【332160】圆 综合练习题 教师版 含答案

圆 综合练习题

一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）

1. 如图， 为⊙O的直径， 为弦， ， 交 于 ， ， ．

（1）求证： ，并求 的长；

（ 2）延长 到 ，使 ，连接 ，判断直线 与⊙O的位置关系，并说明理由.

1．解： ， .

， ．

又 ，

．　　 ．

．

（舍负）．　　

（2）直线 与 相切．　　

连接 ． 为 的直径， ．

在 中，由勾股定理，得 ．

．

， ．

（或 ， 是等边三角形， ．

， ．）

． ⊥ ．

又 点A在圆上， 直线 与 相切．

2 . 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

2．（1）证明：连接DO.

∵ 是等边三角形 ，∴∠C=60°，∠A=60°，

∵OA=OD， ∴ 是等边三角形. ∴∠ADO =60°.

∵DF⊥BC ，∴∠CDF =30°.

∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.∴DF为⊙O的切线.

（2）∵ 是等边三角形，∴CD=AD=AO= AB=2.

Rt 中，∠CDF =30°，∴CF= CD=1. ∴DF= .

（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴ .

∵ ，∴ .

∴ ．

∴ ．

∴ ．

3、如图，已知圆O的直径 垂直于弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且 ．

（ 1）请证明： 是 的中点；

（2）若 ，求 的长．

3、（1）证明：连接 ，如图

， 且 过圆心

， ， 是等边三角形．

在 中， ， 点 为 的中点

（2）解：在 中 ，

又 ，

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作 交PQ于点D．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（ 2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

4 ． （1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.

∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，

∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.

（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC= ，BC= .

∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC= .

∵AQ=AC+CQ=1+ ，AP= ，

∴BP=AB－AP= PO=AP－AO= ，

∴BP∶PO= .

5 ． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为 的中点.

（1）求证：AC是半圆O的切线；

（2）若 ，求 的长．

5.解：（1）连接OE, ∵E为 的中点，∴ ． ∴ .

∵ ，∴ .∴ .∴OE∥BC.

∵BC⊥AC， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO=∠C=90°. 即OE⊥AC.

又OE为半圆O的半径，∴ AC是半圆O的切线.

（2）设 的半径为 ，

∵ ，∴ . ∴ . ∴ .

∵OE∥BC，∴ .∴ . 即 ∴ .

6.如图， 内接于⊙O，过点 的直线交⊙O于点 ，交 的延长线于点 ，且AB²=AP·AD

（
1）求证： ；

（2）如果 ，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.

6 .解：（1）证明：联结BP．

∵　AB²=AP·AD ，∴　=．

∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB，

∴ ∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，

∴ ∠ABC=∠ACB．∴ AB=AC.

（2）由（1）知AB=AC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，

∴∠BAP=90°， ∴　BP是⊙O的直径， ∴　BP=2， ∴ AP=BP=1，

在Rt△PAB中，由勾股定理得　AB²= BP²－AP²=3，　∴ AD==3．

7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过

点D.

（ 1）求证： BC是⊙O切线；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.

7 .（1）证明: 如图1，连接OD.

∵ OA=OD, AD平分∠BAC,

∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD.

∴ ∠ODA=∠CAD.

∴ OD//AC.

∴ ∠ODB=∠C=90.

∴ BC是⊙O的切线. 图1

（ 2）解法一: 如图2，过D作DE⊥AB于E.

∴ ∠AED=∠C=90.

又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,

∴ △AED≌△ACD.

∴ AE=AC, DE=DC=3.

在Rt△BED中，∠BED =90,由勾股定理，得

BE= . 图2

设AC=x（x>0）, 则AE=x.

在Rt△ABC中，∠C=90, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得x² +8²= (x+4) ².

解得x=6. 即 AC=6.

解 法二: 如图3，延长AC到E，使得AE=AB.

∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD,

∴ △AED≌△ABD.

∴ ED=BD=5.

