【332167】正投影

正投影

基础训练

知识点1 正投影的定义

1.球的正投影是(　　)

A.圆　　　B.椭圆　　　C.点　　　D.圆环

2.如图,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是(　　)

3.把一个正五棱柱如图摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是(　　)

4.下列投影中,正投影有(　　)

A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

5.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,此圆台的正投影是(　　)

A.矩形 B.两条线段

C.等腰梯形 D.圆环

6.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是(　　)

A.圆 B.圆柱 C.梯形 D.矩形

7.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是(　　)

A.三角形 B.线段

C.矩形 D.正方形

知识点2 正投影的性质

8.几何体在平面P的正投影,取决于(　　)

①几何体形状;②几何体与投影面的位置关系;③投影面P的大小.

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

9.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为(　　)

A.20 cm² B.300 cm²

C.400 cm² D.600 cm²

10.一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是(　　)

A.AB=CD B.AB≤CD

C.AB>CD D.AB≥CD

11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是　　　　.

12.如图,请用平行投影的方法画出圆柱的正投影.

提升训练

考查角度1 利用正投影的性质求影长(转化思想)

13.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.

(1)求此时的影子A₁B₁的长度;

(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB₂A₂垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A₂B₂.

考查角度2 利用解直角三角形求正投影的面积

14.已知一纸板的形状为正方形ABCD,且边长为10 cm.如图,四边形A₁B₁C₁D₁是正方形ABCD在面β上的正投影,AD,BC与投影面β平行,且AB,CD与投影面β成30°角,求正方形ABCD的正投影的面积.

探究培优

拔尖角度1 利用投影的定义探究几何中的投影问题

15.操作与研究:

如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.

(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢?

(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC²=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.

通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:

①BC²=BD·AB;②CD²=AD·BD.

拔尖角度2 利用投影的定义进行方案设计

16.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,

(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响?

(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米?

结果保留整数,参考数据:sin 32°≈ ,cos 32°≈ ,tan 32°≈

参考答案

1.【答案】A　2.【答案】D　3.【答案】B　4.【答案】B

5.【答案】C　

解：根据正投影的性质可知,该几何体的正投影应为等腰梯形.

6.【答案】D　

解：当投影线与圆柱的底面平行时,它的正投影为矩形.

7.【答案】A　 8.【答案】A　9.【答案】C　

10.【答案】D　11.【答案】 π

12.错解:如图①所示.

剖析:错解的原因是没有正确理解正投影的含义.圆柱的正投影是平行光线下的投影,投影线与投影面是垂直的,所以投影后是矩形(最大截面).由于上、下底面与投影面垂直,故其正投影为两条线段,不可能是圆.

正解:如图②所示.

13.分析:(1)当木棒平行于投影面时,其正投影的长度与木棒的长度一致;(2)当木棒倾斜于投影面时,可转化为解直角三角形来求解.

解:(1)因为木棒平行于投影面,

所以A₁B₁=AB=8 cm,

即此时的影子A₁B₁的长度为8 cm.

(2)如图,过点A作AH⊥BB₂于点H.

因为AA₂⊥A₂B₂,BB₂⊥A₂B₂,

所以四边形AA₂B₂H为矩形,

所以AH=A₂B₂.

在Rt△ABH中,∠BAH=30°,AB=8 cm,

所以A₂B₂=AH=AB·cos 30°=8× =4 (cm).

即旋转后木棒的影长A₂B₂为4 cm.

14.解:如图,过点A作AH⊥BB₁于点H.依题意,得∠BAH=30°,四边形A₁B₁C₁D₁是矩形,其中A₁D₁=AD=B₁C₁=BC,A₁B₁=C₁D₁=AH.

∵AH⊥BB₁,∠BAH=30°,

∴AH=AB·cos 30°=10× =5 (cm),

∴A₁B₁=AH=5 cm.

∵A₁D₁=AD=10 cm,

∴ =A₁B₁·A₁D₁=5 ×10=50 (cm²).

则正方形ABCD的正投影的面积是50 cm².

规律总结:求投影的面积,先确定投影的形状,再根据相应的面积公式,有针对性地求出相关线段的长.

15.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD.

(2)证明:易证得△BCD∽△BAC,可得BC²=BD·AB;易证得△ACD∽△CBD,可得CD²=AD·BD.

16.解:(1)如图,设CE=x m,则AF=(20-x)m.

∵tan 32°= ,即20-x=15·tan 32°,

∴x≈11.

∵11>6,∴超市以上的居民住房的采光有影响.

(2)当tan 32°= 时,BC≈20× =32(m),

∴若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距32 m.