第5章分式（易错30题专练）

一．选择题（共7小题）

1．（拱墅区期末）要使分式 有意义，则（　　）

A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：要使分式 有意义，

则x+1≠0，

解得，x≠﹣1，

故选：D．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．

2．（聊城）如果分式 的值为0，那么x的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【解答】解：根据题意，得

|x|﹣1＝0且x+1≠0，

解得，x＝1．

故选：B．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

3．（临海市期末）如果把分式 中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）

A．缩小为原来的3倍 B．不变

C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍

【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

＝ ，

∴如果把分式 中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，

故选：B．

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

4．（奉化区校级期末）计算 结果正确的是（　　）

A．a﹣b B．b﹣a C． D．

【分析】先把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

【解答】解：

＝ ﹣

＝

＝ ，

故选：C．

【点评】本题主要考查了分式的加减法，通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．

5．（奉化区校级期末）已知x+y＝3，xy＝2，则下列结论中①（x﹣y）²＝1，②x²+y²＝5，③x²﹣y²＝3，④ ，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据将x+y＝2两边同时平方得：x²+y²＝5，分别计算各式可作判断．

【解答】解：∵x+y＝3，

∴（x+y）²＝9，即x²+y²＝9﹣2xy＝5，②正确；

∴①（x﹣y）²＝x²+y²﹣2xy＝5﹣2×2＝1，①正确；

③∵（x﹣y）²＝1，

∴x﹣y＝±1，

x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝±3，③不正确；

④ ＝ ＝ ，④不正确；

所以本题正确的有：①②，2个，

故选：B．

【点评】本题考查了分式的加减法和完全平方公式，将式子变形后可得两个数的平方和，熟练掌握完全平方公式是关键．

6．（宁波期末）下列从左到右的变形正确的是（　　）

A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a²﹣b² B． ＝

C．2x²﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2） D．4m²﹣6mn+9n²＝（2m﹣3n）²

【分析】根据平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a²+b²，原变形错误，故此选项不符合题意；

B、 ＝ ，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、2x²﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2），原变形正确，故此选项符合题意；

D、4m²﹣12mn+9n²＝（2m﹣3n）²，4m²﹣6mn+9n²不能在实数范围内因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式．熟练掌握平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式是解答此题的关键．

7．（拱墅区期末）分式 可变形为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用分式的基本性质化简即可．

【解答】解： ＝﹣ ．

故选：D．

【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．

二．填空题（共10小题）

8．（诸暨市校级月考）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则 ＝　 　．

【分析】先解三元一次方程组，求出y＝11z，x＝﹣19z，然后代入分式中进行计算即可解答．

【解答】解： ，

①×2得：2x+4y﹣6z＝0③，

③﹣②得：y﹣11z＝0，

解得：y＝11z，

把y＝11z代入①中可得：x+22z﹣3z＝0，

解得：x＝﹣19z，

∴

＝

＝

＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了解三元一次方程组，分式的值，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．

9．（柯桥区月考）若（a﹣b﹣2019）²+（2021﹣a+b）²＝5，则代数式 的值为　﹣4042　．

【分析】设a﹣b﹣2019＝x，由已知可得：x²﹣2x＝ ，即可得 ＝ ＝ ＝﹣4042．

【解答】解：设a﹣b﹣2019＝x，则2021﹣a+b＝2﹣（a﹣b﹣2019）＝2﹣x，

∴x²+（2﹣x）²＝5，

化简变形可得：x²﹣2x＝ ，

∴

＝

＝

＝

＝﹣4042，

故答案为：﹣4042．

【点评】本题考查求分式的值，解题的关键是整体思想和换元法的应用．

10．（海曙区校级月考）若解分式方程 ＝ 产生增根，则k＝　﹣3　．

【分析】根据题意可得x＝﹣2，再把x＝﹣2代入整式方程中进行计算即可．

【解答】解：∵分式方程 ＝ 产生增根，

∴x+2＝0，

∴x＝﹣2，

∵ ＝ ，

∴x﹣1＝k，

把x＝﹣2代入x﹣1＝k中得：

k＝﹣2﹣1＝﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．

11．（太原期末）分式 有意义的条件是　x≠2　．

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：要使分式 有意义，

则x﹣2≠0，

解得，x≠2，

故答案是：x≠2．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．

12．（镇海区期末）若关于x的方程 + ＝ 无解，则m＝　3或﹣3或9　．

【分析】根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．

【解答】解：分式方程化简，得

3（x﹣1）+6x＝m（x+1）

整理，得

（9﹣m）x＝3+m

当x＝0时，m＝﹣3；

当x＝1时，m＝3；

当9﹣m＝0时，m＝9．

故答案为：3或﹣3或9．

【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时，原分式方程也无解．

13．（西湖区校级开学）使分式 有意义，x应满足的条件是　x≠1且x≠2　．

【分析】要使分式 有意义的条件为：x﹣1≠0且x﹣2≠0，就可求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0且x﹣2≠0，

