【332140】四川省成都市中考模拟卷（四）

四川省成都市中考数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．（3分）实数a在数轴上对应点的位 置如图所示，把a，﹣a，a²按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．﹣a＜a＜a² B．a＜﹣a＜a² C．﹣a＜a²＜a D．a＜a²＜﹣a

2．一个正常人的心跳平均每分钟70次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（　　）

A．1.008×10 ⁵ B．100.8×10³ C．5.04×10⁴ D．504×10²

3．（3分）如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

4．（3分）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P₁（﹣3，﹣ ），P点关于x轴的对称点为P₂（a，b），则 =（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

5．（3分）下列各式计算正确的是（　　）

A．（﹣3x³）²=9x⁶ B．（a﹣b）²=a²﹣b² C．a³•a²=a⁶ D．x²+x²=x⁴

6．（3分）如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE．则下列结论

①△ABE≌△ACD

②AM=AN：

③△ABN≌△ACM；

④BO=EO．

其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7．（3分）某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘 制了折线统计图，下列说法正确的是（　　）

A．极差是47 B．中位数是58

C．众数是42 D．极差大于平均数

8．（3分）解分式方程 + =3时，去分母后变形正确的是（　　）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）

9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． π C．30 ﹣12π D． π

10．（3分）已知y关于x的函数表达式是y=ax²﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（　　）

A．若a=1，函数的最小值是﹣2

B．若a=﹣1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大

C．不论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点

D．不论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）

　

二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

11．（4分）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是　 　．

12．（4分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中 白球大约有　 　个．

13．（4分）若 ，则 =　 　．

14．（4分）已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A=　 　．

　

三．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

15．（4分）分解因式：16m²﹣4=　 　．

16．（4分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为　 　．

17．（4分）世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是　 　．

18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为　 　．

19．（4分）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b 的x的取值范围是　 　．

　

四．解答题（共6小题，满分54分）

20．（12分）（1）计算：（﹣2）²﹣ +（ +1）²﹣4cos60°；

（2）化简： ÷（1﹣ ）

21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k²，k是实数．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根：

（2）当k的值取　 　时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）

22．（8分）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．

解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是　 　；在扇形统计图中D组的圆心角是　 　度．

（2）抽取的学生体重中位数落在　 　组；

（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？

（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为 =40），请你估计该校八年级500名学生的平均体重．

23．（8分）如图，在一笔直的沿湖道路上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏东15°的方向，AB=4km．

（1）求观光岛屿C与码头A之间的距离（即AC的长）；

（2）游客小明准备从观光岛屿C乘船沿甜回到码头A或沿CB回到码头B，若开往码头A、B的游船速度相同，设开往码头A、B所用的时间分别是t₁、t₂，求 的值．（结果保留根号）

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═ ，反比例函数y= 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为 ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线EB的解析式；

（3）求S_△OEB．

25．（10分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；

（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；

（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．

　

五．解答题（共3小题，满分30分）

26．（8分）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：

（1）乙车的速度是　 　千米/时，乙车行驶的时间t=　 　小时；

（2）求甲车 从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；

（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．

27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时 ，连接AE，求证：AF= AE；

（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2 ，CE=2，求线段AE的长．

28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

　

2018年四川省成都市中考数学模拟试卷（四）

参考答案与试题解析

　

一．选择题（共10小题，满分27分）

1．（3分）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a²按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．﹣a＜a＜a² B．a＜﹣a＜a² C．﹣a＜a²＜a D．a＜a²＜﹣a

【解答】解：由数轴可得：

﹣1＜a＜0，则﹣a＞0，

则a＜a²＜﹣a，

故选：D．

　

2．一个正常人的心跳平均每分钟70次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（　　）

A．1.008×10⁵ B．100.8×10³ C．5.04×10⁴ D．504×10²

【解答】解：∵一个正常人的平均心跳速率约为每分钟70次，

∴一天24小时大约跳：24×60×70=10080=1.008×10⁵（次）．

故选：A．

　

3．（3分）如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【解答】解：球的三视图均为圆、正方体的三视图均为正方形，

而圆柱体和圆锥的三视图不完全相同，

故选：B．

　

4．（3分）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P₁（﹣3，﹣ ），P点关于x轴的对称点为P₂（a，b），则 =（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

【解答】解：∵P点关于原点的对称点为P₁（﹣3，﹣ ），

∴P（3， ），

∵P点关于x轴的对称点为P₂（a，b），

∴P₂（3，﹣ ），

∴ = =﹣2．

故选：A．

　

