第二章学情评估

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数中是二次函数的是(　　)

A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝(x－2)²－x² D．y＝x(x－1)

2．抛物线y＝x²－4x＋3的对称轴是直线(　　)

A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4

3．对于二次函数y＝－(x－1)²的图象的特征，下列描述正确的是(　　)

A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上

4．将抛物线y＝x²－3向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是(　　)

A．y＝x²－1 B．y＝x²－5 C．y＝(x＋2)²－3 D．y＝(x－2)²－3

5．抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么二次函数y＝ax²＋bx＋c的表达式为(　　)

A．y＝－2x²＋4x＋5 B．y＝2x²＋4x＋5

C．y＝－2x²＋4x－1 D．y＝2x²＋4x＋3

6．当ab＞0时，函数y＝ax²与y＝ax＋b的图象大致是(　　)

7．把一个物体以初速度v₀(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的上升高度h(m)与抛出时间t(s)之间满足h＝v₀t－gt²(其中g是常数，取10 m/s²)．某时，某同学在距地面1.5 m的O点，以11 m/s的初速度向上抛出一个小球，抛出2 s时，该小球距地面的高度是(　　)

A．1.5 m B．3.5 m C．0.95 m D．－0.95 m

8．滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4 s时，滑行距离为(　　)

A．40 m B．48 m

C．56 m D．72 m

9．点A，B，C(2，y₃)都在抛物线y＝－x²＋x－m上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是(　　)

A．y₂＞y₃＞y₁ B．y₃＞y₂＞y₁

C．y₁＞y₂＞y₃ D．y₂＞y₁＞y₃

10．二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有以下结论：①b＞0；②abc＜0；③a－b＋c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤b²－4ac＞0，其中正确的结论有(　　)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

(第10题)　　　　 (第15题)

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如果抛物线y＝(a－3)x²－2有最低点，那么a的取值范围是________．

12．请写出一个与y轴交点为(0，3)，对称轴为直线x＝－2的抛物线的表达式：____________________．

13．若抛物线y＝x²＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．

14．用长20 m的篱笆围成一个矩形，则矩形的面积y(m²)与它的一边长x(m)之间的函数关系式是____________，自变量x的取值范围是____________．

15．如图，将函数y＝(x－2)²＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若阴影部分的面积为9，则新图象所对应的函数表达式是____________________．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16．(7分)一个二次函数的图象经过(－1，0)，(0，6)，(3，0)三点，求这个二次函数的表达式．

17．(8分)已知二次函数y＝2x²－4x－6.

(1)将y＝2x²－4x－6化成y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

(3)结合图象可知：当－1≤x≤2时，y的取值范围为____________．

18．(8分)如图，抛物线y＝(x＋2)²＋m与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数y＝kx＋b的图象与该抛物线交于点A(－1，0)和点B.

(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；

(2)根据图象，写出满足(x＋2)²＋m≥kx＋b的x的取值范围．

19．(8分)漪汾桥是太原首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线形状．如图，单个桥拱在桥面上的跨度为OA＝60米，在水面的跨度为BC＝80米，桥面距水面的垂直距离为OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求单个桥拱所在抛物线的表达式；

(2)求桥拱最高点到水面的距离．

20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，设P，Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A以2 cm/s的速度沿AB方向向点B移动，同时点Q自点B以1 cm/s的速度沿BC方向向点C移动．当点P到达点B时，点Q就停止移动，设P，Q移动的时间为t s.

(1)求出△PBQ的面积S(cm²)与时间t(s)之间的函数表达式，并写出t的取值范围．

(2)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

　

21．(10分)某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了30场产品促销会．已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y(台)．在销售过程中获得以下信息：

信息1：销售量y(台)与销售场次x(场)之间满足关系式y＝－x＋50；

信息2：每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场次x(场)成正比．经统计后得到如下数据：

x(场)	3	10
p(万元)	10.6	12

(1)求每场的基本价及p与x之间的函数关系式．

(2)在这30场产品促销会上，哪一场获得的利润最大？并求出最大利润．

2 2．(12分)下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点，与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根，因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．

下面根据抛物线的顶点坐标和一元二次方程根的判别式Δ＝b²－4ac，分别对a>0和a<0两种情况进行分析：

( 1)当a>0时，抛物线开口向上．

①当Δ＝b²－4ac>0时，有4ac－b²<0，

∴<0，

∴顶点在x轴的下方，即抛物线与x轴有两个交点(如图①)，

∴一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；

②当Δ＝b²－4ac＝0时，有4ac－b²＝0，∴＝0，

∴顶点在x轴上，即抛物线与x轴有一个交点(如图②)，

∴一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；

③当Δ＝b²－4ac<0时，

……

(2)当a<0时，抛物线开口向下．

……

任务：

(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是________(多选)；

A．数形结合思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．转化思想

(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，将③补充完整，并画出相应的示意图；

(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学中还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例：_________________________________________________.

