第07讲三元一次方程组的解法及应用（核心考点讲与练）
一．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
二．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性
一．解三元一次方程组（共2小题）
1．（西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y﹣3z＝5，x+2y+z＝﹣4，请用x的代数式表示z，即 z＝
．
【分析】根据已知方程消去y，表示出z即可．
【解答】解：2x+y﹣3z＝5①，x+2y+z＝﹣4②，
①×2﹣②得：3x﹣7z＝14，
整理得：z＝
．
故答案为：z＝
．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及列代数式，根据题中等式消去y是本题的突破点．
2．（杭州期末）解三元一次方程组：
．
【分析】因为三个方程中z的系数相同或互为相反数，应用加减法来解．
【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，
③+②得3x+4y＝18⑤，
得方程组
，
解得
，
代入③得，2+3+z＝6，
∴z＝1．
∴方程组的解为
．
【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：
方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
二．三元一次方程组的应用（共6小题）
3．（鹿城区校级二模）已知
，
都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关系判断正确的是（ ）
A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3． C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3
【分析】将两对解代入方程得到
，①﹣②即可求得a﹣b＝3．
【解答】解：将
，
代入方程y＝﹣3x+c，得
，
①﹣②得：a﹣b＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
4．（慈溪市期末）学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的
；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的
，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的
；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的
．则报甲、乙两个项目的人数之比为 1：2 ．
【分析】设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，根据“报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的
；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的
，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的
；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的
”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由方程①可得z＝
x+
y③，将③代入②化简后可得出
x＝
y，进而可得出x：y＝1：2．
【解答】解：设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，
依题意得：
，
由①得：z＝
x+
y③，
将③代入②得：
x+
y＝
×（
x+
y），
化简得：
x＝
y，
∴x：y＝1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
5．（奉化区校级期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩．若买6个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，则她所带的钱还缺8元．若只买10个KN95口罩，则她所带的钱还缺 44 元．
【分析】设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为a元，根据“若买6个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，则她所带的钱还缺8元”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，利用（6×②﹣4×①）÷2可得出10y＝a+44，移项后即可得出结论．
【解答】解：设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为a元，
依题意，得：
，
（6×②﹣4×①）÷2，得：10y＝a+44，
∴10y﹣a＝44．
故答案为：44．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
6．（东阳市期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元．
A．16 B．60 C．30 D．66
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，由题意：买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，求出x+y+z＝6，即可求解．
【解答】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：
，
由①×2﹣②得：x+y+z＝6，
∴10x+10y+10z＝10×6＝60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
7．“三宁”公司扩建，某项工程招标时，工程领导小组接到了甲、乙、丙三个工程队的投标书，甲、乙工程队合作施工两天需付工程款6万元，乙、丙工程队合作施工三天需付工程款6.6万元，甲、丙工程队合作施工4天需付工程款12.8万元．工程领导小组根据甲、乙、丙三队的投标书测算，得到以下四种方案：
