【332144】苏科九下期末测试卷（3）

期末测试卷（3）

一．选择题

1．下列函数是二次函数的是（　　）

A．y=3x+1 B．y=ax²+bx+c C．y=x²+3 D．y=（x﹣1）²﹣x²

　

2．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx（a≠0）图象大致是（　　）

A． B． C． D．

　

3．如果二次函数y=ax²+bx，当x=1时，y=2；当x=﹣1时，y=4，则a，b的值是（　　）

A．a=3，b=﹣1 B．a=3，b=1 C．a=﹣3，b=1 D．a=﹣3，b=﹣1

　

4．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b²；②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

　

5．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm²，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）.则下列结论：

①AE=6cm；

②当0＜t≤10时，y= t²；

③直线NH的解析式为y=﹣5t+110；

④若△ABE与△QBP相似，则t= 秒，

其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

6．如果 =2017，则 等于（　　）

A．2017 B．﹣2017 C．2016 D．﹣2016

　

7．爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

　

8．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　）

A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2

　

9．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）

A．一定相似 B．当E是AC中点时相似C．不一定相似 D．无法判断

　

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（　　）

①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

11．如图，平面直角坐标系中，A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1），若以CD为边的三角形与△OAB位似，则这两个三角形的位似中心为（　　）

A．（0，0） B．（3，4）或（﹣6，2） C．（5，3）或（﹣7，1） D．不能确定

　

12．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（　　）

A．120m B．100m C．75m D．25m

　

二．填空题

13．为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为　 　米.

　

14．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= .

　

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则sinB的值是 .

　

16．已知α，β均为锐角，且 ，则α+β=　 　.

　

17．十二边形的内角和是　1800　度；cos35°≈　 （结果保留四个有效数字）.

　

18．如图，在Rt△ABC中，AC=2，斜边AB= ，延长AB到点D，使BD=AB，连接CD，则tan∠BCD=　 .

　

三．解答题

19． “富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图.

根据以上信息，解决下列问题：

(1) 条形统计图中“汤包”的人数是　 人　，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为　 　°；

(2) 根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？

　

20．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm.求：

(1) 单摆的长度（ ≈1.7）；

(2) 从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）.

　

21．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N.

(1) 求证：AD=BE；

(2) 求证：△ABF∽△ADB.

　

22．如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE.

(1) 求证：△BDE是直角三角形；

(2) 如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由.

　

23．如图，抛物线y= x²+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6， ）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.

(1) 求c的值及直线AC的函数表达式；

(2) 点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点.

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）.

　

24．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.

(1) 求b、c的值；

(2) 如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

(3) 如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.

　

答案

一．选择题

1．下列函数是二次函数的是（　　）

A．y=3x+1 B．y=ax²+bx+c C．y=x²+3 D．y=（x﹣1）²﹣x²

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】依据一次函数、二次函数的定义求解即可．

【解答】解：A、y=3x+1是一次函数，故A错误；

B、当a=0时，y=ax²+bx+c不是二次函数，故B错误；

C、y=x²+3是二次函数，故C正确；

D、y=（x﹣1）²﹣x²可整理为y=﹣2x+1，是一次函数，故D错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．

　

2．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx（a≠0）图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用一次函数的图象的性质确定a、b的符号，然后看二次函数是否符合即可确定正确的选项．

【解答】解：A、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b＞0，二次函数y=ax²+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故错误，不符合题意；

B、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b0，二次函数y=ax²+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故正确，符合题意；

C、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b＜0，二次函数y=ax²+bx（a≠0）中a＜0，b＞0，故错误，不符合题意；

D、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b=0，二次函数y=ax²+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故错误，不符合题意；

故选B．

【点评】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关系，难度不大．

　

3．如果二次函数y=ax²+bx，当x=1时，y=2；当x=﹣1时，y=4，则a，b的值是（　　）

A．a=3，b=﹣1 B．a=3，b=1 C．a=﹣3，b=1 D．a=﹣3，b=﹣1

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】把两组对应值分别代入y=ax²+bx得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．

【解答】解：根据题意得 ，

解得 ．

所以抛物线解析式为y=3x²﹣x．

故选A．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

　

4．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b²；②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b²﹣4ac＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3，所以②正确；

∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，

而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，

∴a+2a+c=0，

∴3a+c=0，

所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

5．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm²，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）.则下列结论：