5．（3分）下列各式计算正确的是（　　）

A．（﹣3x³）²=9x⁶ B．（a﹣b）²=a²﹣b² C．a³•a²=a⁶ D．x²+x²=x⁴

【解答】解：A、（﹣3x³）²=9x⁶，正确；

B、（a﹣b）²=a²﹣2ab+b²，错误；

C、a³•a²=a⁵，错误；

D、x²+x²=2x²，错误；

故选：A．

　

6．（3分）如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE．则下列结论

①△ABE≌△ACD

②AM=AN：

③△ABN≌△ACM；

④BO=EO．

其中正 确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【解答】解：∵AD⊥CD，AE⊥BE，

∴∠D=∠E=90°，

由 得出Rt△ADC≌Rt△ABE，故①正确；

∴∠B=∠C，

由 得出△ABN≌△ACM，故③正确，

∴AN=AM，故②正确；

但不能得出BO=EO，

故选：B．

　

7．（3分）某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　）

A．极差是47 B．中位数是58

C．众数是42 D ．极差大于平均数

【解答】解：A、极差=83﹣28=55≠47，错误；

B、中位数是（58+58）÷2=58 ，正确；

C、众数是58，错误；

D、平均数= ，错误；

故选：B．

　

8．（3分）解分式方程 + =3时，去分母后变形正确的是（　　）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）

【解答】解：方程变形得： ﹣ =3，

去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），

故选：D．

　

9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． π C．30 ﹣12π D． π

【解答】解：连接OE，OF．

∵BD=12，AD：AB=1：2，

∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，

∴S_△ABD= =24 ，S_扇形= =6π，S_△OEB= =9 ，

∵两个阴影的面积相等，

∴阴影面积=2×（24 ﹣6π﹣9 ）=30 ﹣12π．

故选：C．

　

10．（3分）已知y关于x的函数表达式是y=ax²﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（　　）

A．若a=1，函数的最小值是﹣2

B．若a=﹣1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大

C．不论a为何值时，函数图象与 x轴都有两个交点

D．不论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）

【解答】解：∵y=ax²﹣2x﹣a，

∴当a=1时，y=x²﹣2x﹣1=（x﹣1）²﹣2，则当x=1时，函数取得最小值，此时y=﹣2，故选项A正确，

当a=﹣1时，该函数图象开口向下，对称轴是直线x=﹣ = =﹣1， 则当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故选项B正确，

当a=0时，y=﹣2x，此时函数与x轴有一个交点，故选项C错误，

当x=1时，y=a×1²﹣2×1﹣a=﹣2，当x=﹣1时，y=a×（﹣1）²﹣2×（﹣1）﹣a=2，故选项D正确，

故选：C．

　

二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

11．（4分）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是　88°，90°，99°，108°，116°　．

【解答】解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°

当∠ACB=48°时，有以下4种情况，

故答案为：88°，90°，99°，108°，116°

　

12．（4分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中白球大约有　2　个．

【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，[来源:Zxxk.Com]

∴袋中一共有球（6+n）个，

∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为 ，

∴ = ，

解得：n=2．

故答案为：2．

　

13．（4分）若 ，则 =　 　．

【解答】解：∵ ，

∴3x+3y=5y﹣5x，

∴3x+5x=5y﹣3y，

∴8x=2y，

∴ = ．

故答案为： ．

　

14．（4分）已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A=　45°　．

【解答】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，

∴DA=DC，EB=ED，[来源:Z.xx.k.Com]

∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，

∵△CDE为等边三角形，

∴∠CDE=∠DEC=60°，

而∠DEC=∠EDB+∠B，

∴∠EDB= ×60°=30°，

∴∠CDB=90°，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠A=45°．

故答案为45°．

　

三．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

15．（4分）分解因式：16m²﹣4=　4（2m+1）（2m﹣1）　．

【解答】解：原式=4（4m²﹣1）=4（2m+1）（2m﹣1），

故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）

　

16．（4分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为　 　．

【解答】解：根据题意，AB²=AE²+BE²=13，

∴S_正方形ABCD=13，

∵△ABE≌△BCF，

∴AE=BF=3，∵BE=2，

∴EF=1，

∴S_正方形EFGH=1，

，故飞镖扎在小正方形内的概率为 ．

故答案为 ．

　