在Rt△DCE中，∠DCE=90, 由勾股定理，得

CE= . ………… ……………5分 图3

在Rt△ABC中，∠ACB=90, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得 AC² +BC²= AB ².

即 AC² +8²=(AC+4) ².解得 AC=6.

8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.

（ 1）求证：∠ACO=∠BCD；

（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.

8、证明：（1）连结BD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴ ． ∴∠A=∠2．

又∵OA=OC，∴∠1=∠A．

∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．

解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.

∴△ACE∽△CBE．

∴ ∴CE²=BE·AE．

又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．

∴AC=

9 ．如图，已知 为⊙ 的直径，点 、 在⊙ 上， ，垂足为 ， 交 于 ，且 ．

（1）求证： ；

（2）如果 ， ，求 的长．

9．解：（1）延长AD与⊙O交于点G．

∵ 直径BC⊥弦AG于点D，

∴ ．

∴ ∠AFB=∠BAE．

∵ AE=BE，∴ ∠ABE=∠BAE．

∴ ∠ABE=∠AFB． ∴ AB=AF．

（2）在Rt△EDB中，sin∠FBC= ．

设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD=4x．

在Rt△ADB中，由勾股定理得BD²+AD²=AB²．

∵ AB=4 ，∴ ．

∴ x=1（负舍）．∴ AD=8x=8．

1 0．如图，已知直径与等边 的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。

1. 求证： ；

2. 若 的边长为a，求 的面积.

10. (1) 是等边三角形, , ,

AB、BC是圆O的切线，D、E是切点， BD=BE.

, ,有DE//AC.

(2)分别连结OD、OE,作EH AC于点H.

AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，

，OD=OE，AD=EC.

,有AO=OC= .

圆O的直径等于 的高,得半径OG= , CG=OC+OG= + .

, ,EH= .

CG EH = ( + )· ,

= .

11．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．

（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；

（ 2）若∠A＝30°，AP= ，求⊙O半径的长.

1 1、解：（1）直线PQ与⊙O相切.

连结OP、CP.

∵ BC是⊙O的直径，∴ ∠BPC＝90° .

又∵ Q是AC的中点，∴ PQ=CQ=AQ .

∴ ∠3＝∠4.

∵ ∠BCA =90°，∴ ∠2+∠4=90°.

∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠3=90°.

即 ∠OPQ=90°.

∴ 直线PQ与⊙O相切.

（2）∵ ∠A＝30°，AP= ，

∴ 在Rt△APC中，可求AC=4.

∴ 在Rt△ABC中，可求BC= .

∴ BO= . ∴⊙O半径的长为 .

12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点， ，

若点P是⊙O上的一个动点,且∠ ,AB= 时，求△APC的面积的最大值．

12、解:连结OA.

由C是OB的中点,且 ,可证得 ∠OAB=90°.　

则 ∠O=60°. 可求得OA=AC=2.

过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．

则 P(F)E是△PAC的AC边上的最大的高.

在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°,

解得 . 所以 .

故 .

即 .

1 3．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙ 交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙ 的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.

（1）求证：EF⊥AB；

（2）求cos∠F的值.

1 3. 证明：

（1）联结OD

∵OC=OD ∴∠ODC=∠OCD

又∵AB=AC ∴∠OCD=∠B

∴∠ODC=∠B ∴OD∥AB

∵ED是⊙ 的切线，OD是⊙ 的半径

∴OD⊥EF ∴AB⊥EF

（2）联结AD、CG

∵ AD是⊙ 的直径

∴∠ADC=∠AGC=90°

∵AB⊥EF ∴DE∥CG

∴∠F=∠GCA

∵AB=AC ∴DC= BC=5

Rt△ADC中，

∵AD BC=AB CG

∴CG=

Rt△CGA中，cos∠GCA=

∴cos∠F=

14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.

(1)若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.

求 证: ⊙O与AE相切；

(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，

且AF=3，求 的弧长.

14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC.

根据题意,∠OCA=90°.

