【323191】（安徽专版）2024春九年级数学下册 第24章 圆学情评估（新版）沪科版

第24章学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．下列天气图形符号中是中心对称图形的是(　　)

2．如果圆O的直径为8 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，那么点P与圆O的位置关系是(　　)

A．点P在圆O外 B．点P在圆O上

C．点P在圆O内 D．不能确定

3．在平面直角坐标系中，若点(2m，－5)与点(－2，2n－1)关于原点对称，则m－n的值是(　　)

A．－4 B．－2 C．3 D．－3

4．如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AB＝AD，∠AOB＝60°，则∠CDO的度数是(　　)

A．60° B．45° C．35° D．30°

(第4题)　　　 (第5题)

5．如图，将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是(　　)

A．(1，1) B．(1，2) C．(1，3) D．(1，4)

6．下列说法正确的是(　　)

A．三角形的外心到三角形三条边的距离相等

B．三点确定一个圆

C．平分弦的直径垂直于弦

D．同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等

7．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体的最大深度CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为(　　)

(第7题)

A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

8．如图，⊙O的周长为6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于(　　)

A．3 B. C. D．3

(第8题)　　　 (第9题)

9．如图，直线y＝－x＋3 与x轴、y轴分别交于A，B两点，P(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，将⊙P向上平移m个单位，当⊙P与直线AB第一次相切时，m的值是(　　)

A．2 －2 B．2 C．3 －3 D．2 －3

10．如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，D(2，1)，当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的长度的最小值为(　　)

A．2 B．10－ C．10＋ D．10－2

(第10题)　　 (第11题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＝∠COD，AB＝2，则CD＝________．

12．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是__________．

(第12题)

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝________°.

(第13题)　　　 (第14题)

14.如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C.

(1)∠C的度数是________；

(2)△ABC的最大面积是________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度数．

　(第15题)

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．

(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；

(2)画出将△A₁B₁C₁绕点C₁按顺时针方向旋转90°所得的△A₂B₂C₁.

(第16题)

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为圆周长的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，求这个圆锥的高．

18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.

(1)请判断直线AC是不是⊙O的切线，并说明理由．

(2)若CD＝2，CA＝4，求⊙O的直径．

　(第18题)

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OA为半径的圆切BC于点D，⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OD.

(1)求证：D为EF的中点；

(2)若AC＝5，BC＝12，求⊙O的直径AE的长．

　(第19题)

20．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P.

(第20题)

(1)求证：AP＝AC；

(2)若AC＝3，求PC的长．

六、(本题满分12分)

21．如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10.

(1)求此圆的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

(第21题)

七、(本题满分12分)

22．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H.

(1)求证：△HBE∽△ABC；

(2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．

　(第22题)

八、(本题满分14分)

23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若E为线段OD的中点，判断以O，A，C，E为顶点的四边形的形状并证明；

(3)求的值．

(第23题)

答案

一、1.B　2.A　3.B　4.D　5.B　6.D　7.C

8.C　点拨：设⊙O的半径为R，

∴2πR＝6π，∴R＝3.连接OC和OD，

则OC＝OD＝3.∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠COD＝＝60°，∴△OCD是等边三角形，

∴OG垂直平分CD，CD＝OC＝3，∴CG＝CD＝，

∴OG＝＝＝.

9.A　思路点睛：求出点A，B的坐标，得到OA，OB，AB的长，设⊙P平移后得到的⊙P′与直线AB相切于点E，与y轴相切于点F，连接P′E，P′F，P′A，P′B，PP′，则可知四边形PP′FO是矩形，然后利用面积法求解即可.

10.A

二、11.2　12.（4，6）　13.115

14.（1）60°　（2）

三、15.解：连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ADC＝26°，

∴∠CAB＝90°－26°＝64°.

16.解：（1）如图所示，△A₁B₁C₁即为所作，其中点C₁的坐标为（－2，－1）.

（第16题）

（2）如图所示，△A₂B₂C₁即为所作.

四、17.解：∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为圆周长的一个扇形，

∴留下的扇形的弧长为＝8π（cm）.

∵圆锥底面圆的周长等于留下的扇形弧长，

∴圆锥的底面圆的半径为＝4（cm），

∴圆锥的高为＝3（cm）.

