【324420】2024春七年级数学下册 第5章 分式(易错30题专练)(含解析)(新版)浙教版
第5章分式(易错30题专练)
一.选择题(共7小题)
1.(拱墅区期末)要使分式
有意义,则( )
A.x=±1 B.x≠±1 C.x≠1 D.x≠﹣1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:要使分式
有意义,
则x+1≠0,
解得,x≠﹣1,
故选:D.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式的分母不为0是解题的关键.
2.(聊城)如果分式
的值为0,那么x的值为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣1或1 D.1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
【解答】解:根据题意,得
|x|﹣1=0且x+1≠0,
解得,x=1.
故选:B.
【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
3.(临海市期末)如果把分式
中的x,y都扩大为原来的3倍,那么分式的值( )
A.缩小为原来的3倍 B.不变
C.扩大为原来的3倍 D.扩大为原来的9倍
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答.
【解答】解:由题意得:
=
,
∴如果把分式
中的x,y都扩大为原来的3倍,那么分式的值不变,
故选:B.
【点评】本题考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
4.(奉化区校级期末)计算
结果正确的是( )
A.a﹣b B.b﹣a C.
D.
【分析】先把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.
【解答】解:
=
﹣
=
=
,
故选:C.
【点评】本题主要考查了分式的加减法,通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式.
5.(奉化区校级期末)已知x+y=3,xy=2,则下列结论中①(x﹣y)2=1,②x2+y2=5,③x2﹣y2=3,④
,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据将x+y=2两边同时平方得:x2+y2=5,分别计算各式可作判断.
【解答】解:∵x+y=3,
∴(x+y)2=9,即x2+y2=9﹣2xy=5,②正确;
∴①(x﹣y)2=x2+y2﹣2xy=5﹣2×2=1,①正确;
③∵(x﹣y)2=1,
∴x﹣y=±1,
x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=3(x﹣y)=±3,③不正确;
④
=
=
,④不正确;
所以本题正确的有:①②,2个,
故选:B.
【点评】本题考查了分式的加减法和完全平方公式,将式子变形后可得两个数的平方和,熟练掌握完全平方公式是关键.
6.(宁波期末)下列从左到右的变形正确的是( )
A.(﹣a﹣b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.
=
C.2x2﹣x﹣6=(2x+3)(x﹣2) D.4m2﹣6mn+9n2=(2m﹣3n)2
【分析】根据平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:A、(﹣a﹣b)(a﹣b)=﹣a2+b2,原变形错误,故此选项不符合题意;
B、
=
,原变形错误,故此选项不符合题意;
C、2x2﹣x﹣6=(2x+3)(x﹣2),原变形正确,故此选项符合题意;
D、4m2﹣12mn+9n2=(2m﹣3n)2,4m2﹣6mn+9n2不能在实数范围内因式分解,原变形错误,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查了平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式.熟练掌握平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式是解答此题的关键.
7.(拱墅区期末)分式
可变形为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】利用分式的基本性质化简即可.
【解答】解:
=﹣
.
故选:D.
【点评】此题考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键.
二.填空题(共10小题)
8.(诸暨市校级月考)已知x+2y﹣3z=0,2x+3y+5z=0,则
=
.
【分析】先解三元一次方程组,求出y=11z,x=﹣19z,然后代入分式中进行计算即可解答.
【解答】解:
,
①×2得:2x+4y﹣6z=0③,
③﹣②得:y﹣11z=0,
解得:y=11z,
把y=11z代入①中可得:x+22z﹣3z=0,
解得:x=﹣19z,
∴
=
=
=
,
故答案为:
.
【点评】本题考查了解三元一次方程组,分式的值,熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键.
9.(柯桥区月考)若(a﹣b﹣2019)2+(2021﹣a+b)2=5,则代数式
的值为 ﹣4042 .
【分析】设a﹣b﹣2019=x,由已知可得:x2﹣2x=
,即可得
=
=
=﹣4042.