在△ABO与△ACO中,

AB=AC,OA=OA,OB=OC,

所以 △ABO≌△ACO.

所以 ∠OCA=∠OBA =90°. 则 AE是圆的切线.

(2)因∠OCA=∠OBA =90°, 且 ∠EAD=∠FAG =30°,

则 ∠BAC =120°.

又 ,∠OAC =60°, 故 .

所以 的长为 .

二、圆与相似综合

15．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，

O C交AB于E.

（1）求∠D的度数；

（2）求证： ；

（3）求 的值.

1 5．（1）解：如图3，连结OB.

∵ ⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，

∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.

∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°.

∵ AD∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°.

（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，

∴ ∠BAC =∠D .

∵ AD∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC .

∴ △ACE ∽△DAC ．

∴ ． ∴ ．

（ 3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA .

∵ AD∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.

∵ ∠ABC =15°，

∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.

∵ OA = OB ，

∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.

∴ .

∵ AD∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ．

∴ ．∴ ，即 的值为2.

解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM= ，OM= ， ， ，BE= ，AE= ，所以 .

16．如图⑴，⊙O的直径为 ，过半径 的中点 作弦 ，在 上取一点 ，分别作直线 ，交直线 于点 .

⑴求 和 的度数；

 ⑵求证： ∽ ；

 ⑶如图⑵，若将垂足 改取为半径 上任意一点，点 改取在 上，仍作直线 ，分别交直线 于点 .试判断：此时是否仍有 ∽ 成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。

（1） （第16题） （2）

16．解：（1）∵AB为直径， ，∴ ， .

在 中，∵ ，∴ .∴ .

又∵ ,

∴ .

（2）证明：∵ ,∴ .

在 和 中， ，

∴ ≌ .∴ .

又∵ ，∴ .

∴ ∽

（3）结论仍成立. 证明如下：

∵ ，

又∵ ，

∴ .

∵AB为直径， ，

在 和 中，

，

∴ ≌ .

∴ . ∴ ∽ .

三、圆与三角函数综合

17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于 轴对称，过H作⊙O的切线交 轴于点A（如图1）。

⑴求⊙O半径；

⑵求 的值；

⑶如图2，设⊙O与 轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交 轴于点G，若 是以EF为底的等腰三角形，试探索 的大小怎样变化？请说明理由。

图1 图2

17．(1)点 在⊙O上， ∴ ⊙O的半径 。

（2）如图1，联结HD交OA于Q，则HD⊥OA。联结OH，则OH⊥AH。

∴ ∠HAO=∠OHQ。 ∴ 。

（3）如图2，设点D关于 轴的对称点为H，联结HD交OP于Q，则HD⊥OP。

又DE=DF， ∴ DH平分∠BDC。

∴ 。 ∴ 联结OH，则OH⊥BC。

图1 图2

∴ ∠CGO=∠OHQ。

∴

四、圆与二次函数（或坐标系）综合

18、如图，⊙M的圆心在 轴上，与坐标轴交于A（0， ）、B（－1，0），抛物线 经过A、B两点．

1. 求抛物线的函数解析式；

2. 设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M 的位置关系，并说明理由；

3. 若 ⊙M与 轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

18．解：（1）∵抛物线经过点A、B，

∴ 解得 ∴

（2）由

得 ∴顶点P的坐标为（1， ）．

在 Rt△AOM中,MA －MO =OA ,OA= ,OB=1,

MA －(MA－1) =3, ∴MA=2.

∴MB=2, MO=1,即点O的坐标为（1，0）．

∴MP= ＞2. ∴顶点P在圆外；

（３）连结OD，∵点M在抛物线的对称轴上,

∴MP∥ 轴, ∴ .

∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积.

∵在Rt△AOM中,sin∠AMO= ,∴∠AMO=60°.