解得：x≠1且x≠2，

故答案为：x≠1且x≠2．

【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．

14．（拱墅区期末）若分式 的值为0，则x的值为　﹣5　．

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

【解答】解：∵分式 的值为0，

∴ ，

解得x＝﹣5且x≠ ，

∴x的值为﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．

15．（仙居县模拟）小明化简分式如下： ＝﹣1，他的化简对还是错？（填写“对”或“错”）　错　，正确的化简结果是　﹣ 　．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：错，正确的解法是：

﹣

＝ ﹣

＝

＝﹣

故答案为：错，﹣ ．

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

16．（青白江区期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝ ，例如，1⊗3＝ ＝﹣ ．则方程x⊗2＝ ﹣1的解是　x＝5　．

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．

【解答】解：根据题中的新定义，化简得： ＝ ﹣1，

去分母得：1＝2﹣x+4，

解得：x＝5，

经检验，x＝5是分式方程的解，

故答案为：x＝5．

【点评】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．

17．（沂源县期中）若 ＝2，则 ＝　 　

【分析】由 ＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．

【解答】解：由 ＝2，得x+y＝2xy

则 ＝ ＝ ＝ ．

故答案为 ．

【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．

三．解答题（共13小题）

18．（奉化区校级期末）先化简再求值： ，在x＝±2、0、±1中选择一个你喜欢的数，求原式的值．

【分析】将题中的分式先进行化简，再将所选值代入即可求解．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝3x+2

∵x≠±2、0，

∴当x＝1时，原式＝3+2＝5；

或当x＝﹣1时，原式＝﹣3+2＝﹣1．

【点评】本题考查分式的化简的有关内容，解题的关键是利用运算法则正确进行化简，要注意除法没有分配律．

19．（奉化区校级期末）当m为何值时，分式 的值为0？

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．

【解答】解：由题意得，m²﹣4＝0，m²﹣m﹣6≠0，

解得，m＝2，

则当m＝2时，此分式的值为零．

【点评】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

20．（奉化区校级期末）解答下列各题：

（1）解方程： +1＝ ．

（2）已知x﹣3y＝0，求分式 的值．

【分析】（1）先把方程两边乘以（x﹣1）（x+1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解；

（2）把x＝3y代入分式，然后计算分子、分母后约分即可．

【解答】解：（1）去分母得﹣2（x+1）+（x﹣1）（x+1）＝x（x﹣1），

解得x＝﹣3，

经检验，原方程的解为x＝﹣3；

（2）∵x﹣3y＝0，

∴x＝3y，

∴原式＝

＝ ．

【点评】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤（去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论）．也考查了解二元一次方程组．

21．（长兴县模拟）解方程 ﹣2．

【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），

解得：x＝3，

检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0，

∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解．

【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．

22．（马山县模拟）解方程： ．

【分析】此方程的分式中的分母互为相反数，还有一常数﹣1，去分母时不要漏乘．

【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣（2x﹣1）＝﹣3，

解得x＝4．

检验：当x＝4时，2x﹣1＝7≠0，

x＝4是原方程的解．

【点评】此题难度适中，其中的方法和转化思想，有利于学生巩固基础知识．

23．（余杭区模拟）解分式方程 ．

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

【分析】解分式方程的关键是去分母，去分母时方程的两边在乘以最简公分母时容易漏乘，需特别留意．

【解答】解：不正确

去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

去括号，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4，

解得x＝2．

经检验，x＝2是增根，舍去．

∴原方程无解．

【点评】此题难度适中，有利于帮助学生克服解分式方程时常出现的错误．

24．（习水县模拟）先化简，再求值：（a﹣1﹣ ）÷ ，请在﹣ ＜a＜ 的范围内选择一个合适的整数代入求值．

【分析】先计算括号内的，把（a﹣1）当作一个整体，分母为1，与 进行通分运算，并把运算的结果进行因式分解， 的分子进行因式分解，化为 ，与括号内的运算结果，先约分，再进行运算，最后找到 与 的整数部分，对两个无理数进行估算，可以确定能够代值的整数有﹣1，0，1，2四个，但是分母不能为0，所以a只能取0或1，任意选择一个进行代值运算．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ，

∵ ，且a为整数，

∴a＝﹣1，0，1，2，

又∵分母不能为0，

∴a＝0或1，

当a＝0时，原式＝﹣1．

【点评】本题考查了分式的运算，有三个难点，一个难点是整式与分式加减，需把整式当作分母为1，第二个难点就是估算无理数的大小，尤其是 的范围，关键是找到各个无理数的整数部分，第三个难点就是设置了分母不能为0的这个陷阱，题目只能代入0或1．

25．（长兴县月考）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．

（1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接；

（2）若a＞b，利用（1）中的结论计算a+b＝1，ab＝ ，求a﹣b的值．

（3）根据（1）中的结论，若x²﹣3x+1＝0，求x﹣ 的值．

【分析】（1）阴影部分的面积＝4个长方形的面积和，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，再求出答案即可；

（2）把a+b＝1和ab＝ 代入（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab，即可求出答案；

（3）求出x+ ＝3，再根据（1）的结论进行变形，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（1）阴影部分的面积S＝（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab；