17．（4分）世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是　 　．

【解答】解：∵第8行最后一个数是 ，第7行最后一个数是 ，第6行最后一个数是 ，

∴第7行倒数第二个数是 ﹣ = ，第8行倒数第二个数是 ﹣ = ，

∴第8行倒数第三个数是 ﹣ = ，

故答案是： ．

　

18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为　 　．

【解答】解：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，

∵E是CD的中点，

∴BE⊥CD，

∴∠EBF=∠BEC=90°，

Rt△BCE中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°×3= ，

∴Rt△ABE中，AE= ，

由折叠可得，AE⊥GF，EO= AE= ，

设AF=x=EF，则BF=3﹣x，

∵Rt△BEF中，BF²+BE²=EF²，

∴（3﹣x）²+（ ）²=x²，

解得x= ，即EF= ，

∴Rt△EOF中，OF= = ，

∴tan∠EFG= = ．

故答案为： ．

　

19．（4分）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b 的x的取值范围是　x＜﹣1或0＜x＜ 2　．

【解答】解：把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y= ，

得﹣m=﹣2，﹣n =﹣2，

解得m=2，n=2，

所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），

把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y=kx+b得

，

解得 ，

所以这个一次函数的表达式为y=﹣x+1，

函数 图象如图所示：[来源:Zxxk.Com]

根据图象可知，使kx+b 的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．

　

四．解答题（共6小题，满分54分）

20．（12分）（1）计算：（﹣2）²﹣ +（ +1）²﹣4cos60°；

（2）化简： ÷（1﹣ ）

【解答】解：（1）原式=4﹣2 +2+2 +1﹣4×

=7﹣2

=5；

（2）原式= ÷

= •

= ．

　

21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k²，k是实数．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根：

（2）当k的值取　﹣2、0、2　时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）

【解答】（1）证明：原方程可变形为x²﹣5x+4﹣k²=0．

∵△=（﹣5）²﹣4×1×（4﹣k²）=4k²+9＞0，

∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：原方程可化为x²﹣5x+4﹣k²=0．

∵方程有整数解，

∴x= 为整数，

∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．

　

22．（8分）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．

解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是　50　；在扇形统计图中D组的圆心角是　72　度．

（2）抽取的学生体重中位数落在　C　组；

（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？

（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为 =40），请你估计该校八年级500名学生的平均体重．

【解答】解：（1）16÷32%=50，360°× =72°，

故答案为：50，72；

（2）B组的人数为50﹣4﹣16﹣10﹣8=12，4+12+16=32＞2 5，

∴抽取的学生体重中位数落在C组；

故答案为：C．

（3）由频数分布直方图可得，D，E两组学生的体重超过52kg，

∴500× =180，[来源:Z|xx|k.Com]

即该校八年级体重超过52kg的学生大约有180名；

（4）A、B、C、D、E五组的组中值分别为40，45，50，55，60，

∴抽取的50名学生的平均体重为 （40×4+45×12+50×16+55×10+60×8）=50.6（kg），

∴该校八年级500名学生的平均体重为50.6kg．

　

23．（8分）如图，在一笔直的沿湖道路上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏东15°的方向，AB=4km．

（1）求观光岛屿C与码头A之间的距离（即AC的长）；

（2）游客小明 准备从观光岛屿C乘船沿甜回到码头A或沿CB回到码头B，若开往码头A、B的游船速度相同，设开往码头A、B所用的时间分别是t₁、t₂，求 的值．（结果保留根号）

【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．

根据题意得∠CAB=30°，∠ABC=105°，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD=60°，

∴∠CBD=45°，

在Rt△ABD中，∠CAB=30°，AB=4km，

∴BD=ABsin30°=2km，AD=ABcos30°=2 km，

在Rt△BCD中，∠CBD=45°，

∴CD=BDtan45°=2km，

AC=AD+CD=（2 +2）km；

（2）在Rt△BCD中，∠CBD=45°，

∴BC= BD=2 km，

∵速度相同，

∴ = = = ．

　

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═ ，反比例函数y= 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为 ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 EB的解析式；

（3）求S_△OEB．

【解答】解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，

∴AB=6，

∵cos∠OAB═ = ，

∴ ，

∴OA=10，

由勾股定理得：OB=8，

∴A（8，6），

∴D（8， ），

∵点D在反比例函数的图象上，

∴k=8× =12，

∴反比例函数的解析式为：y= ；

（2）设直线OA的解析式为：y=bx，

∵A（8，6），

∴8b=6，b= ，

∴直线OA的解析式为：y= x，

则 ，

x=±4，

∴E（﹣4，﹣3），

设直线BE的解式为：y=mx+n，

把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得： ，

解得： ，

∴直线BE的解式为：y= x﹣ 2；

（3）S_△OEB= OB•|y_E|= ×8×3=12．

　