方案①：由甲工程队单独完成这项工程，刚好按规定日期完成；
方案②：由乙工程队单独完成这项工程，所需天数是规定日期的两倍；
方案③：由丙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多9天；
方案④：先由甲、乙、丙三工程队合作做3天，再由乙、丙两工程队合作做3天，最后由丙工程队单独做，也正好如期完成；
（1）每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为多少万元？
（2）规定的日期是多少天？
（3）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由．
【分析】（1）设每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为x万元、y万元、z万元，根据“甲、乙工程队合作施工两天需付工程款6万元，乙、丙工程队合作施工三天需付工程款6.6万元，甲、丙工程队合作施工4天需付工程款12.8万元”列出方程组，求解即可；
（2）设规定的日期是a天，根据甲、乙、丙三工程队合作做3天完成的工作量+乙、丙两工程队合作做3天完成的工作量+由丙工程队单独做（a﹣6）天完成的工作量＝1列出方程，求解即可；
（3）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．
【解答】解：（1）设每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为x万元、y万元、z万元，
根据题意，得
，解得
．
答：每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为2万元、1万元、1.2万元；
（2）设规定的日期是a天，根据题意，得
3（
+
+
）+3（
+
）+
（a﹣6）＝1，
解得a＝18．
经检验，a＝18是原方程的解，也符合题意．
答：规定的日期是18天；
（3）∵方案②与方案③都耽误工期，
∴施工方案是①与④．
方案①需要的工程款为：2×18＝36（万元），
方案④需要的工程款为：3（2+1+1.2）+3（1+1.2）+1.2×12＝12.6+6.6+14.4＝33.6（万元），
∴在不耽误工期的前提下，方案④最省钱．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
8．妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：
为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．
-
规格
A
B
C
每束花朵数
20
35
50
价格（元/束）
4
6
9
【分析】设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，然后根据题意列出代数式4a+6b+9c＝100，再根据4a，6b，100的奇偶性来判断c的奇偶性；最后，对各种花束的花朵数进行比较并作出判断与选择．
【解答】解：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，则4a+6b+9c＝100．
因为4a，6b，100都是偶数，所以c是偶数，
各种花束的花朵数进行比较：
（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵．因此买A
种花3束不妨改买B种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2；
（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶数，所以c＝0；
根据以上分析，得4a+6b＝100，化简得2a+3b＝50．
若a＝1，则b＝16；若a＝2，则b不是整数．这个方程符合条件的解只有1个．
答：买A种花1束、B种花16束，这时花朵最多，达580朵．
【点评】本题主要考查了关于一元二次方程的一道应用题，在解答一元二次方程时，要根据实际情况来确定方程的整数解．
题组A 基础过关练
一．选择题（共4小题）
1．（西湖区校级月考）方程组
的解x、y的值互为相反数，则k的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：解方程组得：
根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0
解得：k＝2
故选：B．
【点评】正确解关于x，y的不等式组是解决本题的关键．
2．（椒江区期末）如果方程组
的解x、y的值相同，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】由题意将方程组
中的两个方程相减，求出y值，再代入求出y值，再根据x＝y求出m的值．
【解答】解：由已知方程组
的两个方程相减得，
y＝﹣
，x＝4+
，
∵方程组
的解x、y的值相同，
∴﹣
＝4+
，
解得，m＝﹣1．
故选：B．
解法2、∵方程组
的解x、y的值相同，
∴联立得，
，
解得，
，
将x＝2，y＝2代入x﹣（m﹣1）y＝6，
解得，m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考二元一次方程组的解法，一般先消元求出x，再代入其中一个方程求出y值，比较简单．
3．（福田区校级期末）若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），则
的值等于（ ）
A．
B．
C．﹣15 D．﹣13
【分析】先由
解得
，再代入
即可．
【解答】解：由
解得
，
代入
＝
＝﹣13，
故选：D．
【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
4．（金华期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（ ）
A．3 B．
C．﹣2 D．4
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
【解答】解：
，
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
将
代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
二．填空题（共3小题）
5．（晋江市模拟）已知方程组
，则x：y：z＝ 2：3：1 ．
