第3章整式的乘除（基础30题专练）

一．选择题（共11小题）

1．（鹿城区校级二模）计算2a²•3a³的正确结果是（　　）

A．5a⁶ B．5a⁵ C．6a⁶ D．6a⁵

【分析】根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．

【解答】解：2a²•3a³＝6a⁵．

故选：D．

【点评】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2．（全南县二模）下列计算正确的是（　　）

A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）²＝﹣4a²

C．a³a⁴＝a¹² D．（a+1）²＝a²+2a+1

【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式的运算法则逐一计算可得．

【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、（﹣2a）²＝4a²，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、a³a⁴＝a⁷，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、（a+1）²＝a²+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意，

故选：D．

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．

3．（台州期末）下列运算中，正确的是（　　）

A．x²+x²＝x⁴ B．3x²•4x＝12x³

C．x⁶÷x²＝x³ D．（﹣x³y）²＝﹣x⁶y²

【分析】直接利用单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而判断得出答案．

【解答】解：A．x²+x²＝2x²，故此选项不合题意；

B．3x²•4x＝12x³，故此选项符合题意；

C．x⁶÷x²＝x⁴，故此选项不合题意；

D．（﹣x³y）²＝x⁶y²，故此选项不合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（鼓楼区校级期中）计算 的结果是（　　）

A． B． C． D．

【分析】逆用法则：积的乘方等于乘方的积，可进行简便运算．

【解答】解： ＝ × × ＝（﹣ × ）²⁰²⁰× ＝（﹣1）²⁰²⁰× ＝ ．

故选：D．

【点评】本题主要考查幂的相关运算﹣积的乘方，熟记相关法则可使计算简便．

5．（新昌县模拟）计算（2ab²）³的正确结果是（　　）

A．6ab⁶ B．6a³b⁶ C．8ab⁶ D．8a³b⁶

【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．据此计算即可．

【解答】解：（2ab²）³＝2³•a³•（b²）³＝8a³b⁶，

故选：D．

【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

6．（瑞安市开学）计算a³•（﹣a）的结果是（　　）

A．a⁴ B．﹣a⁴ C．a² D．﹣a²

【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【解答】解：a³•（﹣a）＝﹣a³•a＝﹣a⁴．

故选：B．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

7．（鹿城区校级开学）下列运算正确的是（　　）

A．（a²）³＝a⁶ B．a•a³＝a³ C．a²+a²＝a⁴ D．a⁶÷a²＝a³

【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、（a²）³＝a⁶，故A符合题意；

B、a•a³＝a⁴，故B不符合题意；

C、a²+a²＝2a²，故C不符合题意；

D、a⁶÷a²＝a⁴，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

8．（椒江区期末）若8^x＝21，2^y＝3，则2^3x﹣y的值是（　　）

A．7 B．18 C．24 D．63

【分析】由已知条件可得2^3x＝21，再利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可．

【解答】解：∵8^x＝21，2^y＝3，

∴2^3x＝21，

∴2^3x﹣y

＝2^3x÷2^y

＝21÷3

＝7．

故选：A．

【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．

9．（襄汾县期末）若x+y＝6，x²+y²＝20，求xy的值是（　　）

A．6 B．8 C．26 D．20

【分析】根据完全平方公式解答即可．完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab+b²．

【解答】解：∵（x+y）²＝x²+2xy+y²，x+y＝6，x²+y²＝20，

∴2xy＝（x+y）²﹣（x²+y²）＝6²﹣20＝16，

解得：xy＝8．

故选：B．

【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．

10．（上虞区模拟）下列运算正确的是（　　）

A．a²•a³＝a⁶

B．（﹣2a²b）³＝﹣8a⁵b³

C．2ab²（﹣ ab²+3a）＝﹣a²b⁴+6a²b²

D．2a³+3a²＝5a⁵

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可得出结果．

【解答】解：A、a²•a³＝a⁵，故A不符合题意；

B、（﹣2a²b）³＝﹣8a⁶b³，故B不符合题意；

C、2ab²（﹣ ab²+3a）＝﹣a²b⁴+6a²b²，故C符合题意；

D、2a³与3a²不属于同类项，不能合并，故D不符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

11．（上虞区期末）将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（　　）

A．（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² B．（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²

