【332133】实际问题与二次函数

实际问题与二次函数

一、选择题（共4小题）

1．（如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　）

A． cm² B． cm² C． cm² D． cm²

2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）²+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）

A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米

3．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x²，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）

A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m

4．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）

A．60m² B．63m² C．64m² D．66m²

　

二、填空题（共3小题）

5．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为　　　　　　m²．

6．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　　　　　　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

7．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　　　　　　．

　

三、解答题（共23小题）

8．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．

（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

9．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．

（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？

10．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．

（1）根据图2填表：

x（min）	0	3	6	8	12	…
y（m）						…

（2）变量y是x的函数吗？为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

11．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y₁（单位：元）、销售价y₂（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y₁与x之间的函数表达式；

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

12．（2015•天水）天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．

（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．

（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？

13．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

14．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

x（件）	…	5	10	15	20	…
y（元/件）	…	75	70	65	60	…

（1）由题意知商品的最低销售单价是　　　　　　元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

15．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：

x	30	32	34	36
y	40	36	32	28

（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；

（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？

（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？

16．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x²+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．

（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

18．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

t（秒）	0	0.16	0.2	0.4	0.6	0.64	0.8	6
X（米）	0	0.4	0.5	1	1.5	1.6	2	…
y（米）	0.25	0.378	0.4	0.45	0.4	0.378	0.25	…

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）²+k．

①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．

19．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at²+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

20．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：

y= ．

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

21．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：

时间（第x天）	1	3	6	10	…
日销售量（m件）	198	194	188	180	…

②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：

时间（第x天）	1≤x＜50	50≤x≤90
销售价格（元/件）	x+60	100

（1）求m关于x的一次函数表达式；

（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】

（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．

22．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y₁（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y₂（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．

（1）求图2中所确定抛物线的解析式；

（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

23．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价﹣成本）

24．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

25．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？

26．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

27．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

28为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？

（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

29．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

30．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件）	100	110	120	130	…
月销量（件）	200	180	160	140	…

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　　　　　　）元；②月销量是 （　　　　　　）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

　

2016年人教版九年级数学上册同步测试：22.3 实际问题与二次函数

参考答案与试题解析

　

一、选择题（共4小题）

1．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　）

A． cm² B． cm² C． cm² D． cm²

【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．

【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．

∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，

∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．

∵折叠后是一个三棱柱，

∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．

∴∠ADO=∠AKO=90°．

连结AO，

在Rt△AOD和Rt△AOK中，

，

∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．

∴∠OAD=∠OAK=30°．

设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，

∴DE=6﹣2 x，

∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x²+18x，

=﹣6 （x﹣ ）²+ ，

∴当x= 时，纸盒侧面积最大为 ．

故选C．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．

　

2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）²+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）

A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米

【考点】二次函数的应用．

【专题】计算题．

【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．

【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，

∴点C的横坐标为﹣10，

当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）²+16=﹣ （﹣10﹣80）²+16=﹣ ，

∴C（﹣10，﹣ ），

∴桥面离水面的高度AC为 m．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

　

3．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x²，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）

A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m

【考点】二次函数的应用．

【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．

【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，

把y=﹣4代入y=﹣ x²，

得x=±10，

∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），

∴AB=20m．

即水面宽度AB为20m．

故选C．

【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

　

4．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）

A．60m² B．63m² C．64m² D．66m²

【考点】二次函数的应用．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym²，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．

【解答】解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym²，

根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x²+16x=﹣（x﹣8）²+64，

当x=8m时，y_max=64m²，

则所围成矩形ABCD的最大面积是64m²．

故选C．

【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

　

二、填空题（共3小题）

5．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为　75　m²．

【考点】二次函数的应用．

【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，表示出总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x²+30x=﹣3（x﹣5）²+75即可求得面积的最值．

【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，

则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，

则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x²+30x=﹣3（x﹣5）²+75，

故饲养室的最大面积为75平方米，

故答案为：75．

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．

　

6．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　22　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

【考点】二次函数的应用．

【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．

【解答】解：设定价为x元，

根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]

=﹣2x²+88x﹣870

∴y=﹣2x²+88x﹣870，

=﹣2（x﹣22）²+98

∵a=﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x=22时，y_最大值=98．

故答案为：22．

【点评】此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．

　

7．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　a（1+x）²　．

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【专题】计算题．

【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．

【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，

∴2月份研发资金为a×（1+x），

∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）²．

故填空答案：a（1+x）²．

【点评】此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）²=b来解题．

　

三、解答题（共23小题）

8．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．

（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；

（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．

【解答】解：（1）S=y（x﹣40）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x²+1600x﹣48000；

（2）S=﹣10x²+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）²+16000，

则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．

　

9．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．

（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；

（2）①由题意列出关于x，y的方程即可；

②把函数关系式配方即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得： ，

解得： ；

（2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】

∴y=﹣5x²+350x﹣5000，

②∵y=﹣5x²+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）²+1125，

∴当x=35时，y_最大=1125，

∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．

　

10．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．

（1）根据图2填表：

x（min）	0	3	6	8	12	…
y（m）	5	70	5	54	5	…

（2）变量y是x的函数吗？为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；

（2）利用函数的定义直接判断即可．

（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．

【解答】解：（1）填表如下：

x（min）	0	3	6	8	12	…
y（m）	5	70	5	54	5	…

（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，

所以y是x的函数；

（3）∵最高点为70米，最低点为5米，

∴摩天轮的直径为65米．

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．

　