①AE=6cm；

②当0＜t≤10时，y= t²；

③直线NH的解析式为y=﹣5t+110；

④若△ABE与△QBP相似，则t= 秒，

其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】①观察图2得出“当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；当t=14时，点P、D重合”，结合矩形的性质以及线段间的关系即可得出AE=6，即①正确；②设抛物线OM的函数解析式为y=ax²，由点M的坐标利用待定相似法即可求出结论，由此得出②成立；③通过解直角三角形求出线段AB的长度，由此可得出点H的坐标，设直线NH的解析式为y=kt+b，由点N、H点的坐标利用待定系数法即可得出直线NH的解析式，由此得出③成立；④结合①的结论可得出当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，结合③可得出△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，由此可得出④不成了．综上即可得出结论．

【解答】解：①观察图2可知：

当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；

当t=14时，点P、D重合．

∴BE=BC=10，DE=14﹣10=4，

∴AE=AD﹣DE=BC﹣DE=6，

∴①正确；

②设抛物线OM的函数解析式为y=ax²，

将点（10，40）代入y=ax²中，

得：40=100a，解得：a= ，

∴当0＜t≤10时，y= t²，②成立；

③在Rt△ABE中，∠BAE=90°，BE=10，AE=6，

∴AB= =8，

∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），

设直线NH的解析式为y=kt+b，

∴ ，解得： ，

∴直线NH的解析式为y=﹣5t+110，③成立；

④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，

△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，

∴当t= 秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．

综上可知：正确的结论有3个．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是结合函数图象逐项分析4条结论是否成立．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．

　

6．如果 =2017，则 等于（　　）

A．2017 B．﹣2017 C．2016 D．﹣2016

【考点】S1：比例的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由 =2017得到y=2017x，代入代数式即刻得到结果．

【解答】解：∵ =2017，

∴y=2017x，

∴ = =﹣2016，

故选D．

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

　

7．爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【考点】S3：黄金分割．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先求出下半身的长度，然后再根据黄金分割的定义求解．

【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，

设需要穿的高跟鞋是ycm，

则根据黄金分割的定义得： =0.618，

解得：y≈8cm．

故选C．

【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．

　

8．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　）

A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC，

∴AD：AB=DE：BC=2：3．

故选A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似图形中的对应关系．

　

9．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）

A．一定相似 B．当E是AC中点时相似C．不一定相似 D．无法判断

【考点】S8：相似三角形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．

【解答】解：连结OC，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=45°，

∵点O为AB的中点，

∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，

∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，

∴∠EOC=∠BOF，

在△COE和△BOF中，

∴△COE≌△BOF（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，

∴△OEF∽△CAB．

故选：A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

　

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（　　）

①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转的性质得出∠ABF=∠C，求出∠ABC=∠C=30°，即可判断①；根据三角形外角性质求出∠ADC=∠BAE，根据相似三角形的判定即可判断②；求出∠EAC大于30°，而∠DAE=30°，即可判断③；求出△AFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判断④．

【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠C=30°，

∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，

∴△AEC≌△AFB，

∴∠ABF=∠C=30°，

∴∠FBD=30°+30°=60°，∴①正确；

∵∠ABC=∠DAE=30°，

∴∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，

即∠ADC=∠BAE，

∵∠ABC=∠C，

∴△ABE∽△DCA，∴②正确；

∵∠C=∠ABC=∠DAE=30°，∠BAC=120°，

∴∠BAD+∠EAC=120°﹣∠DAE=90°，

∴∠ABC+∠BAD＜90°，

∴∠ADC＜90°，

∴∠DAC＞60°，

∴∠EAC＞30°，

即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；

∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，

∴AF=AE，∠EAC=∠BAF，

∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

∴∠DAB+∠BAF=90°，

即△AFD是直角三角形，

∵在△DAE中，∠ADE=∠BAC+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∠ABC=∠C，但是根据已知不能推出∠BAD=∠EAC，

∴∠ADE和∠AED不相等，

∴AD和AE不相等，

即△AFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，∴④错误；

故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．

　

11．如图，平面直角坐标系中，A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1），若以CD为边的三角形与△OAB位似，则这两个三角形的位似中心为（　　）