C．（a+b）²＝a²+2ab+b² D．（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab

【分析】从整体和部分两个方面，分别表示阴影部分的面积即可．

【解答】解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为（a﹣b）²，

图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，即a²﹣2ab+b²，

因此有（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²，

故选：A．

【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．

二．填空题（共12小题）

12．（滨江区校级期末）若2^m•2ⁿ÷2³＝64，则m+n＝　9　．

【分析】将已知式子两边化为同底数的幂，即可列出关于m、n的方程，从而求解．

【解答】解：∵2^m•2ⁿ÷2³＝64，

∴2^m+n﹣3＝2⁶，

∴m+n﹣3＝6

∴m+n＝9，

故答案为：9．

【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知式子两边化为同底数的幂．

13．（宁波模拟）已知（2x+y）²＝58，（2x﹣y）²＝18，则xy＝　5　．

【分析】由（2x+y）²﹣（2x﹣y）²＝4×2xy进行解答．

【解答】解：∵（2x+y）²＝58，（2x﹣y）²＝18，

∴（2x+y）²﹣（2x﹣y）²＝4×2xy，

∴58﹣18＝8xy，

∴xy＝5．

故答案是：5．

【点评】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用．

14．（诸暨市期末）已知3^a＝4，3^b＝10，3^c＝25，则a，b，c之间满足的等量关系是　a+c＝2b　．

【分析】由4×25＝100＝10²知3^a×3^c＝（3^b）²，再利用同底数幂和幂的乘方求解可得．

【解答】解：a+c＝2b，理由如下：

∵4×25＝100＝10²，

∴3^a×3^c＝（3^b）²，

∴3^a+c＝3^2b，

则a+c＝2b．

故答案为：a+c＝2b．

【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．

15．（长春期末）计算：（14a²﹣7a）÷7a＝　2a﹣1　．

【分析】根据整式的除法的法则对式子进行运算即可．

【解答】解：（14a²﹣7a）÷7a

＝14a²÷（7a）﹣7a÷（7a）

＝2a﹣1．

故答案为：2a﹣1．

【点评】本题主要考查整式的除法，解答的关键是熟记并灵活运用整式的除法法则．

16．（上城区期末）计算（﹣s+t）（﹣s﹣t）＝　s²﹣t²　．

【分析】直接利用平方差公式进行运算即可．

【解答】解：（﹣s+t）（﹣s﹣t）

＝（﹣s）²﹣t²

＝s²﹣t²．

故答案为：s²﹣t²．

【点评】本题主要考查平方差公式，解答的关键是对平方差公式的掌握．

17．（长兴县模拟）计算（a﹣b）²（b﹣a）³的正确结果是　（b﹣a）⁵　.（结果用幂的形式表示）

【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法解决此题．

【解答】解：（a﹣b）²（b﹣a）³

＝（b﹣a）²（b﹣a）³

＝（b﹣a）⁵．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则以及偶次方是解决本题的关键．

18．（嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则10^4x÷10^3y＝　1000　．

【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．

【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，

∴4x﹣3y＝3，

∴10^4x÷10^3y＝10^4x﹣3y＝10³＝1000．

故答案为：1000．

【点评】此题考查的是同底数幂的除法运算，对已知式子进行变形是解决此题关键．

19．（绍兴月考）已知a+b＝ ，ab＝2，则（a﹣2）（b﹣2）＝　3　．

【分析】根据多项式乘多项式的方法将（a﹣2）（b﹣2）化为ab﹣2（a+b）+4，再整体代入计算即可．

【解答】解：∵a+b＝ ，ab＝2，

∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4

＝2﹣3+4

＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查多项式乘多项式，将（a﹣2）（b﹣2）化为ab﹣2（a+b）+4是正确解答的关键．

20．（长兴县月考）若2x+y﹣2＝0，则25^x•5^y＝　25　．

【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可．

【解答】解：∵2x+y﹣2＝0，

∴2x+y＝2，

∴25^x•5^y

＝5^2x•5^y

＝5^2x+y

＝5²

＝25，

故答案为：25．

【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

21．（婺城区校级月考）若a+b＝3，ab＝1，则（a﹣b）²＝　5　．

【分析】先根据完全平方公式展开，再把a+b、ab的值代入计算即可．

【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，

∴（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝3²﹣4×1＝9﹣4＝5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式，以及掌握整体代入的思想．

22．（衢江区一模）已知x，y满足方程组 ，则x²﹣y²的值为　15　．

【分析】由平方差公式：（a﹣b）（a+b）＝a²﹣b²解答即可．

【解答】解：因为 ，

所以x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．

故答案为：15．

【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

23．（义乌市期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是　①③④　．

①小长方形的较长边为y﹣12；

②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4；

③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；

④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

【分析】利用图形求得阴影A，B的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论．

【解答】解：∵小长方形的较短的边长为4cm，

∴阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm；

阴影B的较长边为12cm．

∵阴影A的较长边与小长方形的较长边相等，

∴小长方形的较长边为：（y﹣12）cm．

∴①正确；

∵阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：

（x﹣8）+（x+12﹣y）＝2x﹣y+4．

∴②错误；

∵阴影A和阴影B的周长和为：

2×（y﹣12+x﹣8+12+x﹣y+12）

＝2×（2x+4）

＝4x+8，

∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值．

∴③正确；

∵小长方形的较短边为：x﹣（y﹣12）＝（x+12﹣y）cm，

∴阴影A和阴影B的面积和为：

（y﹣12）（x﹣8）+12（x+12﹣y）

＝xy﹣8y﹣12x+96+12x+144﹣12y

＝xy﹣20y+240，

∵当x＝20时，

xy﹣20y+240＝20y﹣20y+240＝240，

∴当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

∴④正确．

综上，正确的结论有：①③④，

故答案为：①③④．

【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影A，B的长与宽是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

