第三章学情评估

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知有两点O，A，且这两点间的距离OA＝6，以O为圆心，r为半径作⊙O.若使点A在⊙O内，则r的值可能是(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

2．三角形的外心是三角形的(　　)

A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD等于(　　)

A．128° B．100° C．64° D．32°

(第3题)　　　　　 (第4题)

4．某排水管的截面示意图如图所示，已知排水管的截面半径为13 cm，水面宽AB＝24 cm，则水深为(　　)

A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm

5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不成立的是(　　)

A．∠A＝∠D B.CB＝BD C．∠ACB＝90° D．∠COB＝3∠D

(第5题)　　　　　　 (第6题)　　　　　　 (第7题)

6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC＝45°，连接AO，过点O作OE⊥BC交BC于点D，交⊙O于点E.若点D是OE的中点，则∠AOE的度数为(　　)

A．120° B．135° C．140° D．150°

7．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D等于(　　)

A．20° B．30° C．40° D．50°

8．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为(　　)

A．3∶4 B.∶2 C．2∶ D．1∶2

9．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点D，交AB于点C.下列结论：①PA＝PB；②AC＝BC；③OC＝CD；④PA·AC＝PC·AO.其中正确的有(　　)

A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④

(第9题)　　　　　　　 (第10题)

10．山西传统工艺源远流长，种类丰富，其中高平珐华器、平遥推光漆和新绛澄泥砚因其高超的制作工艺、独特的文化内涵、重要的艺术价值，被誉为“山西三宝”．如图是平遥推光漆器的某部分放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积和为(　　)

A.π B．π－2 C．2π D．2π－4

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝________．

(第11题)　　　　　 (第12题)　　　　　 (第13题)

12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠A＝60°，∠C＝80°，则∠BOD的度数是________．

13．如图，⊙P的半径为2，点P在函数y＝(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为__________．

14．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠DAB＝64°，则∠C＝________．

(第14题) 　　　　 (第15题)

15．放置在直线l上的扇形AOB，先由位置①滚动(无滑动)到位置②，再由位置②滚动到位置③，如图所示．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O滚动的路径长为________．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16．(5分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．

17．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°.

(1)求证：CP是⊙O的切线；

(2)若OA＝1，求弦AC的长．

18．(8分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；

③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.

(2)在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：

①AD与⊙O的位置关系是________；

②线段AE的长为________．

19．(9分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝BC，CD交AB于点E，连接AC，BC，OD，∠BOD＝120°.

(1)求∠BEC的度数；

(2)若DF是⊙O的切线，且DF与BA的延长线交于点F，AC＝2 ，则图中阴影部分的面积为________．

　

20．(9分)景德桥是一座著名的古代石拱桥，它位于我国山西省东南部的晋城西门外．如图，拱桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，拱桥的桥拱可看成圆的一部分，若水面上升3米至EF处，求此时水面宽度EF.

　

21．(11分)下面是小安同学的日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

××年×月×日　　星期一　　晴

今天，我们学习了圆周角定理及其推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．

思考一：如图①，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上(不与点A，B重合)，则∠ACB＝90°.这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图②，已知线段AB和直线AB外一点C，且∠ACB＝90°，则点C在以AB为直径的圆上．

　

思考二：若将图②中的∠ACB改为45°，点C的位置会有怎样的特点呢？

经过不断尝试，我发现以AB为底边，构造等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径作圆，则点C在弦AB所对的优弧上．

……

任务：

(1)小安发现思考一中的新命题是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

证明：取线段AB的中点K，连接KC(如图②)，则KC是AB边上的中线．

……

(2)请根据思考二，在图③中利用尺规作出符合要求的点C.(保留作图痕迹，不写作法)

　

(3)若将图②中的∠ACB改为120°，你能确定点C的位置吗？请说明你的思路．

22．(12分)【问题情境】

如图①，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC，AC.

【探究发现】

(1)求证：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上；

【探究引申】

(2)如图②，勤奋小组继续探究，当等腰三角形AOC的对称轴经过点D时，CD与AB存在怎样的数量关系？请说明理由；

【探究规律】

(3)如图③，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当△AOC为等边三角形时，CD与AB存在的数量关系是CD＝________AB.

