《整式的加减》单元测试

一．选择题（共12小题）

1．下列语句中错误的是（　　）

A．数字0也是单项式

B．单项式﹣a的系数与次数都是1

C． xy是二次单项式

D．﹣ 的系数是﹣

2．已知a＜b，那么a﹣b和它的相反数的差的绝对值是（　　）

A．b﹣a B．2b﹣2a C．﹣2a D．2b

3．x₁、x₂、x₃、…x₂₀是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=4，②（x₁﹣1）²+（x₂﹣1）²+（x₃﹣1）²+…+（x₂₀﹣1）²=32，则这列数中1的个数为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14

4．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=2²×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+2²）×（1+3）=28；

36=2²×3²，则36的所有正约数之和

（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+2²）×（1+3+3²）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（　　）

A．420 B．434 C．450 D．465

5．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（　　）

A．70 B．71 C．72 D．73

6．一列数：1、2、3、5、8、13、□，则□中的数是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21

7．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，…若m³分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（　　）[来源:学科网ZXXK]

A．9 B．10 C．11 D．12

8．用一个正方形在四月份的日历上， 圈出4个数，这四个数的和不可能是（　　）

A．104 B．108 C．24 D．28

9．如图，下列图形均是完全相同的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律排列下去，第9个图形中点的个数是（　　）

A．80 B．89 C．99 D．109

10．如果单项式x²y^m+2与xⁿy的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（　　）

A．m=2，n=2 B．m=﹣1，n=2 C．m=﹣2，n=2 D．m=2，n=﹣1

11．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 C_n^m= （n＞m），则C₁₂⁵+C₁₂⁶=（　　）

A． B． C． D．

12．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（　　）

A．500 B．520 C．780 D．2000

　

二．填空题（共4小题）

13．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有　 　个，第n幅图中共有　 　个．

14．观察下列等式：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=4²，…，则1+3+5+7+…+2011=　 　．

15．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行 1

第2行 2 3 4

第3行 9 8 7 6 5

第4行 10 11 12 13 14 15 16

第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17

……

则第45行左起第3列的数是　 　．

16．如图，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线框中的数字不重复，则a×c=　 　．

　

三．解答题（共7小题）

17．先化简，再求值：（2x²﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x²），其中x=﹣1．

18．已知：多项式A=2x²﹣xy，B=x²+xy﹣6，求：

（1）4A﹣B；

（2）当x=1，y=﹣2时，4A﹣B的值．

19．大刚计算“一个整式A减去2ab﹣3bc+4ac”时，误把“减去”算成“加上”，得到的结果是2bc+ac﹣2 ab．请你帮他求出正确答案．

20．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．

53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=5609．

（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的　 　，请写出一个符合上述规律的算式　 　．

（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．

21．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	…	n
分割 成的三角形的个数	4	6			…

（2）原正方形能否被分割成2008个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．

22．观察下列各个等式的规律：

第一个等式： ，

第二个等式： ，

第三个等式： …

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

23．研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=2²； 2×4+1=3²； 3×5+1=4²； 4×6+1=5² …，

（1）请用含n的式子表示你发现的规律：　 　．

（2）请你用发现的规律解决下面问题：

计算（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）的值．

　

参考答案与试题解析

　

一．选择题（共12小题）

1．下列语句中错误的是（　　）

A．数字0也是单项式

B．单项式﹣a的系数与次数都是1[来源:Zxxk.Com]

C． xy是二次单项式

D．﹣ 的系数是﹣

【解答】解：单独的一个数字也是单项式，故A正确；

单项式﹣a的系数应是﹣1，次数是1，故B错误；

xy的次数是2，符合单项式的定 义，故C正确；

﹣ 的系数是﹣ ，故D正确．

故选：B．

　

2．已知a＜b，那么a﹣b和它的相反数的差的绝对值是（　　 ）

A．b﹣a B．2b﹣2a C．﹣2a D．2b

【解答】解：依题意可得：|（a﹣b）﹣（b﹣a）|=2b﹣2a．故选B．

　

3．x₁、x₂、x₃、…x₂₀是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=4，②（x₁ ﹣1）²+（x₂﹣1）²+（x₃﹣1）²+…+（x₂₀﹣1）²=32，则这列数中1的个数为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14

【解答】解：∵x₁、x₂、x₃、…x₂₀是20个由1，0，﹣1组成的数，

且满足下列两个等式：①x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=4，②（x₁﹣1）²+（x₂﹣1）²+（x₃﹣1）²+…+（x₂₀﹣1）²=32，

∴﹣1的个数有8个，

则1的个数有12个．

故选：C．

　

4．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=2²×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+2²）×（1+3）=28；

36=2²×3²，则36的所有正约数之和

（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+2²）×（1+3+3²）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（　　）

