【332142】苏科九下期末测试卷（1）

期末测试卷（1）

一．选择题

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④

　

2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）

A．y=2x² B．y=2x﹣2 C．y=ax² D．

　

3．对于二次函数y=﹣（x﹣1）²+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2

　

4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=3 x² B．y=4 x² C．y=8x² D．y=9x²

　

5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

　

6．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

　

7．矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　）

A．a=4，b= +2 B．a=4，b= ﹣2 C．a=2，b= +1 D．a=2，b= ﹣1

　

8．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）

A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变

　

9．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．

　

10．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1

　

11．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

　

12．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　）

A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元

　

二．填空题

13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　 　.

　

14．如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________.

　

15．计算：2sin60°=　 .

　

16．用科学计算器计算： +3tan56°≈　 　.结果精确到0.01）

　

17．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 .

　

18．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v₁、v₂，若回到 A、B所用时间相等，则 =　 （结果保留根号）.

　

三．解答题

19．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：

使用次数	0	1	2	3	4	5（含5次以上）
累计车费	0	0.5	0.9	a	b	1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：

使用次数	0	1	2	3	4	5
人数	5	15	10	30	25	15

(1)写出a，b的值；

(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.

　

20．小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，

sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，

sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，

sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，

sin²45°+sin²45°≈（ ）²+（ ）²=1.

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°﹣α）=1.

(1)当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°﹣α）=1是否成立；

(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.

　

21． (1)计算： ÷ ；

(2)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG.

　

22．已知抛物线C₁：y=ax²﹣4ax﹣5（a＞0）．

(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C₁一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C₁沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C₂，直接写出C₂的表达式；

(3)若(2)中抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，求a的值.

　

23．定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x²+1的勾股点的坐标.

(2)如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1， ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标.

　

24．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.

答案

一．选择题

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；

②由抛物线y=ax²+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；

③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；

④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．

【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，

∴﹣ ＞0，

∴b＞0，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵抛物线y=ax²+bx+c经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，故②正确；

③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2（a+c）+c＜0，

∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；

④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2b+b﹣a＜0，

∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）

A．y=2x² B．y=2x﹣2 C．y=ax² D．

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数的定义形如y=ax²+bx+c （a≠0）是二次函数．

【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；

B、是一次函数，故B错误；

C、a=0时，不是二次函数，故C错误；

D、a≠0时是分式方程，故D错误；

故选：A．

【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax²+bx+c （a≠0）是二次函数．

　

3．对于二次函数y=﹣（x﹣1）²+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2

【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．

【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）²+2，

可知：对称轴x=1，

开口方向向下，所以有最大值y=2，

故选（B）

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．

　

4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=3 x² B．y=4 x² C．y=8x² D．y=9x²

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；LE：正方形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】设正方形的边长为a，易证四边形ADCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用x表示出EG，从而可求出y与x之间的关系式；

【解答】解：设正方形的边长为a，

∴BC=2a，BE=a，

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴AF∥CE，

∵EG⊥AF，FH⊥CE，

∴四边形EHFG是矩形，

∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠AEG=∠BCE，

∴tan∠AEG=tan∠BCE，

∴ = ，

∴EG=2x，

∴由勾股定理可知：AE= x，

∴AB=BC=2 x，

∴CE=5x，

易证：△AEG≌△CFH，

∴AG=CH，

∴EH=EC﹣CH=4x，

∴y=EG•EC=8x²，

故选（C）

【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．

　

5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故选B．

【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．

　

6．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

【考点】S1：比例的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据等式的性质，可得答案．

【解答】解：A、两边都除以2y，得 = ，故A符合题意；

B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；

C、两边都除以2y，得 = ，故C不符合题意；

D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．

　

7．矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　）

A．a=4，b= +2 B．a=4，b= ﹣2 C．a=2，b= +1 D．a=2，b= ﹣1

【考点】S3：黄金分割；LB：矩形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．

【解答】解：∵宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，

∴ = ，

∴a=2，b= ﹣1，

故选D．

【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．

　

8．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）

A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变

【考点】S5：相似图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．

【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，

∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B′=∠B．

故选D．

【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

　

9．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】S8：相似三角形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．

D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选C．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

　

10．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1

【考点】S7：相似三角形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，

故选A

【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．

　

11．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

【考点】SC：位似变换．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．

【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，

∴△A′B′C′∽△ABC．

∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，

∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，

∴ =

故选：A．

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

　

12．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　）

A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．

【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，

∴每平方厘米的广告费为：180÷50= 元，

∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15× =1620元

故选（C）

【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．

　

二．填空题

13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　 　.

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．

【解答】解：如图 ，连接BE，

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP：DF=1：2，

∴DP=PF= CF= BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF= =2，

∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2．

故答案为：2

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．

　

14．如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________.

【考点】T1：锐角三角函数的定义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．

【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数 图象上，

∴a= =5，

∵PH⊥x轴于H，

∴PH=5，OH=12，

∴tan∠POH= ，

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

　

15．计算：2sin60°=　 .

