三个正方形的周长为24，
∴4a+4b+4c＝24，
∴a+b+c＝6，
∴a＝0（不成立），
∴若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，正方形的性质，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，用a，b，c表示x，y是解题的关键．
13．（吴兴区二模）织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
【分析】（1）甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意：该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，由题意：专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）求出利润是恒值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，
由题意得：
，
解得：
，
答：甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，
由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18﹣
m，
∵m、n为正整数，
∴
或
或
或
，
即有4种购买方案：
①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条；
（3）不发生变化，理由如下：
∵利润w＝0.4m+2×25%×（18﹣
m）＝9（元），
∴不同方案专卖店获利不发生变化．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
14．（金东区期末）某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况．
-
捐书数N
1
2
3
4
5
6
捐书N本的人数
1
2
17
■
■
4
已知捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本．问捐书4本和5本的各有多少人？
【分析】设捐书4本的有x人，捐书5本的有y人，根据“捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设捐书4本的有x人，捐书5本的有y人，
依题意得：
，
解得：
．
答：捐书4本的有10人，捐书5本的有6人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（江干区期末）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品，若A种笔记本买20本，B种笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完．
（1）求A，B两种笔记本的单价；
（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本．若购买A，B，C三种笔记本共75本，钱恰好全部用完，则C种笔记本购买了多少本？
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据“若A种笔记本买20本，B本笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本（75﹣m﹣n）本，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出m+3n＝15，结合m，n均为正整数，即可求出结果．
【解答】解：（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，
依题意，得：
，
解得：
，
答：A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元．
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本（75﹣m﹣n）本，
依题意，得：8m+12n+6（75﹣m﹣n）＝480，
∴m+3n＝15，
则m＝15﹣3n，
∴购买C种笔记本为：（60+2n）本，
∵m，n均为正整数，
∴m＝12，n＝1或m＝9，n＝2或m＝6，n＝3或m＝3，n＝4，
∴当m＝12，n＝1时，60+2n＝62；当m＝9，n＝2时，60+2n＝64；当m＝6，n＝3时，60+2n＝66；
当m＝3，n＝4时，60+2n＝68；答：C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
16．（拱墅区期末）某厂接到任务需完成500台空调的安装．由于时间要求高，该厂没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人，生产开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装11台空调；2名熟练工人每天装的空调数与5名新工人每天安装空调数一样多．
（1）求1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装多少台空调；
（2）若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人（m，n均不为0），为了刚好20天完成安装任务，你有哪几种方案？
【分析】（1）设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意列出方程组，即可求解；
（2）由题意列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，
由题意可得：
，
解得：
，
∴x+y＝7（台），
答：1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装7台空调；
（2）由题意可得：20（5m+2n）＝500，
∴5m+2n＝25，
∵m，n为正整数，
∴m＝1，n＝10或m＝3，n＝5，
答：m＝1，n＝10或m＝3，n＝5．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
17．（拱墅区二模）如图，某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米/秒的速度通过该观测点用时8秒．
（1）车头及每节车厢的长度分别是多少米？
（2）小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内屏幕显示速度为180km/h，请问他乘坐的是几号车厢？
【分析】本题一动车运转为背景，考察了学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题的关键是找到问题中的两个相等关系，列出方程组，从而解决问题．
【解答】解：（1）设车头x米，车厢每节y米，根据题意得：
，
解得
．
答：车头28米，车厢每节25米．
（2）180km/h＝50m/s，
（50×5﹣28）÷25＝8.88；
答：小明乘坐的是9号车厢．
【点评】本题考察二元一次方程组的应用，要正确理解题意，准确找出题目中包含的两个相等关系从而列出二元一次方程组是解决此类问题的关键．
18．（丽水月考）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图甲．（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．