A．（0，0） B．（3，4）或（﹣6，2） C．（5，3）或（﹣7，1） D．不能确定

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】作AE⊥DB于E，CF⊥BD于F，分点P′是CA、DB的延长线的交点、点P是CA、DB的交点两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

【解答】解：作AE⊥DB于E，CF⊥BD于F，

则AE∥CF，

当点P′是CA、DB的延长线的交点时，

∵A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1），

∴HE=1，AE=3，BE=2，BD=10，FD=4，CF=6，EF=8，

∴ = ，即 = ，

解得，P′E=8，

∴P′H=7，

∴三角形的位似中心为（﹣7，1），

当点P是CA、DB的交点时，

同理可得，三角形的位似中心为（5，3），

故选：C．

【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握坐标与图形的关系、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

　

12．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（　　）

A．120m B．100m C．75m D．25m

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．

【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD，

∴ = ，

∴AB= = =100（米）．

则两岸间的大致距离为100米．

故选：B．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

　

二．填空题

13．为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为　 　米.

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．

【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，

则△ABE∽△CDE，

则 = ，即 = ，

解得：AB=8米．

故答案为：8．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

　

14．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= .

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据三角函数的定义可得出sinB= ，代入计算即可．

【解答】解：∵∠C=90°，

∴sinB= ，

∵AB=5，AC=4，

∴sinB= = ，

故答案为 ．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三个三角函数的定义是解题的关键．

　

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则sinB的值是 .

【考点】T3：同角三角函数的关系．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据sin²B+cos²B=1和cosB= ，即可求出答案．

【解答】解：

∵sin²B+cos²B=1，cosB= ，

∴sin²B=1﹣（ ）²= ，

∵∠B为锐角，

∴sinB= ，

故答案为 ．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin²B+cos²B=1是解此题的关键，难度适中．

　

16．已知α，β均为锐角，且 ，则α+β=　 　.

【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】先根据非负数的性质求出sinα，tanβ的值，再由特殊角的三角函数值得出α、β的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵ ，α，β均为锐角，

∴sinα﹣ =0，tanβ﹣1=0，

∴sinα= ，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

∴α+β=30°+45°=75°．

故答案为：75°．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

　

17．十二边形的内角和是　1800　度；cos35°≈　 （结果保留四个有效数字）.

【考点】T6：计算器—三角函数；L3：多边形内角与外角．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可；

利用计算器，先按35，再按cos即可求出（计算器的型号不同可能按键的顺序有所不同，要具体情况具体对待）．

【解答】解：（12﹣2）•180°=1800°；

cos35°≈0.8192．

故答案为：1800，0.8192．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与计算器的应用，是基础题．

　

18．如图，在Rt△ABC中，AC=2，斜边AB= ，延长AB到点D，使BD=AB，连接CD，则tan∠BCD=　 .

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】过点B作AC的平行线．交CD于E，由勾股定理求出BC= =3，由平行线分线段成比例定理得出CE=DE，与平行线的性质得出∠CBE=∠ACB=90°，证出BE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出BE= AC=1，再由三角函数的定义即可得出结果．

【解答】解：过点B作AC的平行线．交CD于E，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=2，斜边AB= ，

∴BC= =3，

∵BE∥AC，BD=AB，

∴CE=DE，∠CBE=∠ACB=90°，

∴BE是△ACD的中位线，

∴BE= AC=1，

∴tan∠BCD= = ；

故答案为： ．

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三角函数等知识；通过作辅助线得出BE是三角形的中位线是解决问题的关键．

　

三．解答题

19． “富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图.

根据以上信息，解决下列问题：

(1) 条形统计图中“汤包”的人数是　 人　，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为　 　°；

(2) 根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 由喜欢“其他”的人数除以所占的百分比即可求出调查的总人数；由喜欢“汤包”所占的百分比乘以总人数求出“汤包”的人数；由喜欢“蟹黄包”的人数除以调查的总人数即可得到所占的百分比，再乘以360即可求出结果；

(2) 用顾客中喜欢“汤包”所占的百分比，乘以1000即可得到结果．

【解答】解：(1) 8÷5%=160（人），

160×30%=48（人），

32÷160×360°

=0.2×360°

=72°．

故条形统计图中“汤包”的人数是48人，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为72°；

(2) 30%×1000=300（人）．

故估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有300人．

故答案为：48人，72．

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

　

20．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm.求：

(1) 单摆的长度（ ≈1.7）；

(2) 从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）.

