21．6　综合与实践　获取最大利润

【学习目标】

1．探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．

2．经历探究二次函数最大(小)值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法．

【学习重点】

对销售中最大利润问题的理解并建立二次函数模型．

【学习难点】

从实际问题中抽象出二次函数模型．

情景导入

初步认知：问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设降价为x(20≤x≤35的整数)元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？

你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？

解：由题意得y＝(35－x－20)(600＋200x)，y＝－200x²＋2400x＋9000＝－200(x－6)²＋16200，当降低6元，即售价29元时，获利最多．

基础知识梳理

阅读教材P_52～54页，试填写下面问题：

利用二次函数求最大利润(或收益)．

(1)用含自变量的式子分别表示销售单价或销售收入及销售量；(2)用含自变量的式子表示销售的商品的单件利润；(3)用函数及含自变量的式子分别表示销售利润即可得到函数关系式；(4)根据函数关系式求出最大值及取得最大值时自变量的值．

例：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．商品每天的利润y与x的函数关系式是：y＝(10－x－8)(100＋100x)，即y＝－100x²＋100x＋200，配方得y＝－100(x－)²＋225，因为x＝时，满足0≤x≤2，所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225.所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大．

例：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价在不亏本的情况下不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天能卖出90箱，价格每提高1元，平均每天少卖3箱，当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少？

解：设每箱苹果的销售价为x元，所获利润为w元，则w＝(x－40)[90－3(x－50)]＝－3(x－60)²＋1200.∵a＝－3＜0，该抛物线开口向下，由题意可知当x＝55元/箱时，w_最大＝－3×(55－60)²＋1200＝1125(元)．

变式：某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax²＋bx－75.其图象如图所示．

(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

解：(1)y＝ax²＋bx－75图象过点(5，0)，(7，16)．

∴解得y＝－x²＋20x－75的顶点坐标是(10，25)．当x＝10时，y_最大＝25.

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．

(2)∵函数y＝－x²＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，

可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．

又∵函数y＝－x²＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

基础知识训练

1．某商店购进一批单价为30元的商品，如果以单价为40元销售，那么半月内可销售400件，根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量就会相应减少20件，那么在半月内这种商品可能获得的最大利润为(　C　)

A．4000元 B．4250元 C．4500元 D．5000元

2．一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天利润最大，每件需降价的钱数为(　A　)

A．5元 B．10元 C．0元 D．3600元

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________