①两种裁法共生产A型板材 64 张，B型板材 38 张；
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数．
【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：
，
即图甲中a与b的值分别为60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，
∴两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8，
∴两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），
故答案为：64，38；
②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完，理由如下：
设竖式礼品盒做x过，横式礼品盒做y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（x+2y）个，
则
，
解得：
，
∵x、y是自然数，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，
∵x+y＝
，
∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
19．（北仑区期中）在一次汽车展上，甲展位对A型车和B型车两种车型购买的客户进行优惠：A、B型车都购买3辆及以上时，A型车每辆优惠0.5万元，B型车每辆优惠1万元．一家公司准备买9辆车，按优惠后的价格计算结果如下表：
-
购买量
购买量
A型车
4
5
B型车
5
4
总价
128万元
124万元
（1）计算两种型号的车原价分别是多少元？
（2）乙展位对该公司同时购买9辆车很感兴趣，给出同时购买9辆车且每种车型分别购买3辆及以上时两种车型均实行6%的优惠措施，且该公司要求尽可能多地购买B型车．请你通过计算说明该公司应该在哪个展位定车（两展位这两款车原价都相同）．
【分析】（1）设A型车优惠后的价格为每辆x万元，B型车优惠后的价格为每辆y万元，根据“A型车买4辆B型车买5辆花费128万，A型车买5辆B型车买4辆花费124万”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由优惠政策及该公司要求尽可能多地购买B型车，可知该公司应购A型车3辆，B型车6辆，根据“总费用＝购买A型车的费用+购买B型车的费用”算出选择甲、乙两展位购买A型车3辆、B型车6辆所需总钱数，二者作比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型车优惠后的价格为每辆x万元，B型车优惠后的价格为每辆y万元，
由题意，得：
，解得：
，
∴A型车原价：12+0.5＝12.5（万元）；B型车原价：16+1＝17（万元）．
答：A型车原价为12.5万元，B型车原价为17万元．
（2）∵两展位对A、B型车都购买3辆及以上给予优惠，且该公司要求尽可能多地购买B型车，
∴该公司应购A型车3辆，B型车6辆．
选择甲展位所需费用为12×3+16×6＝132（万元），
选择乙展位所需费用为（12.5×3+17×6）×（1﹣6%）＝131.13（万元），
∵132＞131.13，
∴该公司应该在乙展位定车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系列式计算．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出算式（方程或方程组）是关键．
题组A 基础过关练
一．选择题（共9小题）
1．（杭州模拟）某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出x张，每张35元，乙票每张20元，票房总额y，则（ ）
A．15x﹣y+4060＝0 B．x﹣15y+4060＝0
C．15x+y+4060＝0 D．x﹣15y﹣4060＝0
【分析】根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：y＝35x+20（203﹣x），
整理，得：15x﹣y+4060＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
2．（奉化区校级期末）《孙子算经》中的一道名题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？其意思是：用绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，问木头长多少尺？设木头为x尺，绳子为y尺，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“用绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：
．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．81
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为3x，宽为3y，观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再利用正方形的面积公式即可求出大正方形ABCD的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为3x，宽为3y，
根据题意得：
，
解得：
，
∴（3x+3y）2＝（3×2+3×1）2＝81．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（饶平县校级期末）如图商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm
【分析】设塑料凳桌面的厚度为xcm，腿高hcm，根据题意得，
，求出塑料凳桌面的厚度和腿高，然后即可计算出当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度．
【解答】解：设塑料凳桌面的厚度为xcm，腿高hcm，根据题意得，
，
解之得，x＝3，h＝20．
则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50cm．
故选：B．
【点评】此题是二元一次方程组的实际应用，求出塑料凳桌面的厚度和腿高是关键．
5．（拱墅区校级模拟）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．5x﹣3y＝72 B．5x+3y＝72 C．6x﹣2y＝92 D．6x+2y＝92
【分析】直接根据题意表示出不答的题为（20﹣x﹣y）道，根据每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分表示出总分＝72，进而得出答案．
【解答】解：设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则：
5x﹣3y﹣（20﹣x﹣y）＝72，
整理得：6x﹣2y＝92．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际得分是解题关键．