【解答】解:设a﹣b﹣2019=x,则2021﹣a+b=2﹣(a﹣b﹣2019)=2﹣x,
∴x2+(2﹣x)2=5,
化简变形可得:x2﹣2x=
,
∴
=
=
=
=﹣4042,
故答案为:﹣4042.
【点评】本题考查求分式的值,解题的关键是整体思想和换元法的应用.
10.(海曙区校级月考)若解分式方程
=
产生增根,则k= ﹣3 .
【分析】根据题意可得x=﹣2,再把x=﹣2代入整式方程中进行计算即可.
【解答】解:∵分式方程
=
产生增根,
∴x+2=0,
∴x=﹣2,
∵
=
,
∴x﹣1=k,
把x=﹣2代入x﹣1=k中得:
k=﹣2﹣1=﹣3,
故答案为:﹣3.
【点评】本题考查了分式方程的增根,根据题意求出x的值后,代入整式方程中进行计算是解题的关键.
11.(太原期末)分式
有意义的条件是 x≠2 .
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:要使分式
有意义,
则x﹣2≠0,
解得,x≠2,
故答案是:x≠2.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式的分母不为0是解题的关键.
12.(镇海区期末)若关于x的方程
+
=
无解,则m= 3或﹣3或9 .
【分析】根据分式方程无解,得分母为0或x的系数为0即可求解.
【解答】解:分式方程化简,得
3(x﹣1)+6x=m(x+1)
整理,得
(9﹣m)x=3+m
当x=0时,m=﹣3;
当x=1时,m=3;
当9﹣m=0时,m=9.
故答案为:3或﹣3或9.
【点评】本题考查了分式方程的解,解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时,原分式方程也无解.
13.(西湖区校级开学)使分式
有意义,x应满足的条件是 x≠1且x≠2 .
【分析】要使分式
有意义的条件为:x﹣1≠0且x﹣2≠0,就可求出x的范围.
【解答】解:根据题意得:x﹣1≠0且x﹣2≠0,
解得:x≠1且x≠2,
故答案为:x≠1且x≠2.
【点评】此题主要考查了分式的意义,要求掌握.意义:对于任意一个分式,分母都不能为0,否则分式无意义.
14.(拱墅区期末)若分式
的值为0,则x的值为 ﹣5 .
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
【解答】解:∵分式
的值为0,
∴
,
解得x=﹣5且x≠
,
∴x的值为﹣5,
故答案为:﹣5.
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,注意:“分母不为零”这个条件不能少.
15.(仙居县模拟)小明化简分式如下:
=﹣1,他的化简对还是错?(填写“对”或“错”) 错 ,正确的化简结果是 ﹣
.
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:错,正确的解法是:
﹣
=
﹣
=
=﹣
故答案为:错,﹣
.
【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
16.(青白江区期末)对于实数a,b定义一种新运算“⊗”:a⊗b=
,例如,1⊗3=
=﹣
.则方程x⊗2=
﹣1的解是 x=5 .
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,求出分式方程的解即可.
【解答】解:根据题中的新定义,化简得:
=
﹣1,
去分母得:1=2﹣x+4,
解得:x=5,
经检验,x=5是分式方程的解,
故答案为:x=5.
【点评】此题考查了解分式方程以及实数的运算,解分式方程时,一定要检验.弄清题中的新定义是解本题的关键.
17.(沂源县期中)若
=2,则
=
【分析】由
=2,得x+y=2xy,整体代入所求的式子化简即可.
【解答】解:由
=2,得x+y=2xy
则
=
=
=
.
故答案为
.
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想.
三.解答题(共13小题)
18.(奉化区校级期末)先化简再求值:
,在x=±2、0、±1中选择一个你喜欢的数,求原式的值.
【分析】将题中的分式先进行化简,再将所选值代入即可求解.
【解答】解:原式=
=
=
=3x+2
∵x≠±2、0,
∴当x=1时,原式=3+2=5;
或当x=﹣1时,原式=﹣3+2=﹣1.
【点评】本题考查分式的化简的有关内容,解题的关键是利用运算法则正确进行化简,要注意除法没有分配律.
19.(奉化区校级期末)当m为何值时,分式
的值为0?
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算.
