【332158】易错专题：二次函数的最值或函数值的范围

易错专题：二次函数的最值或函数值的范围

——类比各形式，突破给定范围求最值

类型一　没有限定自变量的范围求最值

1．二次函数y＝－x²＋2x＋4的最大值为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

2．二次函数y＝x²＋4x－3的最小值是________．

3．当k分别取0，1时，函数y＝(1－k)x²－4x＋5－k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．

类型二　限定自变量的取值范围求最值或函数值的范围

4．在二次函数y＝x²－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是【方法4②】(　　)

A．0，－4 B．0，－3 C．－3，－4 D．0，0

5 ．二次函数y＝－x²＋x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是(　　)

A．3.125

B．4

C．2

D．0

6．已知二次函数y＝2x²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　　)

A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5 C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤1

7．已知二次函数y＝－x²＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是(　　)

A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3

8．已知二次函数y＝2x²－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．

类型三　已知函数的最值，求自变量的取值或待定系数的值

9．当二次函数y＝x²＋4x＋9取最小值时，x的值为(　　)

A．－2 B．1 C．2 D．9

10．已知二次函数y＝ax²＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　)

A．3 B．－1 C．4 D．4或－1

11．★(2017·乐山中考)已知二次函数y＝x²－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是(　　)

A. B. C.或 D．－或

类型四　二次函数的实际应用问题中忽略自变量的取值范围

12．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；

(2)若平行于墙的一边长不大于14米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；【易错2】

(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．

参考答案与解析

1．C　2.－7

3．解：当k＝0时，y＝x²－4x＋5＝(x－2)²＋1，所以当k＝0时，函数有最小值1；当k＝1时，y＝－4x＋4，此时函数无最小值．

4．A　5.C　6.C　7.B

8．－≤y≤21　解析：二次函数y＝2x²－6x＋1的图象的对称轴为直线x＝.在0≤x≤5范围内，当x＝时，y取最小值，y_最小＝－.当x＝5时，y取最大值，y_最大＝21.所以当0≤x≤5时，y的取值范围是－≤y≤21.

9．A

10．C　解析：∵二次函数y＝ax²＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y_最小值＝＝2，整理得a²－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.

11．D　解析：y＝x²－2mx＝(x－m)²－m².①若m＜－1，当x＝－1时，y＝1＋2m＝－2，解得m＝－；②若m＞2，当x＝2时，y＝4－4m＝－2，解得m＝＜2(舍去)；③若－1≤m≤2，当x＝m时，y＝－m²＝－2，解得m＝或m＝－＜－1(舍去)，∴m的值为－或.故选D.

12．解：(1)根据题意得(30－2x)x＝72，解得x＝3或12.∵30－2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.

(2)设苗圃园的面积为y平方米，∴y＝x(30－2x)＝－2x²＋30x＝－2＋112.5.由题意知30－2x≤14，∴x≥8.由(1)知x≥6，∴x≥8.∵－2<0，∴当x>时，y随x的增大而减小．又∵x≥8，∴当x＝8时，y取最大值，y_最大＝－2×8²＋30×8＝112.即平行于墙的一边长为30－2×8＝14(米)时，这个苗圃园的面积最大，为112平方米．

(3)由题意得－2x²＋30x≥100，解得5≤x≤10.由(1)知x≥6，∴6≤x≤10.