6．（南山区期末）某公司用3000元购进两种货物．货物卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据购进两种货物的总价为3000元及销售后的利润为315元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：
．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（无棣县期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数﹣物品价值＝3，②物品价值﹣7×人数＝4，据此可列方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组：
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
8．（奉化区校级期末）如图，在大长方形ABCD中，放入九个相同的小长方形，则图中阴影部分面积（单位：cm2）为（ ）
A．96 B．100 C．124 D．148
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣9×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：
，
解得：
，
∴20×（11+2y）﹣9xy＝124．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（怀柔区期末）鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ）
A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔23只
C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只
【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：
，
解得：
．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
10．（双城市期末）买14支铅笔和6本练习本，共用5.4元．若铅笔每支x元，练习本每本y元，写出以x和y为未知数的方程为 14x+6y＝5.4 ．
【分析】等量关系为：14支铅笔总价钱+6本练习本总价钱＝5.4，把相关量代入即可．
【解答】解：铅笔每支x元，14支铅笔需14x元；练习本每本y元，6本练习本需付6y元，共用5.4元，
可列方程为：14x+6y＝5.4．
【点评】根据共用去的钱得到相应的等量关系是解决问题的关键，注意单价与数量要保持对应关系．
11．（奉化区校级期末）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”求弟弟和哥哥的年龄．设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是 
．
【分析】设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意列出方程组解答即可．
【解答】解：设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意得：
，
故答案为：
．
【点评】考查了二元一次方程组的应用和理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
12．（奉化区校级期末）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，可列方程组 
．
【分析】根据题意，得出等量关系：①乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；②乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得出方程组即可．
【解答】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x＝5y+10；
根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x＝4y+2y．
可得方程组
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题是追及问题，注意：无论是哪一个等量关系中，总是甲跑的路程＝乙跑的路程．
13．（绥滨县期末）七（1）班学生42人去公园划船，共租用10艘船．大船每艘可坐5人，小船每艘可坐3人，每艘船都坐满．问大船、小船各租了多少艘？设坐大船的有x人，坐小船的有y人，由题意可得方程组为： 
．
【分析】由于一共租用了10只船．每只大船坐5人，每只小船坐3人，共有人数42人，所以可设租了大船x只，坐小船的有y人，由此可得等量关系式：x+y＝42，
+
＝10，即可得出答案．
【解答】解：设坐大船的有x人，坐小船的有y人，由题意可得方程组为：
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，据题意列出等量关系式是完成本题的关键．
14．（拱墅区校级期末）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地 140 km．
【分析】设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，设AC＝xkm，AB＝ykm，根据“两车行驶的总路程为210×2km，到C地时甲车加注到乙车里面的燃料等于甲车行驶到C地消耗掉的燃料”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可得出B地最远可距离A地140km．
【解答】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AC＝xkm，AB＝ykm，
依题意得：
，
解得：
，
∴乙在C地时加注行驶210﹣2×70＝70（km）的燃料，AB的最大长度为140km．
故答案为：140．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（绍兴期中）某企业2020年3月初准备开工，需要给员工发放口罩，老板只买到了少量口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，设该企业共有x名员工，买到了y个口罩，根据题意可列方程组为 
．
【分析】根据每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
三．解答题（共7小题）
16．（普宁市期末）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．
（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？
（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
【分析】（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省的钱数＝打折前购买所需费用﹣打折后购买所需费用，即可求出结论．
【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．
（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．
答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．（上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【分析】（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；
