【332139】思想方法专题：相交线、平行线与平移中的思想方法

思想方法专题：相交线、平行线与平移中的思想方法

——明确解题思想，体会便捷渠道　　　　　　

类型一　方程思想

1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．

2．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．

3．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.

(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；

(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．

类型二　分类讨论思想

4．在同一平面内，三条直线的交点个数是________．

5．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB.若PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是________________．

6．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，画出图形，并求∠BOC的度数．

7．★如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃交l₁于C点，交l₂于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．

类型三　(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积

8．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．

第8题图　 第9题图

9．如图，直径为2cm的圆O₁平移3cm到圆O₂的位置，则图中阴影部分的面积为________cm².

10．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．

11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.

(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；

(2)求四边形AEFC的周长．

类型四　从特殊到一般的思想

12．如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．

13．如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：

(1)如图①，∠1＋∠2＝________；

(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；

(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；

(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝____________．

14．★如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F.

(1)如图①，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；

(2)如图②，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系，并说明理由；

(3)若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，直接用含有n，m°的代数式表示∠M＝________．

参考答案与解析

1．120°

2．解：设∠α＝2x°，则∠D＝3x°，∠B＝4x°.因为FC∥AB∥DE，所以∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°，所以∠2＝180°－∠B＝180°－4x°，∠1＝180°－∠D＝180°－3x°.又因为∠1＋∠2＋∠α＝180°，所以(180－3x)＋(180－4x)＋2x＝180，解得x＝36，所以∠α＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°.

3．解：(1)因为BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，所以∠EBC＝2∠DBC＝60°.因为BE平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠EBC＝120°.因为AD∥BC，所以∠A＋∠ABC＝180°，所以∠A＝60°.

(2)存在∠DFB＝∠DBF.理由如下：设∠DBC＝x°，则∠EBC＝2x°，∠ABC＝2∠EBC＝4x°.因为7∠DBC－2∠ABF＝180°，所以7x°－2∠ABF＝180°，所以∠ABF＝°，所以∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝°，∠DBF＝∠CBF－∠DBC＝°.因为AD∥BC，所以∠DFB＋∠CBF＝180°，所以∠DFB＝°，所以∠DFB＝∠DBF.

4．0或1或2或3　解析：如图，有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)．

5．50°或130°　解析：分两种情况：(1)如图①，因为PA⊥PB，∠MPA＝40°，所以∠NPB＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，因为PA⊥PB，∠MPA＝40°，所以∠MPB＝50°，所以∠NPB＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB的度数是50°或130°.

6. 解：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°.因为∠AOB∶∠AOC＝2∶3，所以∠AOB＝60°.如图，∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，另一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°－60°＝30°；②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°＋60°＝150°.综上所述，∠BOC的度数为30°或150°.

7.解：分以下三种情况：(1)当点P在线段CD上运动时，如图①.过点P向左作PE∥l.因为l₁∥l₂，所以PE∥l₂.所以∠APE＝∠1，∠BPE＝∠3，所以∠2＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠3.

(2)当点P在l₁上方运动时，如图②，过点P向左作PF∥l₂.因为l₂∥l₁，所以PF∥l₁.所以∠FPB＝∠3，∠FPA＝∠1，所以∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1.

(3)当点P在l₂下方运动时，如图③，过点P向左作PM∥l₂.因为l₁∥l₂，所以PM∥l₁，所以∠APM＝∠1，∠BPM＝∠3，所以∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3.

8．100　9.6　10.24cm²

11．解：(1)因为三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，所以AD＝BE＝CF，EF＝BC＝3cm.因为AE＝8cm，DB＝2cm，所以AD＝BE＝CF＝＝3(cm)．

(2)四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．

12．6　24

13．(1)180°　(2)360°

(3)540°　解析：过点E，F向右作EG，FH平行于AB.因为AB∥CD，所以AB∥EG∥FH∥CD，所以∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.

(4)180°(n－1)　解析：易知有n个角，需作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°(n－1)．

14．解：(1)如图，过点E向左作EG∥AB，过点F向右作FH∥AB.因为AB∥CD，所以EG∥AB∥FH∥CD，所以∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°，所以∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°.因为∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°，所以∠ABE＋∠CDE＝280°.因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，所以∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，所以∠ABF＋∠CDF＝(∠ABE＋∠CDE)＝140°，所以∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°.

(2)6∠M＋∠E＝360°.理由如下：因为∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，所以∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM.因为∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F，所以∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，所以6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°.过点M向右作MN∥AB，易证∠M＝∠ABM＋∠CDM，所以6∠M＋∠E＝360°.

(3)　解析：由(2)可得，2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠E＝360°，∠M＝∠ABM＋∠CDM，所以∠M＝.故答案为.