【分析】先解方程组，用含z的代数式表示x、y，再求x：y：z．
【解答】解：
，
①+②，得2x﹣4z＝0，
∴x＝2z．
①﹣②，得2y﹣6z＝0，
∴y＝3z．
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
【点评】本题考查了三元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
6．（奉化区期中）已知
，则x+y﹣z＝ 7 ．
【分析】把z看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：
，
①×2﹣②得：9y＝3﹣18z，
解得：y＝
﹣2z，
把y＝
代入①得：x＝3z+
，
则x+y﹣z＝3z+
+
﹣2z﹣z＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（鹿城区校级月考）如图，甲、乙、丙均为正方形，甲与乙的面积之和是丙面积的
，甲内阴影部分的面积占甲面积的
，乙内阴影部分面积占乙面积的
，丙内阴影部分的面积占丙面积的
，则甲、乙两个正方形面积的比为 2：1 ．
【分析】设甲的面积为x，乙的面积为y，丙的面积为z，根据“甲与乙的面积之和是丙面积的
，甲内阴影部分的面积占甲面积的
，乙内阴影部分面积占乙面积的
，丙内阴影部分的面积占丙面积的
”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之可得出
x＝
y，进而可求出甲、乙两个正方形面积的比．
【解答】解：设甲的面积为x，乙的面积为y，丙的面积为z，
依题意得：
，
由②可得：z＝
x+2y③，
将③代入①中得：x+y＝
x+
y，
∴
x＝
y，
∴x：y＝2：1．
故答案为：2：1．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
8．已知正实数a、b、c满足方程组
，求a+b+c的值
【分析】先把三个方程相加，得到[（a+b+c）+9][（a+b+c）﹣8]＝0，再由a，b，c都是正实数，从而得出答案．
【解答】解：三式相加，得：
（a+b+c）+（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）＝72，
∴（a+b+c）2+（a+b+c）﹣72＝0，
∴[（a+b+c）+9][（a+b+c）﹣8]＝0，
∵a，b，c都是正实数，
∴a+b+c+9＞0，
∴a+b+c＝8．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法．解题的关键是弄清题意和所给的条件，然后解题就容易了．
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题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．（雁塔区校级期末）若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
【分析】两方程的两边分别相加，即可得出7x+7y+7z＝7，再两边除以7即可．
【解答】解：由题意得：
①+②得：7x+7y+7z＝7，
即x+y+z＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能够选择适当的方法求解是解此题的关键．
2．（苍南县校级自主招生）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．
【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，
得
，
解得
；
代入y＝x3+ax2+bx+c得：
y＝x3﹣18x2+117x﹣210，
把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：
y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，
解法二：y﹣10x＝x3+ax2+bx+c＝0有三个根5，6，7，
∴y＝（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）+10x．
∴当x＝4时，y＝34．
故选：B．
【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．
3．（乐平市校级自主招生）一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内．发现漏洞时，船内已经进入了一些水，如果以12个人淘水，3h可以淘完，如果以5个人淘水，10h才能淘完．现在要想在2h内淘完，需要（ ）人．
A．17 B．18 C．20 D．21
【分析】设水流入的速度为y，原来有水z，一人的淘水速度为x，需要w人，根据流入的水+原来的水＝人淘出的水，列出方程组求解．
【解答】解：设水流入的速度为y，原来有水z，一人的淘水速度为x，需要w人，根据题意得：
，
（2）﹣（1）得：
y＝2x，
代入（1）得：
z＝30x，
把z＝30x，y＝2x代入（3）得：
w＝17（人）．
所以要想在2小时内淘完，需要17人．
故选：A．
【点评】本题通过列出方程组求解，关键是找到等量关系为：流入的水+原来的水＝人淘出的水．
4．（浙江校级自主招生）已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且
，那么x2+y2+z2的值等于（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x﹣y|式子的范围，把已知访化简，从而确定x，y，z的范围即可求解．
【解答】解：∵x≤y＜z，
∴|x﹣y|＝y﹣x，|y﹣z|＝z﹣y，|z﹣x|＝z﹣x，
因而第二个方程可以化简为：
2z﹣2x＝2，即z＝x+1，
∵x，y，z是整数，
根据条件
，
则
两式相加得到：﹣3≤x≤3，
两式相减得到：﹣1≤y≤1，
同理：
，得到﹣1≤z≤1，
根据x，y，z是整数讨论可得：x＝y＝﹣1，z＝0，
∴x2+y2+z2＝（﹣1）2+（﹣1）2+0＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定x，y，z的范围是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
5．（如皋市期中）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则