【解答】解:由题意得,m2﹣4=0,m2﹣m﹣6≠0,
解得,m=2,
则当m=2时,此分式的值为零.
【点评】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件,掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
20.(奉化区校级期末)解答下列各题:
(1)解方程:
+1=
.
(2)已知x﹣3y=0,求分式
的值.
【分析】(1)先把方程两边乘以(x﹣1)(x+1)得到整式方程,然后解整式方程后进行检验确定原方程的解;
(2)把x=3y代入分式,然后计算分子、分母后约分即可.
【解答】解:(1)去分母得﹣2(x+1)+(x﹣1)(x+1)=x(x﹣1),
解得x=﹣3,
经检验,原方程的解为x=﹣3;
(2)∵x﹣3y=0,
∴x=3y,
∴原式=
=
.
【点评】本题考查了解分式方程:掌握解分式方程的步骤(去分母;求出整式方程的解;检验;得出结论).也考查了解二元一次方程组.
21.(长兴县模拟)解方程
﹣2.
【分析】观察可得最简公分母是(x﹣3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:方程的两边同乘(x﹣3),得:2﹣x=﹣1﹣2(x﹣3),
解得:x=3,
检验:当x=3时,(x﹣3)=0,
∴x=3是原分式方程的增根,原分式方程无解.
【点评】此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大,注意掌握转化思想的应用,注意解分式方程一定要验根.
22.(马山县模拟)解方程:
.
【分析】此方程的分式中的分母互为相反数,还有一常数﹣1,去分母时不要漏乘.
【解答】解:方程两边都乘以(2x﹣1),得x﹣(2x﹣1)=﹣3,
解得x=4.
检验:当x=4时,2x﹣1=7≠0,
x=4是原方程的解.
【点评】此题难度适中,其中的方法和转化思想,有利于学生巩固基础知识.
23.(余杭区模拟)解分式方程
.
圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.
【分析】解分式方程的关键是去分母,去分母时方程的两边在乘以最简公分母时容易漏乘,需特别留意.
【解答】解:不正确
去分母,得1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2),
去括号,得1﹣x=﹣1﹣2x+4,
解得x=2.
经检验,x=2是增根,舍去.
∴原方程无解.
【点评】此题难度适中,有利于帮助学生克服解分式方程时常出现的错误.
24.(习水县模拟)先化简,再求值:(a﹣1﹣
)÷
,请在﹣
<a<
的范围内选择一个合适的整数代入求值.
【分析】先计算括号内的,把(a﹣1)当作一个整体,分母为1,与
进行通分运算,并把运算的结果进行因式分解,
的分子进行因式分解,化为
,与括号内的运算结果,先约分,再进行运算,最后找到
与
的整数部分,对两个无理数进行估算,可以确定能够代值的整数有﹣1,0,1,2四个,但是分母不能为0,所以a只能取0或1,任意选择一个进行代值运算.
【解答】解:原式=
=
=
,
∵
,且a为整数,
∴a=﹣1,0,1,2,
又∵分母不能为0,
∴a=0或1,
当a=0时,原式=﹣1.
【点评】本题考查了分式的运算,有三个难点,一个难点是整式与分式加减,需把整式当作分母为1,第二个难点就是估算无理数的大小,尤其是
的范围,关键是找到各个无理数的整数部分,第三个难点就是设置了分母不能为0的这个陷阱,题目只能代入0或1.
25.(长兴县月考)用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形.
(1)用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积,并用等号连接;
(2)若a>b,利用(1)中的结论计算a+b=1,ab=
,求a﹣b的值.
(3)根据(1)中的结论,若x2﹣3x+1=0,求x﹣
的值.
【分析】(1)阴影部分的面积=4个长方形的面积和,阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积,再求出答案即可;
(2)把a+b=1和ab=
代入(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,即可求出答案;
(3)求出x+
=3,再根据(1)的结论进行变形,最后代入求出答案即可.