18.解：（1）直线AC是⊙O的切线，理由如下：

如图所示，连接OA，

（第18题）

∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB＋∠OAD＝90°.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC.又∵∠CAD＝∠ABC，

∴∠OAB＝∠CAD，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.

又∵OA是半径，∴直线AC是⊙O的切线.

（2）在Rt△OAC中，由勾股定理得OC²＝AC²＋AO²，

∵CD＝2，CA＝4，∴OC＝OD＋CD＝OA＋CD＝OA＋2，

∴（OA＋2）²＝16＋OA²，∴OA＝3，

∴BD＝2OA＝6，∴⊙O的直径为6.

五、19.（1）证明：如图，连接AD，

∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ODA.∵BC与⊙O相切于点D，

∴∠ODB＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，

∴∠DAF＝∠ODA，∴∠DAE＝∠DAF，∴DE＝DF，

∴D为EF的中点.

（第19题）

（2）解：设OD＝OA＝OE＝r，

∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝＝＝13.

∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，

∴＝，∴＝，∴r＝，

∴AE＝2r＝2×＝，

∴⊙O的直径AE的长为.

20.（1）证明：如图，连接OA.

（第20题）

根据题意，得∠OAP＝90°.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.∵∠OAP＝90°，∠AOC＝120°，

∴∠P＝∠AOC－∠OAP＝120°－90°＝30°，

∴∠P＝∠OCA，∴AP＝AC.

（2）解：∵AC＝3，∴AP＝AC＝3.∵∠OAP＝90°，∠P＝30°，

∴OA＝，OP＝2 ，∴OC＝.∴PC＝OP＋OC＝3 .

六、21.解：（1）∵AD∥BC，∠ADC＝120°，

∴∠BCD＝60°，∠DAC＝∠ACB，∠B＝60°.

∵CA平分∠BCD，

∴∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝30°.

∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝90°，

∴BC是圆的直径，BC＝2AB，AB＝AD＝CD.

∵四边形ABCD的周长为10，

∴AB＝AD＝DC＝2，BC＝4.

∴此圆的半径为2.

（2）设BC的中点为O.

由（1）可知点O即为圆心，如图所示，

连接OA，OD，过点O作OE⊥AD于点E，

∵OA＝OD＝AD＝2，∴∠AOD＝60°，∠OAD＝60°，

∴OE＝OA·sin 60°＝.

∴S_阴影＝S_扇形AOD－S_△AOD＝－×2× ＝－.

（第21题）

七、22.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，

∴CA⊥AB，又∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB＝90°.

∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.

（2）解：如图，连接AF.∵AB是⊙O的直径，

∴易知∠AFB＝∠CFA＝90°.∵CF＝4，BF＝5，

∴CB＝9.∵∠C＝∠C，∠CFA＝∠CAB，∴△CAF∽△CBA，

∴＝，∴CA²＝CF·CB＝36，∴CA＝6（负值已舍去），

∴AB＝＝3 ，∴AF＝＝2 .

∵D为BF的中点，∴DF＝BD，∴∠EAF＝∠EAH.

∵EF⊥AF，EH⊥AB，

∴EF＝EH.∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AH＝AF＝2 ，

设EF＝EH＝x，在Rt△EHB中，由勾股定理得（5－x）²＝x²＋（3 －2 ）²，解得x＝2，∴EH＝2.

（第22题）

八、23.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，

∴∠ACO＋∠OCB＝90°.

∵OD∥AC，∠CBD＝∠COD，∴易得∠ACO＝∠CBD.

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，

∴OB⊥BD，∴BD为⊙O的切线.

（2）解：四边形OACE是菱形.证明：连接BE.

∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE，

∴OB＝OE＝EB，∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE＝60°.又∵OD∥AC，∴∠OAC＝60°.又∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA，∴AC＝OE.又∵AC∥OE，

∴四边形OACE是平行四边形.又∵OA＝OE，∴四边形OACE是菱形.

（3）解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＝∠OBD，∴FG∥BD.

∵OD∥AC，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

∴＝，∴FC＝.∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，

∴＝，∴FG＝，∴＝.