（2）利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣8×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得：
，
解得：
，
答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；
（2）∵每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，
∴图中阴影部分面积为18×（12+2）﹣8×2×10＝92（平方厘米）．
答：图中阴影部分面积为92平方厘米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（宁波期中）如图1，是3×3的方阵图，中国古代也叫“纵横图”，填写了一些数和表示数的代数式，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）在图2中完成此方阵图．
【分析】（1）要求x，y的值，根据表格中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可；
（2）根据（1）中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成表格的填写．
【解答】解：（1）由题意，得
，
解得
；
（2）如图，
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据方阵图中每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
19．（下城区校级期中）小明妈妈开了一家网店，专门销售女式鞋子．一次，小明发现一张进货单上的一条信息：
A款鞋的进价比B款鞋进价多40元，B款鞋的进价为每双160元．
（1）小明在销售单上记录了两天的数据如下表：
-
日期
A款女鞋销量
B款女鞋销量
销售总额
5月1日
12双
8双
4480元
5月2日
8双
10双
3920元
请问两种鞋的销售价分别是多少？
（2）小明妈妈说：“两款鞋的利润率相同．”结合所给的信息，判断小明妈妈的说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请给出一种调整售价的方案，使得两款鞋的利润率相同．
【分析】（1）设A款女鞋的销售价为x元/双，B款女鞋的销售价为y元/双，根据5月1日和5月2日两天的销售数量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分别求出两款鞋的利润率，比较后可得出妈妈的说法错误，方案一：A款女鞋的销售价增加m元，根据A款女鞋的利润率为25%，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；方案二：B款女鞋的销售价降低n元，根据B款女鞋的利润率为20%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设A款女鞋的销售价为x元/双，B款女鞋的销售价为y元/双，
依题意得：
，
解得：
．
答：A款女鞋的销售价为240元/双，B款女鞋的销售价为200元/双．
（2）A款女鞋的进价为160+40＝200（元/双），
A款女鞋的利润率为
×100%＝20%，
B款女鞋的利润率为
×100%＝25%．
∵20%≠25%，
∴妈妈的说法错误．
方案一：A款女鞋的销售价增加m元，
依题意得：
×100%＝25%，
解得：m＝10；
方案二：B款女鞋的销售价降低n元，
依题意得：
×100%＝20%，
解得：n＝8．
答：妈妈的说法错误，调整售价的方案为：A款女鞋的销售价增加10元或B款女鞋的销售价降低8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20．（会宁县期末）2019年2月《上海市生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：
①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了20%；
②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的
，可回收物中废纸占70%；
③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有20%的废纸；
④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．
根据上述信息回答下面的问题：
（1）学校现在每天生活垃圾重量是多少千克？
（2）学校现在每天的可回收物和干垃圾各多少千克？（用二元一次方程组解）
【分析】（1）根据现在每天生活垃圾重量＝原来每天生活垃圾重量×（1﹣20%），即可求出结论；
（2）设学校现在每天的可回收物有x千克，干垃圾有y千克，根据调查统计发现的问题②③④，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）400×（1﹣20%）＝320（千克）．
答：学校现在每天生活垃圾重量是320千克；
（2）设学校现在每天的可回收物有x千克，干垃圾有y千克，
依题意得：
，
解得：
．
答：学校现在每天的可回收物有160千克，干垃圾有60千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（奉化区校级期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
-
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【分析】（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；
②由第一次记录，列出方程组，可求解；
（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得
，可求解．
【解答】解：（1）①第二次记录错误，
理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∴第二次记录有误；
②由题意可得：
，
解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：
，
解得：x＝3y，
∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
22．（西湖区校级期中）如图，长为60cm，宽为xcm的大长方形被分割为10块，除A、B两块外，其余8块是形状、大小完全一样的小长方形，其较短一边长为acm．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 （60﹣4a） cm．（用含a的代数式表示）
（2）求图中A、B两块的周长和为多少？
（3）分别用含a、x和代数式表示A、B两块的面积，并求a为何值时这两块面积相等
【分析】（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长﹣小长方形宽的4倍；
（2）从图可知，A的长+B的宽＝x，A的宽+B的长＝x，依此求出两块阴影A、B的周长和；
（3）根据长方形的面积＝长×宽即可表示阴影A、B的面积，再令SA＝SB，即可求出a的值．