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据特殊角的三角函数值计算．

【解答】解：2sin60°=2× = ．

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．

【相关链接】特殊角三角函数值：

sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°= ；

sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；

sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，cot60°= ．

　

16．用科学计算器计算： +3tan56°≈　 　.结果精确到0.01）

【考点】T6：计算器—三角函数；1H：近似数和有效数字；25：计算器—数的开方．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】正确使用计算器计算即可．按运算顺序进行计算．

【解答】解： +3tan56°=5.568+1.732×0.8290

≈5.568+1.436

≈7.00．

故答案为：7.00．

【点评】此题考查了使用计算器计算三角函数的有关知识，解题的关键是：正确使用计算器计算．

　

17．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 .

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC= = 、BC=OB﹣OC=2﹣ ，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO= 可得答案．

【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，

则AC=1，OA=OB=2，

∵在Rt△AOC中，OC= = = ，

∴BC=OB﹣OC=2﹣ ，

∴在Rt△ABC中，tan∠ABO= = =2+ ．

故答案是：2+ ．

【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．

　

18．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v₁、v₂，若回到 A、B所用时间相等，则 =　 （结果保留根号）.

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据 = 求解．

【解答】解：作CD⊥AB于点B．

∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，

∴CD=AC•sin∠CAD=4× =2（km），

∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，

∴BC= CD=2 （km），

∴ = = = ．

故答案是： ．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．

　

三．解答题

19．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：

使用次数	0	1	2	3	4	5（含5次以上）
累计车费	0	0.5	0.9	a	b	1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：

使用次数	0	1	2	3	4	5
人数	5	15	10	30	25	15

(1)写出a，b的值；

(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.

【考点】V5：用样本估计总体．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据收费调整情况列出算式计算即可求解；

(2)先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．

【解答】解：(1)a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；

(2)根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：

×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），

所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），

因为5500＜5800，

故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．

【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．

　

20．小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，

sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，

sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，

sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，

sin²45°+sin²45°≈（ ）²+（ ）²=1.

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°﹣α）=1.

(1)当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°﹣α）=1是否成立；

(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.

【考点】T4：互余两角三角函数的关系；T5：特殊角的三角函数值．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；

(2)设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

【解答】解1：(1)当α=30°时，

sin²α+sin²（90°﹣α）

=sin²30°+sin²60°

=（ ）²+（ ）²

= +

=1；

(2)小明的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°﹣α，

∴sin²α+sin²（90°﹣α）

=（ ）²+（ ）²

=

=

=1．

【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．

　

21． (1)计算： ÷ ；

(2)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG.

【考点】S8：相似三角形的判定；6A：分式的乘除法；LE：正方形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；

(2)先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．

【解答】(1)解：原式= •

= ；

(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BEF+∠BFE=90°，

∵∠EFG=90°，

∴∠BFE+∠CFG=90°，

∴∠BEF=∠CFG，

∴△EBF∽△FCG．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了分式的乘除法和正方形的性质．

　

22．已知抛物线C₁：y=ax²﹣4ax﹣5（a＞0）．

(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C₁一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C₁沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C₂，直接写出C₂的表达式；

(3)若(2)中抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，求a的值.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；

(2)①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；

②根据抛物线翻折理论即可解题；

(3)根据(2)中抛物线C₂解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；

【解答】解：(1)当a=1时，抛物线解析式为y=x²﹣4x﹣5=（x﹣2）²﹣9，

∴对称轴为x=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

(2)①抛物线C₁解析式为：y=ax²﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C₁一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C₁沿y=﹣5翻折，得到抛物线C₂，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C₂解析式为：y=﹣ax²+4ax﹣5，

(3)抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，

则x=2时，y=2或者﹣2；

当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

∴a= 或 ；

【点评】本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解．

　

23．定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x²+1的勾股点的坐标.

(2)如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1， ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得；

(2)作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG= 、PA=2，由tan∠PAB= = 知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；

(3)由S_△ABQ=S_△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为 ，据此求解可得．

【解答】解：(1)抛物线y=﹣x²+1的勾股点的坐标为（0，1）；

(2)抛物线y=ax²+bx过原点，即点A（0，0），

如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1， ），

∴AG=1、PG= ，PA= = =2，

∵tan∠PAB= = ，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB= = =4，

∴点B坐标为（4，0），

设y=ax（x﹣4），

将点P（1， ）代入得：a=﹣ ，

∴y=﹣ x（x﹣4）=﹣ x²+ x；

(3)①当点Q在x轴上方时，由S_△ABQ=S_△ABP知点Q的纵坐标为 ，

则有﹣ x²+ x= ，

解得：x₁=3，x₂=1（不符合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（3， ）；

②当点Q在x轴下方时，由S_△ABQ=S_△ABP知点Q的纵坐标为﹣ ，

则有﹣ x²+ x=﹣ ，

解得：x₁=2+ ，x₂=2﹣ ，

∴点Q的坐标为（2+ ，﹣ ）或（2﹣ ，﹣ ）；

综上，满足条件的点Q有3个：（3， ）或（2+ ，﹣ ）或（2﹣ ，﹣ ）．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．

　

24．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°= = ，进而得出答案．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠β=45°，∠ADC=90°，

∴AD=DC，

设AD=DC=xm，

则tan30°= = ，

解得：x=50（ +1），

答：河的宽度为50（ +1）m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．