中考模拟卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．－5的绝对值是( )
A．－5 B．5 C．±5 D．－
2．计算2a2＋a2，结果正确的是( )
A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2
3．如图所示的工件，其俯视图是( )
4．C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为( )
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
5．不等式组的解集在数轴上表示为( )
6．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
第6题图 第7题图
7．某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论错误的是( )
A．样本中位数是200元
B．样本容量是20
C．该企业员工捐款金额的平均数是180元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
8．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入为200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为( )
A．200(1＋2x)＝1000 B．200(1＋x)2＝1000
C．200(1＋x2)＝1000 D．200＋2x＝1000
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为( )
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为( )
A．2 B. C．2 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．16的算术平方根是________．
12．分解因式：2x2－8y2＝__________________.
13．如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝，则劣弧AD 的长为________．
第13题图 第14题图
14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝________________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：2－1＋·tan30°－－(2018－π)0.
16．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问笼中各有几只鸡和兔？
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．科技改变生活，手机导航给人们的出行带来了极大的方便．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
18．如图，在边长均为1的正方形网格中有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：
(1)将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1(不写作法，但要标出字母)；
(2)将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2(不写作法，但要标出字母)；
(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长l.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图①倒置后与原图①拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1＋2＋3＋…＋n＝.
如果图③和图④中的圆圈都有13层．
(1)我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；
(2)我们自上往下，在图④的每个圆圈中填上一串连续的整数－23，－22，－21，－20，…，则最底层最右边这个圆圈中的数是________；
(3)求图④中所有圆圈中各数之和(写出计算过程)．
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
六、(本题满分12分)
21．“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统．某小学为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图(图①)和扇形统计图(图②)．
(1)四个年级被调查人数的中位数是多少？
(2)如果把“天天做”“经常做”“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校三至六年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？
(3)在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
七、(本题满分12分)
22．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 |
A |
B |
C |
D |
E |
x(千米) |
8 |
9 |
10 |
11.5 |
13 |
y1(分钟) |
18 |
20 |
22 |
25 |
28 |
(1)求y1关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间y2(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
八、(本题满分14分)
23．已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC·CE.
(2)如图②，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．
参考答案与解析
1．B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.B
9．D 解析：观察二次函数图象可知开口方向向上，对称轴直线x＝－＞0，当x＝1时y＝a＋b＋c＜0，∴a>0，b<0，∴一次函数y＝bx＋a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在第二、四象限，只有D选项图象符合．故选D.
D 解析：设BE＝x，则DE＝3x.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°.∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠BEA＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即AE2＝3x2，∴AE＝x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2＋DE2，即62＝(x)2＋(3x)2，解得x＝，∴AE＝3，DE＝3.如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A＝2AE＝6，A′D＝AD＝6，∴△AA′D是等边三角形．∵AP＝A′P，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ，∴当A′，P，Q三点在一条线上时，AP＋PQ的值最小．由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，AP＋PQ的值最小，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3.故选D.
11．4 12.2(x＋2y)(x－2y) 13.
14．4＋2或2＋ 解析：如图①，当四边形ABCE为平行四边形时，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T.∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，∴∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°.设BT＝x，则CN＝x，BC＝EC＝2x.∵四边形ABCE面积为2，∴EC·BT＝2，即2x×x＝2，解得x＝1，∴AE＝EC＝2，EN＝＝，∴AN＝AE＋EN＝2＋，∴CD＝AD＝2AN＝4＋2.
如图②，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠ADB＝15°，∴∠AEB＝30°.设AB＝y，则DE＝BE＝2y，AE＝y.∵四边形BEDF的面积为2，∴AB·DE＝2，即2y2＝2，解得y＝1，∴AE＝，DE＝2，∴AD＝AE＋DE＝2＋.综上所述，CD的值为4＋2或2＋.
15．解：原式＝＋1－2－1＝－.(8分)
16．解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意得(4分)解得(7分)
答：笼中有鸡23只，兔12只．(8分)
17．解：过点B作BD⊥AC于点D.(1分)在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，∴BD＝AB·sin∠BAD＝4sin60°＝4×＝2(千米)．(4分)由题意得∠C＝45°，∴在Rt△BCD中，BC＝＝＝2(千米)．(7分)
答：B，C两地的距离是2千米．(8分)
18．解：(1)△A1B1C1如图所示．(3分)
(2)△A2B2C2如图所示．(6分)
(3)l＝＝4π.(8分)
19．解：(1)79(3分)
(2)67(6分)
(3)图④中共有91个数，分别为－23，－22，－21，…，66，67，所以图④中所有圆圈中各数的和为(－23)＋(－22)＋…＋(－1)＋0＋1＋2＋…＋67＝－(1＋2＋3＋…＋23)＋(1＋2＋3＋…＋67)＝－＋＝2002.(10分)
20．证明：(1)由圆周角定理的推论1得∠B＝∠E.又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形．(5分)
(2)过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.(6分)∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又∵AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.(10分)
21．解：(1)中位数为(45＋55)＝50.(3分)
(2)3000×(1－25%)＝2250(人)．(5分)
答：该校三至六年级学生帮助父母做家务的大约是2250人．(6分)
(3)画树状图如下：(10分)
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽中甲和乙的结果有2种，所以P(抽取的两人恰好是甲和乙)＝＝.(12分)
22．解：(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)代入得解得故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2.(5分)
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y分钟，则y＝y1＋y2＝2x＋2＋x2－11x＋78＝x2－9x＋80＝(x－9)2＋39.5，(8分)∴当x＝9时，y有最小值，ymin＝39.5.(10分)故李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．(12分)
23．(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°.∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.(4分)
②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.∵∠CGE＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CGE.由①可知∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG.又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴＝，即CG2＝BC·CE.∵MG＝MB，∴∠MGB＝∠MBG.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠MBG＝∠CFG.又∵∠CGF＝∠MGB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG.由①可知BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE.(9分)
(2)解：延长AE，DC交于点N.(10分)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，∴＝，即BE·CN＝AB·CE.∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE.∵AB∥DN，∴△CGN∽△MGA，△CGF∽△MGB，∴＝，＝，∴＝.∵点M为AB的中点，∴MA＝MB，∴CN＝CF，∴CF＝BE.设正方形的边长为a，BE＝x，则CE＝BC－BE＝a－x.由BE2＝BC·CE可得x2＝a·(a－x)，解得x1＝a，x2＝a(舍去)，∴＝，∴tan∠CBF＝＝＝.(14分)