＝ 
．
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
【解答】解：由题意得：
，
①×2﹣②得y＝11z，
代入①得x＝﹣19z，
原式＝
＝
＝
．
故本题答案为：
．
【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．
6．（开福区校级自主招生）三个实数按从小到大排列为x1，x2，x3，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则x2＝ 15 ．
【分析】首先根据x1，x2，x3这三个实数的大小关系列出方程组
，再解该方程组即可得到结果．
【解答】解：根据题意得
三式相加得x1+x2+x3＝32 ④
④﹣②得，x2＝15．
故答案为15
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组，解方程组并不难．
7．（黄州区校级自主招生）有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需 6 元．
【分析】设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．
由题意列方程组得：
，然后求得x+y+z的值．
【解答】解：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．
由题意列方程组得
由①×3﹣②×2得x+y+z＝6
故答案为6．
【点评】根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
8．（宁波自主招生）设：a、b、c均为非零实数，并且ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），则
＝ 
．
【分析】求出
+
、
+
、
+
，求出
+
+
的值，求出abc后代入求出即可．
【解答】解：∵ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），
∴
＝
，
∴
+
＝
，①
同理
+
＝
②，
+
＝
，③
相加的：
+
+
＝
，④
④﹣②得：a＝
，
④﹣①：c＝24，
④﹣③：b＝
，
∴
＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查对解三元一次方程组的理解和掌握，能巧妙地运用适当的方法求出abc的值是解此题的关键．
9．（温州自主招生）已知
是一个三位数，且
，则
＝ 432 ．
【分析】根据题意，左右对照，得到三元一次方程组，然后解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得
，
则
＝432．
故本题答案为：432．
【点评】本题通过建立三元一次方程组，利用加减消元法求解，
10．（宁波校级自主招生）某人想买A、B、C三件物品，若买13件A物品、5件B物品、9件C物品，则需9.25元；若买2件A物品、4件B物品、3件C物品，则需3.2元．试问若买A物品、B物品、C物品各2件，则需 2.1 元．
【分析】设A物品、B物品、C物品的单价分别为x、y、z元．列方程组得：
，然后求得2x+2y+2z的值．
【解答】解：设A物品、B物品、C物品的单价分别为x、y、z元，
列方程组得：
，
②×3得3（2x+4y+3z）＝9.6，
∴y﹣x＝0.05③
将③代入②消y得2x+z＝1④
得2x+2y+2z＝2.1
故本题答案为：2.1．
【点评】根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
三．解答题（共8小题）
11．（东阳市期末）解方程组：
（1）
（2）
．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法可以解答本题；
（2）根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【解答】解：
将①代入②，得
3（3+2y）﹣8y＝13，
解得，y＝﹣2，
将y＝﹣2代入①，得
x＝﹣1
∴原方程组的解是：
；
（2）
，
①+②，得
2x+3y＝18 ④
③﹣①，得
2x﹣2y＝﹣2 ⑤
④﹣⑤，得
5y＝20，
解得，y＝4，
将y＝4代入④，得
x＝3，
将x＝3，y＝4代入①，得
z＝5
∴原方程组的解是
．
【点评】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组，解答本题的关键是明确解方程组的方法，消元，最终化为解一元一次方程．
12．（杭州期末）解三元一次方程组：
．
【分析】因为三个方程中z的系数相同或互为相反数，应用加减法来解．
【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，
③+②得3x+4y＝18⑤，
得方程组
，
解得
，
代入③得，2+3+z＝6，
∴z＝1．
∴方程组的解为
．
【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：
方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
13．工厂的质量检验车间积压了部分产品待检，与此同时，流水线传送带按一定的速度送来待检产品．如果打开一部质量检验机，需要半个小时方可将待检产品全部通过质量检验；同时打开两部质量检验机，只需十分钟便可将待检产品全部通过质量检验．现因生产需要在五分钟内将待检产品全部通过质量检验，问此时至少要同时打开几部质量检验机？
【分析】首先应搞清检测及在检测的同时，传送带还继续传送物体，假设出检测车间积压了z件产品待检，每分钟送来待检产品x件，在五分钟内将待检产品全部通过质量检验，至少要同时打开y部质量检验机，这样列出有关检测机个数的方程，进而得出答案．
【解答】解：假设车间积压了z件产品待检，每分钟送来待检产品x件，在五分钟内将待检产品全部通过质量检验，至少要同时打开y部质量检验机，由题意得：
，①，
＝2，②，
＝y；③；
由①②解得：x＝0.5，z＝15，
代入③得：
y＝3.5，
结合实际问题结果不能是小数，所以应该为4台质量检测机．
答：至少要同时打开4部质量检验机．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，搞清题目中的变量与恒量是解决问题的关键．
14．如下，□、△、〇分别代表一个数字，且满足以下三个等式：
□+□+△+〇＝17
□+△+△+〇＝14