（2）∵a+b＝1，ab＝ ，

又∵（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab，

∴（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab

＝1²﹣4× ＝1﹣ ＝ ，

∴a﹣b＝ ＝ （负数不符合题意，舍去）；

（3）∵x²﹣3x+1＝0，

∴x²+1＝3x，

因为要使x﹣ 有意义，必须x≠0，

所以方程两边除以x得：x+ ＝3，

∴（x﹣ ）²＝（x+ ）²﹣4•x•

＝3²﹣4

＝5，

∴x﹣ ＝± ．

【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式和分式的化简求值等知识点，能用两种不同的方法表示阴影部分的面积是解此题的关键．

26．（巴南区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题

材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．

解：由分母为x+1，可设3x²+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．

因为（x+1）（3x+a）+b＝3x²+ax+3x+a+b＝3x²+（a+3）x+a+b，

所以3x²+4x﹣1＝3x²+（a+3）x+a+b．

所以 ，解之，得 ．

所以 ＝

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 的差的形式．

问题：（1）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；

（2）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．

【分析】（1）根据阅读材料内容进行拆分：由分母为x﹣1，可设2x²+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．计算即可；

（2）根据阅读材料进行拆分：由分母为x²+2，可设5x⁴+9x²﹣3＝（x²+2）（5x²+a）+b．进行计算即可．

【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x²+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．

因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x²+ax﹣2x﹣a+b＝2x²+（a﹣2）x﹣a+b，

所以2x²+3x+6＝2x²+（a﹣2）x﹣a+b．

所以 ，

解得 ．

所以分式

＝

＝2x+5+ ．

（2）由分母为x²+2，可设5x⁴+9x²﹣3＝（x²+2）（5x²+a）+b．

因为（x²+2）（5x²+a）+b

＝5x⁴+ax²+10x²+2a+b

＝5x⁴+（a+10）x²+2a+b，

所以5x⁴+9x²﹣3＝5x⁴+（a+10）x²+2a+b．

所以 ，

解得 ．

所以

＝

＝5x²﹣1﹣ ．

【点评】本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是理解阅读材料内容，并会运用．

27．（拱墅区校级模拟）（1）若解关于x的分式方程 + ＝ 会产生增根，求m的值．

（2）若方程 ＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．

【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．

【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得

2（x+2）+mx＝3（x﹣2）

∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），

∴原方程增根为x＝±2，

∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．

把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．

综上，可知m＝﹣4或6．

（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x

解得：x＝ ，

∵解为正数，

∴ ，

∴2﹣a＞0，

∴a＜2，且x≠2，

∴a≠﹣4

∴a＜2且a≠﹣4．

【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

28．（闵行区期末）阅读材料：已知 ，求 的值

解：由 得， ＝3，则有x+ ＝3，由此可得， ＝x²+ ＝（x+ ）²﹣2＝3²﹣2＝7；

所以， ．

请理解上述材料后求：已知 ＝a，用a的代数式表示 的值．

【分析】由 ＝a，可得 ＝ ，进而得到x+ ＝ ﹣1，再根据 ＝x²+ +1＝ ﹣2+1＝ ﹣1，整体代入即可得到 的值．

【解答】解：由 ＝a，可得 ＝ ，

则有x+ ＝ ﹣1，

由此可得， ＝x²+ +1＝ ﹣2+1＝ ﹣1＝ ﹣1＝ ，

所以， ＝ ．

【点评】本题主要考查了分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．

29．（仙居县期末）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．

①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？

②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？

【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解

（2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．

②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论．

【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．

根据题意，得： （10+30）+ ×30＝1，

解得x＝60．

经检验，x＝60是原方程的根．

∴1.5x＝60×1.5＝90．

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．

（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

（ + ）y＝1，

解得：y＝36，

36×（2.5+2）＝162（万元），

∵162＞160，

∴不够，

需追加162﹣160＝2（万元），

答：不够用，需追加预算2万元；

②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，

根据题意得： ，

由①得：2b＝180﹣3a③，

把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，

a≥40，

∴甲工程队至少需要施工40天．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用、二元一次不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键．

30．（鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．

（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）²，a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca的值．

（2）若m＜0，n＜0，判断代数式 的值与0的大小关系并说明理由．

【分析】（1）由a﹣b＝m，b﹣c＝n．化简出a﹣c的值，可求（a﹣c）²，再配方即可求得a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca的值；

（2）由m＜0，n＜0，可得m+n小于0及mn大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．

【解答】解：（1）∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，m＝3，n＝4

∴a﹣c＝m+n＝7，a﹣b＝3，b﹣c＝4

∴（a﹣c）²＝49

a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca

＝

＝

＝37

∴（a﹣c）²的值为49，a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca的值为37．

（2）代数式 ＜0，理由如下：

∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，a﹣c＝m+n，m＜0，n＜0

∴m+n＜0，mn＞0

∴

＝

＝

＝

＝

＝

＜0

故代数式 的值小于0．

【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．