23．(12分)如图①，抛物线y＝－x²＋x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D在第一象限内的抛物线上．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；

(2)若S_△COD＝S_△OBD，求出点D的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，连接BC交OD于点E.则BC是否平分线段OD？请说明理由．

答案

一、1.D　2.B　3.D　4.C　5.B

6．A　7.B　8.B　9.A　10.C

二、11.a＞3　

12．y＝x²＋4x＋3(答案不唯一)　13.1　

14．y＝－x²＋10x；0＜x＜10

15．y＝(x－2)²＋4　点拨：∵函数y＝(x－2)²＋1的图象过点A(1，m)，B(4，n)，

∴m＝×(1－2)²＋1＝，n＝×(4－2)²＋1＝3，∴A，B(4，3)．

过点A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C，

∴AC＝4－1＝3.

∵阴影部分的面积为9，∴易知AC·AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3.

即将函数y＝(x－2)²＋1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图象，

∴新图象所对应的函数表达式是y＝(x－2)²＋4.

三、16.解：由题可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将(0，6)代入，得－3a＝6，解得a＝－2，

所以这个二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x²＋4x＋6.

17．解：(1)y＝2x²－4x－6＝2(x－1)²－8.

(2)如图．

(3)－8≤y≤0

18．解：(1)将(－1，0)代入y＝(x＋2)²＋m，得0＝1＋m，

解得m＝－1，

∴y＝(x＋2)²－1，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标为(0，3)，

∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，且其对称轴为直线x＝－2，

∴点B的坐标为(－4，3)．

(2)∵点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(－4，3)，

∴由图象可知，(x＋2)²＋m≥kx＋b时，x≤－4或x≥－1.

19．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax²＋bx，

由题易得B(－10，－7)，抛物线的对称轴为直线x＝30，

∴解得

故单个桥拱所在抛物线的表达式是y＝－0.01x²＋0.6x.

(2)∵y＝－0.01x²＋0.6x＝－0.01(x－30)²＋9，

∴当x＝30时，y取得最大值9.

9＋7＝16(米)，

故桥拱最高点到水面的距离是16米．

20．解：(1)由题意得AB＝＝＝10(cm)，

BQ＝t cm，BP＝(10－2t)cm.

如图①，过点P作PH⊥BC于点H.

∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴AC∥PH，

∴△BPH∽△BAC，∴＝，

∴＝，

∴PH＝cm.

∴S＝BQ·PH＝t＝－t²＋3t(0＜t＜5)．

(2)当△PBQ为等腰三角形时，可分以下3种情况：

当BP＝BQ时，10－2t＝t，解得t＝；

当BQ＝PQ时，如图②，作QE⊥AB于点E，

则BE＝BP＝(5－t)cm.

∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，

∴△BQE∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得t＝；

当BP＝PQ时，如图③，作PF⊥BC于点F，

则BF＝BQ＝t cm.

∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，

∴△BPF∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得t＝.

综上，当t＝或或时，△PBQ为等腰三角形．

21．解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b，

则解得

∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30，且x为整数)．

(2)设每场获得的利润为w万元，根据题意，

得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x²＋10x＝－0.2(x－25)²＋125，

∵－0.2＜0，

∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125，

故第25场的利润最大，最大利润为125万元．

22．解：(1)ACD

(2)③当Δ＝b²－4ac<0时，有4ac－b²>0，

∴>0，

∴顶点在x轴的上方，即抛物线与x轴无交点，如图，

∴一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．

(3)可用函数观点来认识二元一次方程组的解(答案不唯一)

23．解：(1)A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．

(2)如图①，过点D分别作DG⊥x轴，DH⊥y轴，垂足分别为点G，H.

设点D的坐标为(m>0)，

∴易知S_△DCO＝OC·DH＝×2×m，

S_△BOD＝OB·DG＝×4×，

∵S_△COD＝S_△OBD，

∴×2×m＝××4×，

解得m₁＝2，m₂＝－2(舍去)．

当m＝2时，－m²＋m＋2＝3，

∴点D的坐标为(2，3)．

(3)BC平分线段OD.理由如下：

如图②，过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q，则点Q的横坐标为2，∠OCE＝∠DQE，

设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

把点B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得解得

∴直线BC的表达式为y＝－x＋2.

把x＝2代入y＝－x＋2，得y＝1，

∴点Q(2，1)．

∴DQ＝3－1＝2.

∴DQ＝OC＝2.

又∵∠CEO＝∠QED，

∴△COE≌△QDE，

∴OE＝DE.

∴BC平分线段OD.