【解答】解：（1）每个小长方形较长一边长是（60﹣4a）cm．
故答案为（60﹣4a）；
（2）∵A的长+B的宽＝x，A的宽+B的长＝x，
∴A、B的周长和＝2（A的长+A的宽）+2（B的长+B的宽）
＝2（A的长+B的宽）+2（B的长+A的宽）
＝2x+2x
＝4x；
（3）∵SA＝（60﹣4a）×（x﹣4a）＝，SB＝4a（x﹣60+4a），
∵A、B两块的面积相等，
∴（60﹣4a）×（x﹣4a）＝4a（x﹣60+4a），
（60﹣4a）x﹣4a（60﹣4a）＝4ax﹣4a（60﹣4a），
（60﹣4a）x＝4ax，
（60﹣4a）x﹣4ax＝0，
（60﹣8a）x＝0，
60﹣8a＝0，
解得：a＝
．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（饶平县校级期末）某地响应国家号召，实施退耕还林政策．退耕还林之前，该地的林地面积和耕地面积共有180km2．退耕还林之后，该地的耕地面积是林地面积的30%．设退耕还林之后该地的耕地面积为xkm2，林地面积为ykm2，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】关键描述语是：林地面积和耕地面积共有180km2，耕地面积是林地面积的30%．等量关系为：林地面积+耕地面积＝180；耕地面积＝林地面积×30%．根据这两个等量关系，可列方程组为B．
【解答】解：设耕地面积xkm2，林地面积为ykm2，
根据题意列方程组
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
2．（拱墅区校级四模）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
3．（柯桥区月考）甲、乙两水池现共贮水40t，如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（ ）
A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17t
C．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t
【分析】设甲水池原先的贮水量是xt，乙水池原先的贮水量是yt．根据等量关系：①两水池共贮水40t；②如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，列方程组求解．
【解答】解：设甲水池原先的贮水量是xt，乙水池原先的贮水量是yt，根据题意得
，
解得
．
答：甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的等量关系列方程组是解决应用题的关键，能够熟练运用加减消元法解方程组．
4．（奉化区校级期末）疫情期间，小明去药店买口罩和消毒液（每包口罩单价相同，每瓶消毒液价格相同）．若购买20包口罩和15瓶消毒液，则身上的钱还少25元，若购买19包口罩和13瓶消毒液，则他身上的钱会剩下15元，若小明购买16只口罩和7瓶消毒液，则（ ）
A．他身上的钱会剩下135元
B．他身上的钱会不足135元
C．他身上的钱会剩下105元
D．他身上的钱会不足105元
【分析】设每只口罩为x元，每瓶消毒液为y元，由小江身上的钱不变得出方程20x+15y﹣25＝19x+13y+15，整理得x+2y＝40，再由小明购买16只口罩和7瓶消毒液的钱为16x+7y，得19x+13y+15﹣（16x+7y）＝3x+6y+15，代入计算即可．
【解答】解：设每只口罩为x元，每瓶消毒液为y元，
根据题意得：20x+15y﹣25＝19x+13y+15，
整理得：x+2y＝40，
∵小明购买16只口罩和7瓶消毒液的钱为16x+7y，
∴19x+13y+15﹣（16x+7y）
＝3x+6y+15
＝3（x+2y）+15
＝3×40+15
＝135，
即小明身上的钱会剩下135元，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
5．（包河区期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【解答】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
由题意得：
，
两式相加得，m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，计算出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．（奉化区校级期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为 
．
【分析】设雀重x两，燕重y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】解：设雀重x两，燕重y两，
由题意得，
．
故答案是：
．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
7．（宁波模拟）如图，一个矩形被分割成11个正方形，原矩形的长为a，宽为b（a＞b），则
＝ 
．
【分析】设矩形中较小的正方形的边长为x，较大的正方形的边长为y，由图中各个正方形的边长之间的关系列出方程组，解方程组，进而求解即可．
【解答】解：设矩形中较小的正方形的边长为x，较大的正方形的边长为y，
由题意得：
，
解得：
，
又∵b＝3x+
a＝
a，
∴
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（奉化区校级期末）如图，P是长方形ABCD内一点，过点P分别作EF∥AB，GH∥BC，（E，F，G，H在长方形的各边上），这样，EF，GH就把长方形ABCD分割成四个小长方形，若其中长方形BEPG的面积是其周长的1.5倍，长方形AGPF和长方形PECH的面积均为2，则长方形PHDF的周长为 
．
【分析】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
【解答】解：设PG＝a，PE＝b，PF＝c，PH＝d，
根据题意，得
ac＝bd＝2，则c＝
，d＝
．
又ab＝1.5×2（a+b）＝3（a+b）．
c+d＝
+
＝
＝
＝
．
所以长方形PHDF的周长为2（c+d）＝
．
故答案为
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，长方形AGPF和长方形PECH的面积均为2，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
9．（萧山区期末）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：
（1）马牛各价几何？
（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？
【分析】（1）设马每匹x两，牛每头y两，由题意：马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．列出方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果进行计算即可．
【解答】解：（1）设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意得：
，
解得：
，
答：马每匹6两，牛每头4两；
（2）由题意得：6×13+4×10＝118（两），