25．（10分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；

（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；[来源:Z*xx*k.Com]

（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．

【解答】解：（1）∵OD⊥AC，

∴ = ，∠AFO=90°，

又∵AC=BD，

∴ = ，即 + = + ，

∴ = ，

∴ = = ，

∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，

∵AB=2，

∴AO=BO=1，

∴AF=AOsin∠AOF=1× = ，

则AC=2AF= ；

（2）如图1，连接BC，

∵AB为直径，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠C=90°，

∴OD∥BC，

∴∠D=∠EBC，

∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，

∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BC=DF、EC=EF，

又∵AO=OB，

∴OF是△ABC的中位线，

设OF=t，则BC=DF=2t，

∵DF=DO﹣OF=1﹣t，

∴1﹣t=2t，

解得：t= ，

则DF=BC= 、AC= = = ，

∴EF= FC= AC= ，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠D，

则cot∠ABD=cot∠D= = = ；

（3）如图2，

∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是 ⊙O的内接正（n+4）边形的一边，

∴∠BOC= 、∠AOD=∠COD= ，

则 +2× =180，

解得：n=4，

∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，

∴BC=AC= ，

∵∠AFO=90°，

∴OF=AOcos∠AOF= ，

则DF=OD﹣OF=1﹣ ，

∴S_△ACD= AC•DF= × ×（1﹣ ）= ．

　

五．解答题（共3小题，满分30分）

26．（8分）如图1，甲、乙两车分别从相 距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：

（1）乙车的速度是　80　千米/时，乙车行驶的时间t=　6　小时；

（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；

（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．

【解答】解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，

∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；

（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，

∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，

∴结合函数图象可知，当x= 时，y=300；当x=5时，y=0；

设甲车从C地按原路原速返回A地时，即 ≤x≤5，

甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，

将 函数关系式得： ，

解得： ，

故甲车从C地按原路原速返回A地时，

甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；

（3）由题意可知甲车的速度为： =120（千米/时），

设甲车出发m小时两车相距80千米，有以下两种情况：

①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，

解得：m= ；

②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，

解得：m=3；

③两车相遇之后，甲返回前，有120m+80（m+1）﹣80=480，

解得：m= ；

∴甲车出发 小时或3小时或 两车相距80千米．

故答案为：（1）80，6．

　

27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF= AE；

（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2 ，CE=2，求线段 AE的长．

【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB=DF，

∵AB=AC，

∴AC=DF，

∵DE=EC，

∴AE=EF，

∵∠DEC= ∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．

∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，

∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，

∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，

∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，

∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA（SAS），

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF= AE．

（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，

设AE交CD于H，

依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，

∴EH=DH=CH= ，

Rt△ACH中，AH = =3 ，

∴AE=AH+EH=4 ．

　

28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的 解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

【解答】解：（1）∵直线l：y= x+m经过点B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y= x﹣1，

∵直线l：y= x﹣1经过点C（4，n），

∴n= ×4﹣1=2，

∵抛物线y= x²+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x²﹣ x﹣1；

（2）令y=0，则 x﹣1=0，

解得x= ，

∴点A的坐标为（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB= = = ，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE• = DE，

DF=DE•sin∠DEF=DE• = DE，

∴p=2（DF+EF）=2（ + ）DE= DE，

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t， t²﹣ t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（ t﹣1）﹣（ t²﹣ t﹣1）=﹣ t²+2t，

∴p= ×（﹣ t²+2t）=﹣ t²+ t，

∵p=﹣ （t﹣2）²+ ，且﹣ ＜0，

∴当t=2时，p有最大值 ；

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90 °，

∴A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，设点A₁的横坐标为x，

①如图1，点O₁、B₁在抛物线上时，点O₁的横坐标为x，点B₁的横坐标为x+1，

∴ x²﹣ x﹣1= （x+1）²﹣ （x+1）﹣1，

解得x= ，

②如图2，点A₁、B₁在抛物线上时，点B₁的横坐标为x+1，点A₁的纵坐标比点B₁的纵坐标大 ，

∴ x²﹣ x﹣1= （x+1）²﹣ （x+1）﹣1+ ，

解得x=﹣ ，

综上所述，点A₁的横坐标为 或﹣ ．