□+△+〇+〇＝13，
则□、△、〇分别代表什么数字？并说明理由．
【分析】先设□＝x，△＝y，〇＝z，根据题意列出方程2x+y+z＝17①，x+2y+z＝14②，x+y+2z＝13③，然后用加减消元法和代入法解方程即可．
【解答】解：设□＝x，△＝y，〇＝z，
由题意得：
，
由①﹣③得：x﹣y＝3，
由②﹣③得：y＝1+z，
∴x＝4+z，
把x、y的值代入①得：z＝2，
∴x＝6，y＝3．
即□代表6、△代表3、〇代表2．
【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．解题的关键是消元，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．
15．若3x+2y+4z＝4，x﹣y+z＝2，求x+4y+2z的值．
【分析】由x﹣y+z＝2得，2x﹣2y+2z＝4…①，又3x+2y+4z＝4…②，所以，由②﹣①得，x+4y+2z＝0，即可得出；
【解答】解：由x﹣y+z＝2得，2x﹣2y+2z＝4，
∴
，
∴由②﹣①得，x+4y+2z＝0，
所以，x+4y+2z的值为0．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，根据题意，可将已知条件做适当变形，相加或相减即可得出；而没必要求出x、y、z的值．
16．（浙江自主招生）有A、B、C、D、E5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有x1面（x1＞0时即为A给B有x1面；x1＜0时即为B给A有x1面．以下同），B给C有x2面：C给D有x3面，D给E有x4面，E给A有x5面，问x1、x2、x3、x4、x5分别为多少时才能使调动的小旗总数|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|最小？
【分析】根据题意列出方程组，把一个未知数当作已知，表示出其余的未知数，根据题意取其绝对值，画出数轴，找出各对应点，求出其最小值．
【解答】解：由于共有小旗面数为16+8+12+4+15＝55面，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面．
由题意：
，
变形得：
，
∴|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|＝|x2+3|+|x2|+|x2+1|+|x2﹣6|+|x2﹣2|＝|x2+3|+|x2+1|+|x2|+|x2﹣2|+|x2﹣6|，
设实数x2在数轴上的对应点为P，
实数﹣3，﹣1，0，2，6在数轴上的对应点分别为P1，P2，P3，P4，P5，
∴|x1|+|x2|+|x3|+x4|+|x5|＝|PP1|+|PP2|+|PP3|+|PP4|+|PP5|，
当且仅当P在线段P1P5上时|PP1|+|PP5|有最小值9，
当且仅当P在线段P2P4上时|PP2|+|PP4|有最小值3，
当且仅当P与点P3重合时|PP3|有最小值0，
即当且仅当P与点P3重合（x2＝0）时，
x1+x2+x3+x4+x5＝|PP1|+|PP2|+|PP3|+|PP4|+|PP5|有最小值12．
当x1＝3，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2时|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|有最小值12．
【点评】此题比较复杂，涉及到四元一次方程组及绝对值的相关知识，解答此类题目的关键是画出数轴，根据数形结合解题．
17．（天心区校级自主招生）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表
-
甲
乙
丙
原有
x
y
z
第一次送后
x﹣y﹣z
2y
2z
第二次送后
2（x﹣y﹣z）
2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z
4z
第三次送后
4（x﹣y﹣z）
2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后的结果列出方程组
先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．
【解答】解：设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．
-
甲
乙
丙
原有
x
y
z
第一次送后
x﹣y﹣z
2y
2z
第二次送后
2（x﹣y﹣z）
2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z
4z
第三次送后
4（x﹣y﹣z）
2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后列方程组
，
即
，
③﹣②得2z﹣y＝8④，
②+①得y﹣z＝24⑤，
④+⑤得z＝32，
将z代入⑤得y＝56，
将y、z代入①得x＝104，
答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．
【点评】解答此题的关键是用表格的方式列出三次赠送邮票的过程，根据第三次结果列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
18．（慈溪市校级自主招生）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加
，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加
．问原来在篮子A中有多少个弹珠？
【分析】解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．根据题意说明列出方程组
，求的x的值即为所求．
【解答】解：设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25﹣x）个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．
则由题意得
，
由②得a＝
由③得b＝
将a、b代入①解得x＝9，
答：原来篮子A中有9个弹珠．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是设定恰当的未知数，尤其是原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b；再根据题意列出方程组．