【解答】解:(1)阴影部分的面积S=(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(2)∵a+b=1,ab=
,
又∵(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,
∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab
=12﹣4×
=1﹣
=
,
∴a﹣b=
=
(负数不符合题意,舍去);
(3)∵x2﹣3x+1=0,
∴x2+1=3x,
因为要使x﹣
有意义,必须x≠0,
所以方程两边除以x得:x+
=3,
∴(x﹣
)2=(x+
)2﹣4•x•
=32﹣4
=5,
∴x﹣
=±
.
【点评】本题考查了列代数式,完全平方公式和分式的化简求值等知识点,能用两种不同的方法表示阴影部分的面积是解此题的关键.
26.(巴南区期末)阅读下面的材料,并解答后面的问题
材料:将分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解:由分母为x+1,可设3x2+4x﹣1=(x+1)(3x+a)+b.
因为(x+1)(3x+a)+b=3x2+ax+3x+a+b=3x2+(a+3)x+a+b,
所以3x2+4x﹣1=3x2+(a+3)x+a+b.
所以
,解之,得
.
所以
=
这样,分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式
的差的形式.
问题:(1)请将分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式;
(2)请将分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
【分析】(1)根据阅读材料内容进行拆分:由分母为x﹣1,可设2x2+3x+6=(x﹣1)(2x+a)+b.计算即可;
(2)根据阅读材料进行拆分:由分母为x2+2,可设5x4+9x2﹣3=(x2+2)(5x2+a)+b.进行计算即可.
【解答】解:(1)由分母为x﹣1,可设2x2+3x+6=(x﹣1)(2x+a)+b.
因为(x﹣1)(2x+a)+b=2x2+ax﹣2x﹣a+b=2x2+(a﹣2)x﹣a+b,
所以2x2+3x+6=2x2+(a﹣2)x﹣a+b.
所以
,
解得
.
所以分式
=
=2x+5+
.
(2)由分母为x2+2,可设5x4+9x2﹣3=(x2+2)(5x2+a)+b.
因为(x2+2)(5x2+a)+b
=5x4+ax2+10x2+2a+b
=5x4+(a+10)x2+2a+b,
所以5x4+9x2﹣3=5x4+(a+10)x2+2a+b.
所以
,
解得
.
所以
=
=5x2﹣1﹣
.
【点评】本题考查了分式的加减法,解决本题的关键是理解阅读材料内容,并会运用.
27.(拱墅区校级模拟)(1)若解关于x的分式方程
+
=
会产生增根,求m的值.
(2)若方程
=﹣1的解是正数,求a的取值范围.
【分析】(1)根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.
(2)先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围.
【解答】解:(1)方程两边都乘(x+2)(x﹣2),得
2(x+2)+mx=3(x﹣2)
∵最简公分母为(x+2)(x﹣2),
∴原方程增根为x=±2,
∴把x=2代入整式方程,得m=﹣4.
把x=﹣2代入整式方程,得m=6.
综上,可知m=﹣4或6.
(2)解:去分母,得2x+a=2﹣x
解得:x=
,
∵解为正数,
∴
,
∴2﹣a>0,
∴a<2,且x≠2,
∴a≠﹣4
∴a<2且a≠﹣4.
【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式,增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
28.(闵行区期末)阅读材料:已知
,求
的值
解:由
得,
=3,则有x+
=3,由此可得,
=x2+
=(x+
)2﹣2=32﹣2=7;
所以,
.
请理解上述材料后求:已知
=a,用a的代数式表示
的值.
【分析】由
=a,可得
=
,进而得到x+
=
﹣1,再根据
=x2+
+1=
﹣2+1=
﹣1,整体代入即可得到
的值.
【解答】解:由
=a,可得
=
,
则有x+
=
﹣1,
由此可得,
=x2+
+1=
﹣2+1=
﹣1=
﹣1=
,
所以,
=
.
【点评】本题主要考查了分式的值,在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发,通过适当的变形、转化,才能发现解题的捷径.
29.(仙居县期末)某项工程,乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为2.5万元,乙队每天的施工费用为2万元,工程预算的施工费用为160万元.
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短,问安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工,问甲工程队至少需要施工几天?