A．420 B．434 C．450 D．465

【解答】解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：

因为200=2³×5²，

所以200的所有正约数之和为（1+2+2²+2³）×（1+5+5²）=465．

故选：D．

　

5．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（　　）

A．70 B．71 C．72 D．73

【解答】解：图（6）中，6²=36，

1个矩形：1×2=2个，[来源:Zxxk.Com]

2个矩形：1×2：2个，

2×1：2个，

3个矩形：1×3：2个

3×1：2个

4个矩形：1×4：2个

4×1：2个

2×2：2个

5个矩形：1×5：2个

5×1：2个

6个矩形：1×6：2个

6×1：2个

2×3：2个

3×2：2个

8个矩形：2×4：2个

4×2：2个

9个矩形：3×3：2个

10个矩形：2×5：2个

5×2：2个

12个矩形：2×6：2个

6×2：2个

3×4：2个

4×3：2个

15个矩形：3×5：2个

5×3：2个

16个矩形：4×4：2个

18个矩形；3×6：2个

6×3：2个

20个矩形：4×5：2个

5×4：2个

24个矩形：4×6：2个

6×4：2个

25个矩形：5×5：2个

30个矩形：5×6：2个

6×5：2个

36个矩形：6×6：1个，

总计和为71个；

故选：B．

　

6．一列数：1、2、3、5、8、13、□，则□中的数是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21

【解答】解：观察题中所给各数可知：3=1+2，5=2+3，8=3+5，13=5+8，

∴□中的数=8+13=21．

故选：D．

　

7．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，…若m³分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，

∴m³有m个奇数，

∵2n+1=103，n=51，

∴奇数103是从3开始的第52个奇数，

∵ =44， =54，

∴第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，

即m=10．

故选：B．

　

8．用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和不可能是（　　）

A．104 B．108 C．24 D．28

【解答】解：设最小的代数式是x，则其它三个数分别是x+1，x+7，x+8，

四数之和=x+x+1+x+7+x+8=4x+16．

A、根据题意得4x+16=104，解得x=22，正确；

B、根据题意得4x+16=108，解得x=23，而x+8=31，因为四月份只有30天，不合实际意义，故不正确；

C、根据题意得4x+16=24，解得x=2，正确；

D、根据题意得4x+16=28，解得x=3，正确．

故选：B．

　

9．如图，下列图形均是完全相同的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律排列下去，第9个图形中点的个数是（　　）

A．80 B．89 C．99 D．109

【解答】解：第①个图形中一共有3个点，3=2+1，

第②个图形中一共有8个点，8=4+3+1，

第③个图形中一共有15个点，15=6+5+3+1，[来源:学科网]

…，

按此规律排列下去，第n个图形中的点数一共有2n+（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+1，

∴当n=9时，2n+（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+1=18+17+15+13+…+3+1=18+ =18+81=99，

即第9个图形中点的个数是99个，

故选：C．

　

10．如果单项式x²y^m+2与xⁿy的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（　　）

A．m=2，n=2 B．m=﹣1，n=2 C．m=﹣2，n=2 D．m=2，n=﹣1

【解答】解：由同类项的定义，

可知2=n，m+2=1，

解得m=﹣1，n=2．

故选：B．

　

11．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 C_n^m= （n＞m），则C₁₂⁵+C₁₂⁶=（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据C_n^m= （n＞m），可得：

C₁₂⁵+C₁₂⁶

= +

= +

=

=

= ．

故选：B．

　

12．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（　　）

A．500 B．520 C．780 D．2000

【解答】解：设A=3，B=9，C=8，操作第n次以后所产生的那个新数串的所有数之和为S_n．

n=1时，S₁=A+（B﹣A）+B+（C﹣B）+C=B+2C=（A+B+C）+1×（C﹣A）；

n=2时，S₂=A+（B﹣2A）+（B﹣A）+A+B+（C﹣2B）+（C﹣B）+B+C=﹣A+B+3C=（A+B+C）+2×（C﹣A）；

…

故n=100时，S₁₀₀=（A+B+C）+100×（C﹣A）=﹣99A+B+101C=﹣99×3+9+101×8=520．

故选：B．

　

二．填空题（共4小题）

13．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有　7　个，第n幅图中共有　2n﹣1　个．

【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．

第2幅图中有2×2﹣1=3个．

第3幅图中有2×3﹣1=5个．

第4幅图中有2×4﹣1=7个．

…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．

故第n幅图中共有（2n﹣1）个．

故答案为：7；2n﹣1．

　

14．观察下列等式：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=4²，…，则1+3+5+7+…+2011=　1006²　．

【解答】解：观察1=1²；1+3=2²；1+3+5=3²；1+3+5+7=4²，

可知，1+3+5+…+2n﹣1=n²，

∴2011=2n﹣1，

∴n=（2011+1）÷2=1006，

故答案为：1006²．

　

