垂线

(30分钟　50分)

一、选择题 (每小题4分,共12分)

1. 如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是　(　　)

A.相等　　　　　　　　　 B.互余

C.互补 D.互为对顶角

2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC 上的一个动点,则AP的长不可能是　(　　)

A.2.5　　　　 B.3　　　　 C.4　　　　 D.5

3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC ⊥OD,当∠AOC=30°时,

∠BOD的度数是　(　　)

A.60° B.120°

C.60°或90° D.60°或120°

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠ 2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=

________度.

5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.

6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.

三、解答题(共26分)

7.(8分)如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).

8.(8 分)如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.

【拓展延伸】

9 .(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.

(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.

(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?

答案解析

1.【解析】选B.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.

2.【解析】选A.当P和C重合时,AP=3;当P和C不重合时,AP>3.根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3.

【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,

PC=2cm,则点P到直线l的距离为(　　)

A.4cm B.2cm

C.小于2cm D.不大于2cm

【解析】选 D.由题意知,PC<PA<PB,但PC不一定垂直于直线l,由“垂线段最短” 知,点P 到直线l的距离不大于2cm.

3 .【解析】选D.①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-

∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°, 所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.

4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠ 1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1 =30°.

答案：60　30

5.【解 析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90° .

又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,

所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.

答案：150

6.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.

又因为DE⊥BC,所以BD >DE.

因为DE=9cm,所以BD>9cm,

所以9cm<BD<12cm.

答案： 9cm<BD<12cm

7.【解析】因为OA⊥OB于O,

所以∠AOC+∠BOC=90°.

因为∠AOC=∠α,

所以∠BOC=90°-∠α.

又因为OC⊥OD于O,所 以∠COD=90°.

因为∠BOD=∠COD+∠BOC,

所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.

8.【解析】AB>BC>CD.

理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>B C.所以AB>BC>CD.

9 .【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C ,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.

(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶 时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.