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；O4：轨迹．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 作AP⊥OC、BQ⊥OC，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，根据三角函数得OP=OAcos∠AOP= x、OQ=OBcos∠BOQ= x，由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程，解之可得；

(2) 由(1) 知∠AOB=90°、OA=OB=7+7 ，利用弧长公式求解可得．

【解答】解：(1) 如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，

∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，

∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，

设OA=OB=x，

则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP= x，

在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ= x，

由PQ=OQ﹣OP可得 x﹣ x=7，

解得：x=7+7 ≈18.9（cm），

答：单摆的长度约为18.9cm；

(2) 由(1) 知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7 ，

∴∠AOB=90°，

则从点A摆动到点B经过的路径长为 ≈29.295，

答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意构建直角三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关键．

　

21．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N.

(1) 求证：AD=BE；

(2) 求证：△ABF∽△ADB.

【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 利用等边三角形的性质证明△BCE≌△ACD，就可以得出结论；

(2) 由△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，根据三角形的内角和定理可知：∠AFB=60°=∠ABC，并由公共角∠BAF=∠BAD，得△ABF∽△ADB．

【解答】证明：(1) ∵△ABC与△DCE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．

∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，

即∠BCE=∠ACD．

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴AD=BE；

(2) 由(1) 知：△BCE≌△ACD，

∴∠CBE=∠CAD，

又∵∠BMC=∠AMF，

∴∠AFB=∠ACB=60°=∠ABC，

又∵∠BAF=∠BAD，

∴△ABF∽△ADB．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形和相似三角形的判定和性质的运用．线段相等问题常常运用全等解决．

　

22．如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE.

(1) 求证：△BDE是直角三角形；

(2) 如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由.

【考点】S8：相似三角形的判定；L5：平行四边形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 由平行四边形ABCD 对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

(2) 利用两角法证得△BDE与△DCE相似．

【解答】(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∵OE=OB，

∴OE=OD，

∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，

∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，

∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，

∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

(2) 解：△BDE与△DCE相似．

∵OE⊥CD，

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵∠OBE=∠OEB，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DCE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定．熟知两组对应角相等的两个三角形相似是解答此题的关键．

　

23．如图，抛物线y= x²+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6， ）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.

(1) 求c的值及直线AC的函数表达式；

(2) 点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点.

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；

(2) ①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；

②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．

【解答】解：

(1) 把C点坐标代入抛物线解析式可得 =9+ +c，解得c=﹣3，

∴抛物线解析式为y= x²+ x﹣3，

令y=0可得 x²+ x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，

∴A（﹣4，0），

设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），

把A、C坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线AC的函数表达式为y= x+3；

(2) ①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，在RtAOD中，tan∠OAD= = ，

∴∠OAB=∠OAD，

∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，

∴OM=MP，

∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，

∴∠APM=∠AON，

∴△APM∽△AON；

②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，

∵点M的横坐标为m，

∴AE=m+4，AP=2m+4，

∵tan∠OAD= ，

∴cos∠EAM=cos∠OAD= ，

∴ = ，

∴AM= AE= ，

∵△APM∽△AON，

∴ = ，即 = ，

∴AN= ．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在(1) 中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在(2) ①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在(2) ②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

　

24．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.

(1) 求b、c的值；

(2) 如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

(3) 如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；

(2) 可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；

(3) 设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，

【解答】解：

(1) ∵CD∥x轴，CD=2，

∴抛物线对称轴为x=1．

∴ ．

∵OB=OC，C（0，c），

∴B点的坐标为（﹣c，0），

∴0=c²+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），

∴c=﹣3；

(2) 设点F的坐标为（0，m）．

∵对称轴为直线x=1，

∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由(1) 可知抛物线解析式为y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．

∵点F在BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；

(3) 存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n²+2n+3．

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△_PQN=S_△APM，

∴ ，

∴QR=1．

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n²﹣4n），R点的坐标为（n，n²﹣4n），N点的坐标为（n，n²﹣2n﹣3）．

∴在Rt△QRN中，NQ²=1+（2n﹣3）²，

∴ 时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为 ；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+11，n²﹣4）．

同理，NQ²=1+（2n﹣1）²，

∴ 时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为 ．

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为 或 ．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1) 中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在(2) 中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在(3) 中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．