15．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行 1

第2行 2 3 4

第3行 9 8 7 6 5

第4行 10 11 12 13 14 15 16

第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17

……

则第45行左起第3列的数是　2023　．

【解答】解：∵44²=1936，45²=2025，

∴第45行左起第3列的数是2023．

故答案为：2023．

　

16．如图，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线框中的数字不重复，则a×c=　2　．

【解答】解：对各个小宫格编号如下：

先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b和c有一个是1，有一个是4，不确定，如下：

观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：

再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不确定，

分两种情况：

①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：

再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：

观察上图可知：第三列少1和4，4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第三行，如下：

观察上图可知：第五行缺少1和2，1不能在第1列，所以1在第五列，则2在第一列，即c=1，所以b=4，如下：

观察上图可知：第六列缺少1和2，1不能在第三行，则在第四行，所以2在第三行，如下：

再看戊部分：已经有 了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1不能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：

观察上图可知：第一列缺少3和4，4不能在第三行，所以4在第四行，则3在第三行，如下：

观察上图可知：第二列缺少5和6，5不能在第四行，所以5在第三行，则6在第四行，如下：

观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：

所以，a=2，c=1，ac=2；

②当6在第一行，4在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：

再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第2列，4在第三列，如下：

观察上图可知：第三列缺少数字1和6，6不能在第五行，所以6在第三行，则1在第五行，所以c=4，b=1，如下：

观察上图可知：第五列缺少数字3和6，6不能在第三行，所以6在第四行，则3在第三行，如下：

观察上图可知：第六列缺少数字1和2，2不能在第四行，所以2在第三行，则1在第四行，如下：

观察上图可知：第三行缺少数字1和5，1和5都不能在第一列，所以此种情况不成立；

综上所述：a=2，c=1，a×c=2；

故答案为：2．

　

三．解答题（共7小题）

17．先化简，再求值：（2x²﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x²）， 其中x=﹣1．

【解答】解：（2x²﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x²），

=2x²﹣1+3x+4﹣12x﹣8x²，

=﹣6x²﹣9x+3，

把x=﹣1代入﹣6x²﹣9x+3=﹣6+9+3=6．

　

18．已知：多项式A=2x²﹣xy，B=x²+xy﹣6，求：

（1）4A﹣B；

（2）当x=1，y=﹣2时，4A﹣B的值．

【解答】解：（1）∵多项式A=2x²﹣xy，B=x²+xy﹣6，

∴4A﹣B=4（2x²﹣xy）﹣（x²+xy﹣6）

=8x²﹣4xy﹣x²﹣xy+6

=7x²﹣5xy+6

（2）∵由（1）知，4A﹣B=7x²﹣5xy+6，

∴当x=1，y=﹣2时，

原式=7×1²﹣5×1×（﹣2）+6

=7+10+6

=23

　

19．大刚计算“一个整式A减去2ab﹣3bc+4ac”时，误把“减去”算成“加上”，得到的结果是2bc+ac﹣2ab．请你帮他求出正确答案．

【解答】解：由题意可知：A+（2ab﹣3bc+ 4ac）=2bc+ac﹣2ab，[来源:Z§xx§k.Com]

A=2bc+ac﹣2ab﹣（2ab﹣3bc+4ac）

=2bc+ac﹣2ab﹣2ab+3bc﹣4ac

=5bc﹣3ac﹣4ab

　

20．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．

53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=5609．

（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的　十位和个位　，请写出一个符合上述规律的算式　44×46=2024　．

（2）设其 中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．

【解答】解：（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，

例如：44×46=2024，

故答案为：十位和个位，44×46=2024；

（2）（10a+b）（10a+10﹣b）=100a（a+1）+b（10﹣b）．

　

21．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的个数	4	6			…

（2）原正方形能否被分割成2008个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）填写下表：

（2）能．当2n+2=2008时，n=1003．即正方形内部有1003个点．

　

22．观察下列各个等式的规律：

第一个等式： ，

第二个等式： ，

第三个等式： …

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

【解答】解：（1）第四个等式为 = ×（ ﹣ ）；

（2）第n个等式为 = （ ﹣ ），

右边= ×[ ﹣ ]

= ×

= =左边，

∴ = （ ﹣ ）．

　

23．研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=2²； 2×4+1=3²； 3×5+1=4²； 4×6+1=5² …，

（1）请用含n的式子表示你发现的规律：　n（n+2）+1=（n+1）²　．

（2）请你用发现的规律解决下面问题：

计算（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）的值．

【解答】解：（1）观察，发现：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=1 6=4²；4×6+1=25=5²，…，

∴第n个等式为：n（n+2）+1=（n+1）²；

（2）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）

= × × ×…×

= × × ×…×

=2×

= ．

故答案为：n（n+2）+1=（n+1）²．