2.4 二次函数的应用

1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.

(1)试求y与x之间的函数关系式;

(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).

2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?

3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).

4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s= t²-2t.

(1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么?

(2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元?

(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

5.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y= . 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:

(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?

(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:

项目	A	B	C	D	E	F
每股(万元)	5	2	6	4	6	8
收益(万元)	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	1

如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.

6.某市近年来经济发展迅速很快,根据统计,该市国内生产总值1990年为8.6 亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005 年该市国内生产总值将达到多少?

参考答案

1.(1)设y=kx+b,则

∵当x=20时,y=360;x=25时,y=210.

∴ , 解得

∴y=-30x+960(16≤x≤32)

(2)设每月所得总利润为w元,

则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)

=-30(x-24)²+ 1920.

∵-30<0,∴当x=24时,w有最大值.

即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.

2.设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元),则每天客房出租数会减少6x间,客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)²+6750.

当x=5时,y有最大值6750,这时每间客房的日租金为50+5×5=75元. 客房总收入最高为6750元.

3.商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元.

设定价提高x%, 则销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1-0.5x%)件.

故y=100(1+x%)·1000(1-0.5x%)-8000

=-5x²+500x+20000=-5(x-50)²+32500.当x=50时, y 有最大值32500.

即定价为150元/件时获利最大,为32500元.

4.(1)s= (t-2)²-2.

故第2个月末时公司亏损最多达2万元.

(2)将s=30代入s= t²-2t,

得30= t²-2t,解得t₁=10,t₂=-6(舍去).即第10个月末公司累积利润达30万元.

(3)当t=7时,s= ×7²-2×7=10.5,

即第7个月末公司累积利润为10.5万元;当t=8时,s= ×8²-2×8 =16,

即第8个月末公司累积利润为16万元.

16-10.5=5.5万元.

故第8个月公司所获利润为5.5万元.

5.(1)s=10× ×(4-3)-x=-x²+6x+7.

当x= =3 时,

S_最大= =16.

∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.

(2)用于再投资的资金有

16-3=13万元.

有下列两种投资方式符合要求:

1. 取A、B、E各一股,投入资金为

5+2+6=13万元,

收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元.

2. 取B、D、E各一股,投入资金为

2+4+6=12万元<13万元,

收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元 .

6.可以把三组数据看成三个点:

A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9).

设y=ax²+bx+c.把A,B,C三点坐标代入其中,得 ,

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.

故y=0.014x²+0.29x+8.6.

令x=15,得

y=0.014×152+0.29×15+8.6≈16.1.

所以可预测2005年该市国内生产总值达到16.1亿元人民币.