第四章学情评估
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列各组图形中属于全等图形的是( )
2.以下是四名同学在钝角三角形ABC中画出的BC边上的高，其中正确的是( )
3．已知等腰三角形的两边长分别为4和5，则该等腰三角形的周长为( )
A．9 B．13 C．14 D．13或14
4．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，交点为点I，若∠BIC＝125°，则∠A的度数为( )
A．125° B．140° C．70° D．55°
(第4题) 
(第5题)
5．汾河是山西最大的河流，对山西省的历史文化有深远的影响．如图，要测量河中礁石A离岸边点B的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得到AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
6．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，BC∥DF，AE＝10，AC＝7，则CD的长为( )
(第6题)
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
7．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，作出的三角形不唯一的是( )
A．已知三条边 B．已知三个角
C．已知两角和夹边 D．已知两边和夹角
8．如图，△ABC的面积为8，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE，CE，图中阴影部分的面积为( )
(第8题)
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在三角形纸片ABC中，∠B＝∠C＝45°，BC＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上．将三角形纸片沿DE，EF剪下，下列方案中，不能保证剪下的△BDE与△CEF全等的是( )
10．如图是5×5的正方形网格，以格点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以作出( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
(第10题)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11．把手机放在一个三角支架上面，可以使它稳定起来，这是利用了三角形的__________．
12.一个三角形三个内角的度数比为2∶3∶5，这个三角形是____________．
13．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D.请你添加一个条件：________________，使△ABF≌△DCE.
(第13题)
14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|＋|a－b－c|＝________．
15．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③∠C＝∠EFA；④AD＝AC.其中正确的结论有________(填序号)．
(第15题)
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤)
16．(8分)在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC的长为偶数，求△ABC的周长．
17．(8分)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，已知AB＝AE，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝48°，求∠D的度数．
(第17题)
18．(8分)七(2)班的同学们为了在明天的篮球比赛中给运动员加油助威，每人提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小贝放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角(如图①)，她想用彩纸重新制作一面彩旗．
(1)请你帮助小贝，用直尺与圆规在彩纸上(如图②)作出一面与破损前完全一样的三角形彩旗(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)你作图的理由是判定三角形全等条件中的“________”.
(第18题)
19．(8分)如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线．
(1)对于下面的五个结论：①BC＝2BF；②∠CAE＝∠CAB；③BE＝CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB＝S△AFC，其中错误的是________(只填序号)；
(2)若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数．
(第19题)
20．(9分)如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，AC，BD交于点O.请你添加一个条件，使得加上这个条件后能够推出AB＝CD且AD∥BC.
(1)添加的条件是：________；
(2)试说明：AB＝CD；
(3)试说明：AD∥BC.
(第20题)
21．(9分)如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】
同学们想出了如下两种方案：
方案一：如图①，先在平地上取一个可直接到达A，B两点的点C，再连接AC，BC，分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长度就是AB的长度；
方案二：如图②，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD.接着过点D作BD的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长度即是AB的长度．
(1)方案一是否可行？请说明理由；
(2)方案二是否可行？请说明理由；
(3)李明同学提出，在方案二中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要________就可以了，请将李明所说的条件补充完整．(不必说明理由)
(第21题)
22．(12分)综合与实践：
【问题情境】
(1)在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，这时易证得△ACD≌△EBD，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可求得中线AD的取值范围是____________；
【数学思考】
(2)如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试说明：BE＋CF＞EF；
【拓展延伸】
(3)如图③，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．试说明：DE＝2AM.
(第22题)
23．(13分)综合与探究：
MN⊥PQ，垂足为O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
(1)如图①，已知AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，在点A，B的运动过程中，∠AEB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
(2)如图②，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，在点A，B的运动过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
(第23题)
答案
一、1.D 2.C
3．D 易错点睛：题目没有明确给出等腰三角形的腰和底分别是多少，所以要分情况讨论，还要考虑三边能否组成三角形．本题容易因考虑不全而致错．
4．C 5.B 6.B 7.B 8.C 9.C 10.B
二、11.稳定性 12.直角三角形 13.∠B＝∠C(答案不唯一)
14．3b－a－c 点拨：因为a、b、c分别为△ABC的三边长，
所以a＋b－c＞0，b－a－c＜0，a－b－c＜0，
所以原式＝a＋b－c＋b－a－c－a＋b＋c＝3b－a－c.
