对　顶　角

(30分钟　50分)

一 、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图所示,直线AB,CD相交于O,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,下列四种分类不同于其他三个的是　(　　)

A.∠1和∠2　　　　　 B.∠2和∠3

C.∠3和∠4 D.∠2和∠4

2.如图已知∠1+∠3=18 0°,则图中和∠1互补的角有　(　　)

A.1个　　　 B.2个　　 　C.3个　　 　D.4个

3.如图所示,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2.若∠AOE=140°,则∠AOC的度数为　(　　)

A.40° B.60° C.80° D.100°

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图,当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD增大________度,其根据是______________.

5.如图, 直线AB,CD,EF相交于同一点O,且∠BOC=Error: Reference source not found∠AOC,∠DOF=Error: Reference source not found∠AOD,那么

∠FOC=______度.

6 .如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,∠1∶∠2=2∶3,∠AOC=50°,则∠2的度数是________.

三 、解答题(共26分)

7.(8分)如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外.如何运用本章知识进行测量?

8.(8分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若

∠AOC=28°,求∠EOF的度数.

【拓展延伸】

9.(10分)观察下列图形,寻找对 顶角(不含平角):

(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.

(2)三条 直线相交于一点(如图 (2)),图中共有________ 对对顶角.

(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.

(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________ 对对顶角.

(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.

答案解析

1.【解析】选D.选项A,B,C中的两个角都是相邻且互补关系;选项D中的两角是对顶角.

2.【 解析】选D.根据相加等于180°的两角称作互为补角,即两角互补.可知∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7;另外∠1+∠3=180°,根据对顶角相等可知 ,∠3=∠4,所以∠1+∠4=180°,即∠3和∠4也 都是∠1的补角,所以和∠1互补的角有4个.

3.【解析】选C.因为∠AOE+∠2=180°,∠AOE=140°,所以∠2=180°-∠AOE =

180°-140°=40°.因为∠1=∠2,所以∠BOD=2∠2=80°.又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=80°.

【归纳整合】对顶角的三个用途

( 1)利 用对顶角的定义来辨析:识别两个角是否为对顶角,一要看这两个角是 否由两条直线相交得到的,二要看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边.只有同时满足这两个条件时, 才能断定这两个角是对顶角.

(2)利用对顶角的性质来计算:两条直线交于一点,一定会出现对顶角、平角与互补的角, 解题中要充分利用它们的性质,搭起已知角与未知角之间的桥梁.

(3)利用对顶角的性质来说理:今后经常利用对顶角的性质、角平分线的性质及互余、互补的性质等进行说理.

4.【解析】因为∠AOB与∠COD是对顶角,∠AOB与∠COD始终相等,所以∠AOB变化,∠COD也发生同样变化.故当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD也增大15°

答案：15　对顶角相等

5.【解析】因为∠BOC+∠AOC=180°,

∠BOC =Error: Reference source not found∠AOC,

所以Error: Reference source not found∠AOC+∠AOC=180°,

所以∠AOC=108°,所以∠BOC=72°,

所以∠AOD =∠BOC =72°,

所以∠DOF=Error: Reference source not found∠AOD=24°,

所以∠FOC=180°-∠DOF=156°.

答案：156

6.【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠BOD=∠AOC=50°.

又∠1∶∠2=2∶3,设∠1=2x,∠2=3x,则

2x+3x=50°,所以x=10°.故∠2=3x=30°.

答案：30°

7.【解析】如图,延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD,测出∠COD的度数,由∠AOB=∠COD,即得∠ AOB的度数.

8.【解析】因为∠BOD=∠DOE,所以∠DOE=Error: Reference source not found∠BOE,同理∠EOF=Error: Reference source not found∠AOE,

所以∠DOF=∠DOE+∠EOF

=Error: Reference source not found∠BOE+Error: Reference source not found∠AOE

=Error: Reference source not found(∠BOE+∠AOE)=Error: Reference source not found×180°=90°.

又∠BOD和∠AOC是对顶角,

所以∠BOD=∠AOC=28°,所以∠EOF=90°-28°=62°.

9.【解析】图(1)中有两条直线,共有2对对顶角,而2=2×1;图(2)中有三条直线,共有6对对顶角,而6=3×2;图(3)中有四条直线,共有12对对顶角,而12=4×3;……当有n条直线相交于一点时,共有n(n-1)对对顶角;若有2014条直线相交于一点,则可构成2014×2013=4054182对对顶角.

答案：(1)2　(2)6　(3)12　(4)n(n-1)

(5)4054182