答：马一十三匹、牛十头，共价118两．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（丽水月考）如图，已知方格纸的每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m，各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n．
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值；
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
【分析】（1）根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m得出8+2n﹣m＝9；再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，得出12+n﹣2m＝8，计算即可；
（2）根据w＝0，得出a+n﹣2m＝0和x+n﹣2m＝a，整理即可．
【解答】解：（1）由已知得：
，
解得：
．
（2）由已知得：
，
解得：x＝2a．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
11．（诸暨市月考）某企业承接了一批礼盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工礼盒多少个；
（2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【分析】（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，根据“提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个”即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x值；
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，
根据题意得：
＝3，
解得：x＝30，
经检验：x＝30满足题意．
答：原计划每天加工礼盒30个．
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．
由已知得：
，
解得：
，
答：竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【点评】本题考查了解分式方程、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列出关于m、n的二元一次方程组．
12．（禅城区期末）在元旦期间，某商场投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，两种商品的成本价和销售价如下表所示：
-
商品
单价（元/件）
成本价
销售价
甲
24
36
乙
33
48
（1）该商场购进两种商品各多少件？
（2）这批商品全部销售完后，该商场共获利多少元？
【分析】（1）设商场购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，列出方程组解答即可；
（2）根据总利润＝甲的利润+乙的利润，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设商场购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，由题意得：
，
解得：
，
答：商场购进甲种商品300件，购进乙种商品200件．
（2）根据题意得：
300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
＝3600+3000
＝6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
13．（润州区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得：
．
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：
，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
14．（北仑区期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值；
（3）为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？
【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值；
（3）每辆大货车运送方形杨梅p篮，每辆中货车运送方形杨梅q篮，依题意列方程组求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得 160a+270a＝8600，
解得：a＝20，
答：a的值为20．
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，
由题意，得
，
解得：
，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
则
，
解这个关于m和n的方程组，
可得：
，
∵n为正整数，
∴36﹣
b＞0，且b应为9的倍数，
解得：b＜
，
又∵b＞0，
∴b的值为9或18．
答：b的值为9或18．
（3）设每辆大货车运送方形杨梅p篮，每辆中货车运送方形杨梅q篮，
依题意可得：
，
解得：
，
经检验
是原方程的解，
答：每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮．
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
（1）放入一个小球水面升高 2 cm，放入一个大球水面升高 3 cm；
（2）如果放入10个球，使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
（3）现放入若干个球，使水面升高21cm，且小球个数为偶数个，问有几种可能，请一一列出（写出结果即可）．
【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可；
（2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（3）设放入小球a个，大球b个，根据题意列出方程，由小球个数为偶数个列出所有符合条件的a、b的值即可．
【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2；
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3．
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm，
故答案为：2，3；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得
解得：
，
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个；
（3）设放入小球a个，大球b个，
根据题意，得：2a+3b＝21，
①当a＝0时，b＝7；
②当a＝3时，b＝5；
③当a＝6时，b＝3；
④当a＝9时，b＝1．
又∵小球个数为偶数个，
∴a＝0，b＝7或a＝6，b＝3．
【点评】本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键．