15．①②③
三、16.解：根据三角形的三边关系得8－2＜AC＜8＋2，即6＜AC＜10，因为AC为偶数，所以AC＝8，
所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋2＋8＝18.
17．解：在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED，所以∠D＝∠C＝48°.
18．解：(1)如图，△ABC即为所求作的三角形．
(第18题)
(2)ASA
19．(1)③
(2)解：因为∠C＝70°，∠ABC＝28°，
所以∠CAB＝180°－∠ABC－∠C＝82°，
所以∠CAE＝∠CAB＝41°，
因为∠ADC＝90°，∠C＝70°，
所以∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝20°，
所以∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝41°－20°＝21°.
20．解：(答案不唯一)(1)∠DAC＝∠ADB
(2)在△BAD和△CDA中，因为
所以△BAD≌△CDA，所以AB＝DC.
(3)在△ABO和△DCO中，因为
所以△ABO≌△DCO，
所以OA＝OD，由(2)知△BAD≌△CDA，
所以AC＝BD，所以OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB.
因为∠AOD＝∠BOC，∠DAC＝∠ADB，
所以易得∠DAC＝∠ACB＝∠ADB＝∠DBC，
所以AD∥BC.
21．解：(1)可行，理由如下：在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.
(2)可行，理由如下：因为BF⊥AB，DE⊥BF，
所以∠B＝∠BDE＝90°，在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC，所以AB＝DE.
(3)AB∥DE(答案不唯一)
22．解：(1)2<AD<8
(2)如图①，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG.
因为D是BC的中点，所以DB＝DC.
在△BDG和△CDF中，DB＝DC，∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
所以△BDG≌△CDF，所以BG＝CF.
因为DE⊥DF，DF＝DG，
所以易得△EDF≌△EDG，所以EF＝EG.
因为在△BEG中，BE＋BG>EG，所以BE＋CF>EF.
(3)如图②，延长AM至点N，使MN＝AM，连接BN，则NA＝2AM.
(第22题)
因为M为BC的中点，所以BM＝CM.
在△AMC和△NMB中，BM＝CM，∠AMC＝∠BMN，AM＝NM，所以△AMC≌△NMB，所以AC＝BN，∠C＝∠NBM.
因为AB⊥AE，AD⊥AC，所以∠BAE＝∠CAD＝90°，
所以∠BAC＋∠DAE＝180°.
又因为∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，
所以∠DAE＝∠ABC＋∠C＝∠ABC＋∠NBM＝∠NBA.
因为BN＝AC，AC＝AD，所以BN＝AD.
在△ABN和△EAD中，BN＝AD，AB＝EA，∠NBA＝∠DAE，
所以△ABN≌△EAD，所以DE＝NA，所以DE＝2AM.
23．解：(1)∠AEB的大小不发生变化．
因为MN⊥PQ，所以∠AOB＝90°，
所以∠BAO＋∠ABO＝90°.
因为AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
所以∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，
所以∠BAE＋∠ABE＝(∠BAO＋∠ABO)＝45°，
所以∠AEB＝180°－(∠BAE＋∠ABE)＝135°.
(2)∠ACB的大小不发生变化．
由(1)知，∠BAO＋∠ABO＝90°，
所以∠BAP＋∠ABM＝360°－90°＝270°.
因为AC，BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，
所以∠CAB＝∠BAP，∠CBA＝∠ABM，
所以∠CAB＋∠CBA＝(∠BAP＋∠ABM)＝135°，
所以∠ACB＝180°－(∠CAB＋∠CBA)＝45°.