【分析】(1)设甲单独完成这项工程所需天数,表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率.根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解
(2)①根据题意,甲乙合作工期最短,所以须求合作的时间,然后计算费用,作出判断.
②甲工程队需要施工a天,乙工程队需要施工b天,分别根据完成工作量为1,施工总费用不超预算列不等式组可得结论.
【解答】解:(1)设甲队单独完成这项工程需要x天,则乙队单独完成这项工程需要1.5x天.
根据题意,得:
(10+30)+
×30=1,
解得x=60.
经检验,x=60是原方程的根.
∴1.5x=60×1.5=90.
答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天.
(2)①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,
(
+
)y=1,
解得:y=36,
36×(2.5+2)=162(万元),
∵162>160,
∴不够,
需追加162﹣160=2(万元),
答:不够用,需追加预算2万元;
②甲工程队需要施工a天,乙工程队需要施工b天,
根据题意得:
,
由①得:2b=180﹣3a③,
把③代入②得:2.5a+180﹣3a≤160,
a≥40,
∴甲工程队至少需要施工40天.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用、二元一次不等式组的应用,根据题意列出方程或不等式组是解题的关键.
(1)m=3,n=4,求代数式(a﹣c)2,a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.
(2)若m<0,n<0,判断代数式
的值与0的大小关系并说明理由.
【分析】(1)由a﹣b=m,b﹣c=n.化简出a﹣c的值,可求(a﹣c)2,再配方即可求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值;
(2)由m<0,n<0,可得m+n小于0及mn大于0,将要求得式子通分,配方化简,利用完全平方式可得结论.
【解答】解:(1)∵a﹣b=m,b﹣c=n,m=3,n=4
∴a﹣c=m+n=7,a﹣b=3,b﹣c=4
∴(a﹣c)2=49
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
=
=
=37
∴(a﹣c)2的值为49,a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为37.
(2)代数式
<0,理由如下:
∵a﹣b=m,b﹣c=n,a﹣c=m+n,m<0,n<0
∴m+n<0,mn>0
∴
=
=
=
=
=
<0
故代数式
的值小于0.
【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用,题目计算难度较大,综合性较强.
- 1【354787】初一期末试卷一
- 2【354786】初一期末试卷五
- 3【354785】初一期末试卷四
- 4【354784】初一期末试卷三
- 5【354783】初一期末试卷二
- 6【350123】第6章 知识点梳理
- 7【350122】第5章 知识点梳理
- 8【350121】第4章 知识点梳理
- 9【350120】第3章 知识点梳理
- 10【350119】第2章 知识点梳理
- 11【350118】第1章 知识点梳理
- 12【350117】6.2 方差
- 13【350116】6.1.3 众数
- 14【350115】6.1.2 中位数
- 15【350114】6.1.1 第2课时 加权平均数
- 16【350112】5.3 图形变换的简单应用
- 17【350113】6.1.1 第1课时 平均数
- 18【350111】5.2 旋转
- 19【350110】5.1.2 轴对称变换
- 20【350109】5.1.1 轴对称图形
- 【350108】4.6 两条平行线间的距离
- 【350107】4.5 第2课时 垂线段与点到直线的距离
- 【350106】4.5 第1课时 垂线
- 【350105】4.4 第2课时 平行线的判定方法2,3
- 【350104】4.4 第1课时 平行线的判定方法1
- 【350103】4.3 平行线的性质
- 【350102】4.2 平移
- 【350101】4.1.2 相交直线所成的角
- 【350100】4.1.1 相交与平行
- 【350099】3.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
- 【350098】3.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解
- 【350097】3.2 第2课时 提多项式公因式
- 【350096】3.2 第1课时 提单项式公因式
- 【350095】3.1 多项式的因式分解
- 【350094】2.2.3 运用乘法公式进行计算
- 【350093】2.2.2 第2课时 运用完全平方公式进行计算
- 【350092】2.2.2 第1课时 完全平方公式
- 【350091】2.2.1 平方差公式
- 【350090】2.1.4 第2课时 多项式与多项式相乘
- 【350089】2.1.4 第1课时 单项式与多项式相乘