23．(13分)综合与探究：

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图①，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D.小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E.

请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

(1)如图②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．

①在图②中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；

②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为________；

(2)如图③，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0.点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．

答案

一、1.D　2.C　3.A　4.B　5.D

6．D　7.C　8.B　9.D　10.D

二、11.70°　12.70°　13.(4，2)　

14．26°　15.

三、16.解：∵∠A＝45°，

∴∠D＝45°.

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∴BC＝BD·sin 45°＝2×＝.

17．(1)证明：连接OC，如图．

∵OA＝OC，∠A＝30°，

∴∠ACO＝∠A＝30°.

∵CA＝CP，

∴∠A＝∠P＝30°，

∴∠ACP＝180°－∠A－∠P＝180°－30°－30°＝120°，

∴∠OCP＝∠ACP－∠ACO＝120°－30°＝90°，

∴OC⊥CP.

∵点C在⊙O上，

∴CP是⊙O的切线．

(2)解：如图，连接BC.∵OA＝OB＝1，∴AB＝2.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝1，

∴AC＝＝.

18．解：(1)如图．

(2)①相切　点拨：∵AB＝4，BC＝2，△ABC为直角三角形，∴∠BAC＝30°.

∵△ACD是等边三角形，

∴∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝30°＋60°＝90°，

∵点A在⊙O上，

∴AD与⊙O的位置关系是相切．

② 　点拨：由题易得AD＝AC＝AB·＝2 .由①知∠BAD＝90°，

∴BD＝＝2 .

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴S_△ABD＝AB·AD＝BD·AE，

∴AE＝AB·AD÷＝ .

故线段AE的长为 .

19．解：(1)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝×(180°－90°)＝45°.

∵∠BOD＝120°，

∴∠DCB＝∠BOD＝60°.

∴∠BEC＝180°－∠B－∠DCB＝180°－45°－60°＝75°.

(2)2 －

20．解：设AB所在圆的圆心为O，EF与CD交于点G，

连接OB，OC，OF，则O，C，G，D四点共线，OC⊥AB，

∴AC＝BC＝AB＝10米，

设⊙O的半径是r米，则OC＝OD－CD＝(r－4)米．

在Rt△OCB中，OB²＝OC²＋BC²，

即r²＝(r－4)²＋10²，

解得r＝14.5，

∴OF＝14.5米，OG＝14.5－4＋3＝13.5(米)，

∴易得GF＝＝2 米．

∵OD⊥EF，

∴GE＝GF，

∴EF＝2GF＝4 米．

即此时水面宽度EF为4 米．

21．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴KC＝KA＝KB＝AB.

∴点C在以AB为直径的⊙K上．

(2)如图①，点C即为所求(点C为弦AB所对的优弧上任意一点)．

　　

(3)能．如图②，先以线段AB为边构造等边三角形AOB，再作△AOB的外接圆，则点C为弦AB所对的劣弧上任意一点或外接圆的圆心．

22．(1)证明：∵DE为⊙O的切线，

∴OC⊥DE.

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA.

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上．

(2)解：CD＝AB.

理由如下：∵△AOC是等腰三角形且其对称轴经过点D，

∴DA＝DC.

∵AD⊥CE，

∴易得∠DCA＝45°.

∵DE为⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∴∠OCD＝90°，

∴∠OCA＝∠OCD－∠DCA＝45°，

∴易得∠COA＝90°.

∵∠ADC＝∠AOC＝∠OCD＝90°，

∴四边形AOCD为矩形，

∴CD＝AO，

又∵AO＝AB，

∴CD＝AB.

(3)　点拨：∵△AOC为等边三角形，∴OA＝AC，∠OCA＝60°.

∵∠OCD＝90°，∴∠ACD＝∠OCD－∠OCA＝30°，

∴在Rt△ACD中，CD＝AC.

∵AC＝OA＝AB，

∴CD＝AB.

故答案为.

23．解：(1)①如图．

②(7，0)

(2)P的坐标是(，0)．