24．（鹿城区校级三模）（1）计算：|﹣4|+（ +1）⁰﹣ ．

（2）化简：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7．

【分析】（1）先化简，然后进行加减运算；

（2）先用平方差公式、单项式与多项式相乘的运算法则，然后合并同类项．

【解答】（1）原式＝4+1﹣2

＝5﹣2 ；

（2）原式＝9﹣m²+m²﹣6m﹣7

＝2﹣6m．

【点评】本题主要考查了平方差公式、实数的运算、单项式与多项式相乘的运算法则、零指数幂，掌握这几种运算法则和性质是解题关键．

25．（鹿城区校级二模）（1）计算：|﹣3|+（1﹣ ）⁰﹣ ﹣（﹣2）．

（2）化简：（a﹣3）²﹣a（a+8）．

【分析】（1）先算绝对值、零指数幂、算术平方根，再求出答案即可；

（2）先按照完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可．

【解答】解：（1）原式＝3+1﹣2+2

＝4；

（2）原式＝a²﹣6a+9﹣a²﹣8a

＝﹣14a+9．

【点评】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、二次根式等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练运用整式的运算法则进行化简是解（2）的关键．

26．（椒江区期末）计算：

（1）2^﹣1+（3﹣π）⁰；

（2）（2a﹣1）²﹣4a（a﹣1）．

【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂计算即可；

（2）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简即可．

【解答】解：（1）原式＝ +1

＝ ；

（2）原式＝4a²﹣4a+1﹣4a²+4a

＝1．

【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式和单项式乘多项式，掌握（a±b）²＝a²±2ab+b²是解题的关键．

27．（拱墅区期中）（1）计算：（18x³y⁵﹣12x⁴y⁴﹣24x³y²）÷（﹣6x³y²）．

（2）先化简后求值：（2x﹣3y）²﹣（3x+y）（3x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．

【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则化简得出答案；

（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．

【解答】解：（1）原式＝18x³y⁵÷（﹣6x³y²）﹣12x⁴y⁴÷（﹣6x³y²）﹣24x³y²÷（﹣6x³y²）

＝﹣3y³+2xy²+4；

（2）原式＝4x²﹣12xy+9y²﹣（9x²﹣y²）

＝4x²﹣12xy+9y²﹣9x²+y²

＝﹣5x²+10y²﹣12xy，

当x＝2，y＝﹣1时，

原式＝﹣5×2²+10×（﹣1）²﹣12×2×（﹣1）

＝﹣20+10+24

＝14．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

28．（浙江模拟）计算（x+y）²﹣y（2x+y）；

【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简；

【解答】解：（1）原式＝x²+2xy+y²﹣2xy﹣y²

＝x²；

29．（南浔区期末）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为M﹣N＝2x+3﹣（2x+1）＝2＞0，所以M＞N．

（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S₁；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S₂．

①用含a的代数式分别表示S₁和S₂（结果需要化简）；

②请用作差法比较S₁与S₂大小．

（2）若M＝a²，N＝4﹣（a+1）²，且M＝N，求a（a+1）的值．

【分析】（1）①根据题意列出算式即可求出答案．

②根据整式的加减运算求出S₁﹣S₂，然后判断其结果与零的大小关系即可求出答案．

（2）根据题意列出等式可求出2a²+2a＝3，然后代入原式即可求出答案．

【解答】解：（1）①S₁＝a（a+4）＝a²+4a， ，

②∵ ，

∴S₁＜S₂；

（2）由M＝N，得到M﹣N＝0，

∴a²﹣4+（a+1）²＝0，

整理得：2a²+2a﹣3＝0，

即2a²+2a＝3，

则 ．

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．

30．（滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：

方法1：　（a+b）²　；方法2：　a²+b²+2ab　；

（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）²，a²+b²，ab之间的等量关系　（a+b）²＝a²+b²+2ab　；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b＝5，（a﹣b）²＝13，求ab的值；

②已知（2021﹣a）²+（a﹣2020）²＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．

【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；

（2）由（1）直接可得关系式；

（3）①由（a﹣b）²＝a²+b²﹣2ab＝13，（a+b）²＝a²+b²+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；

②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x²+y²＝5，先求出xy＝﹣2，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．

【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），

∴S＝（a+b）²；

方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，

∴S＝b²+ab+ab+a²＝a²+b²+2ab；

故答案为：（a+b）²，a²+b²+2ab；

（2）由（1）可得（a+b）²＝a²+b²+2ab；

故答案为：（a+b）²＝a²+b²+2ab；

（3）①∵（a﹣b）²＝a²+b²﹣2ab＝13①，

（a+b）²＝a²+b²+2ab＝25②，

由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，

解得：ab＝3；

②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，

∴x+y＝1，

∵（2021﹣a）²+（a﹣2020）²＝5，

∴x²+y²＝5，

∵（x+y）²＝x²+2xy+y²＝1，

∴2xy＝1﹣（x²+y²）＝1﹣5＝﹣4，

解得：xy＝﹣2，

∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2．

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．