∴封闭图形PABD的面积=

19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

19．解： （ 1）作CH⊥x轴，H为垂足．

∵ CH=1，半径CB=2，

∴ ∠HBC=30°．

∴ ∠BCH=60°．

∴ ∠ACB=120°．

（2）∵ CH=1，半径CB=2，

∴ ，故 ， ．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点 的坐标为（1，3）．

设抛物线解析式为 ，把点 代入解析式，

解得 ．所以 ．

（4）假设存在点 使线段 与 互相平分，则四边形 是平行四边形．

所 以， 且 ．

∵ 轴，_∴ 点 在 轴上．

∵ ，∴ ，即 ．

∵ 满足 ，

∴ 点 在抛物线上．

∴ 存在 使线段 与 互相平分．

20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙ 与 轴交于 两点，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过 两点，其顶点为 ．

（1）求 的值及二次函数顶点 的坐标；

（2）将二次函数 的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为 ，在经过点 和点 的直线 上是否存在一点 ，使 的周长最小，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.

20.解：（1）由题意得， (1 , 0) , (3 , 0) .

则有 解得

∴二次函数的解析式为 ．∴顶点 的坐标为（2，1）．

（2）将 平移后的抛物线解析式为 ，其顶点为 (0,0).

∵直线 经过点 （3，0）和点 （0，- 3），∴直线 的解析式为 ．

作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，

∴ ⊥直线 ，设垂足为 ，则有 ，

由题意可知， , ，

∴ ， ． ∴ .

过点 作 的垂线，垂足为 ,∴四边形 为矩形．

． ∴ ．

∴直线 的解析式为 .

的解为 ∴直线 与直线 的交点为点

五、以圆为背景的探究性问题

21．下图中, 图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：

第一次划分： 如图(2)所示，以OA的一半OA₁的长为半径画弧交OA于点A₁，交OB于点B₁，再作∠AOB的平分线，交 于点C，交 于点C₁， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA₁B₁、扇形OA₁C₁、扇形OC₁B₁；

第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC₁B₁中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC₁的一半OA₂的长为半径画弧交OC₁于点A₂，交OB₁于点B₂，再作∠B₁OC₁的平分线，交 于点D₁，交 于点D₂，可以得到扇形的总数为11个；

第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；

……

依次划分下去.

1. 根据题意, 完成右边的表格；

2. 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么?

3. 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形 （或扇形 ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S₁；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S₂；……，把第n次划分的最小扇形面积记为S_n..求 的值.

21．解：（1）

划分次数	扇形总个数
1	6
2	11
3	16
4	21
…	…
n	5n+1

（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n不存在；

（3） ．

22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作 （如图①）；

圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，

记作 （如图①）请回答下列问题：

（1）如图②，猜测 并说明理由；

（2）如图③，猜测 并说明理由.

（ 提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）

22．（1） 理由如下：

过 O点分别作

=

（2） ， 理由如下：

过O点分别作

=

23．已知：半径为R的⊙ 经过半径为r的⊙O圆心，⊙ 与⊙O交于M、N两点．

（1）如图1，连接O 交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙ 于点A、B，求 的值；

（2）若点C为⊙O上一动点.

①当点C运动到⊙ 内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙ 于A、B两点．请你探索 的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；

②当点运动到⊙ 外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙ 于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索 的值（只写出 的值，不必证明）．

23．解：（1）如图1，延长OO′交⊙O于点D，连接AD．

∵ OD是⊙O′的直径， ∴ ∠DAO=90°．

∵ AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB．

∴ ∠BCO=∠DAO=90°．

又 ∠B=∠D， ∴ △BOC∽△DOA．

∴ ． ∴ OA•OB=OC•OD=2Rr．

即OA•OB=2Rr．

（2）①答：OA•OB=2Rr不变．

理由：如图2，作⊙O′的直径OD，连接AD、OC，

∴ ∠DAO=90°．

∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ ∠BCO=90°．

∴ ∠BCO=∠DAO． 又 ∠B=∠D，

∴ △BCO∽△DAO． ∴ ．

∴ OA•OB= OC•OD =2Rr．

②答：OA•OB=2Rr不变．

画图如图3．