11．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y₁（单位：元）、销售价y₂（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y₁与x之间的函数表达式；

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；

（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．

【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

（2）设线段AB所表示的y₁与x之间的函数关系式为y=k₁x+b₁，

∵y=k₁x+b₁的图象过点（0，60）与（90，42），

∴

∴ ，

∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

（3）设y₂与x之间的函数关系式为y=k₂x+b₂，

∵经过点（0，120）与（130，42），

∴ ，

解得： ，

∴这个一次函数的表达式为y₂=﹣0.6x+120（0≤x≤130），

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）²+2250，

∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）²+2535，

由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，

∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）²+2535=2160，

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．

　

12．天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．

（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．

（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；

（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．

【解答】解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，

列出方程式为：y=（x﹣8）[20﹣4（x﹣9）]，

即y=﹣4x²+88x﹣448（9≤x≤14）；

（2）将（1）中方程式配方得：

y=﹣4（x﹣11）²+36，

∴当x=11时，y_最大=36元，

答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．

【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．

　

13．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【考点】二次函数的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，

∴AE=2BE，

设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，

∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，

∴a=﹣ x+10，3a=﹣ x+30，

∴y=（﹣ x+30）x=﹣ x²+30x，

∵a=﹣ x+10＞0，

∴x＜40，

则y=﹣ x²+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y=﹣ x²+30x=﹣ （x﹣20）²+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜0，

∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．

【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

　

14．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

x（件）	…	5	10	15	20	…
y（元/件）	…	75	70	65	60	…

（1）由题意知商品的最低销售单价是　50　元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）由40（1+25%）即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（2）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．

【解答】解：（1）40（1+25%）=50（元），

故答案为：50；

设y=kx+b，

根据题意得： ，

解得：k=﹣1，b=80，

∴y=﹣x+80，

根据题意得： ，且x为正整数，

∴0＜x≤30，x为正整数，

∴y=﹣x+80（0≤x≤30，且x为正整数）

（2）设所获利润为P元，根据题意得：

P=（y﹣40）•x=（﹣x+80﹣40）x=﹣（x﹣20）²+400，

即P是x的二次函数，

∵a=﹣1＜0，

∴P有最大值，

∴当x=20时，P_最大值=400，此时y=60，

∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．

【点评】本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键．

　

15．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：

x	30	32	34	36
y	40	36	32	28

（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；

（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？

（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；

（2）根据题意列出方程解答即可；

（3）根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可．

【解答】解：（1）设该函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得

，

解得： ．

故该函数的表达式为y=﹣2x+100；

（2）根据题意得，

（﹣2x+100）（x﹣30）=150，

解这个方程得，x₁=35，x₂=45，

故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；

（3）根据题意，得

w=（﹣2x+100）（x﹣30）

=﹣2x²+160x﹣3000

=﹣2（x﹣40）²+200，

∵a=﹣2＜0 则抛物线开口向下，函数有最大值，

即当x=40时，w的值最大，

∴当销售单价为40元时获得利润最大．

【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出方程和函数解析式，利用函数解析式的最值分析．

　

16．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；

（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．

【解答】解：（1）y= ，

（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；

在10＜x≤30时，y=﹣3x²+130x，

当x=21 时，y取得最大值，

∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．

∵1408＞1000，

∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y与x的函数关系是解题关键．

　

17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x²+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．

（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；

（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；

（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．

【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3， ），

把B（0，4），C（3， ）代入y=﹣ x²+bx+c得 ，

解得 ．

所以抛物线解析式为y=﹣ x²+2x+4，

则y=﹣ （x﹣6）²+10，

所以D（6，10），

所以拱顶D到地面OA的距离为10m；

（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），

当x=2或x=10时，y= ＞6，

所以这辆货车能安全通过；

（3）令y=8，则﹣ （x﹣6）²+10=8，解得x₁=6+2 ，x₂=6﹣2 ，

则x₁﹣x₂=4 ，

所以两排灯的水平距离最小是4 m．

【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

　

18．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

t（秒）	0	0.16	0.2	0.4	0.6	0.64	0.8	6
X（米）	0	0.4	0.5	1	1.5	1.6	2	…
y（米）	0.25	0.378	0.4	0.45	0.4	0.378	0.25	…

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）²+k．

①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；

（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离；

（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，只要利用待定系数法求出函数解析式即可；

②由题意可得，扣杀路线在直线y= x上，由①得，y=a（x﹣3）²﹣ a，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．

【解答】解：（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；

（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）²+0.45，

将（0，0.25）代入，可得：a=﹣ ，

则y=﹣ （x﹣1）²+0.45，

当y=0时，0=﹣ （x﹣1）²+0.45，

解得：x₁= ，x₂=﹣ （舍去），

即乒乓球与端点A的水平距离是 m；

（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（ ，0），

代入y=a（x﹣3）²+k，得（ ﹣3）²a+k=0，

化简得：k=﹣ a；

②由题意可得，扣杀路线在直线y= x上，由①得，y=a（x﹣3）²﹣ a，

令a（x﹣3）²﹣ a= x，

整理得：20ax²﹣（120a+2）x+175a=0，

当△=（120a+2）²﹣4×20a×175a=0时符合题意，

解方程得：a₁= ，a₂= ，

当a₁= 时，求得x=﹣ ，不符合题意，舍去；

当a₂= 时，求得x= ，符合题意．

【点评】此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．

　

19．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at²+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）由题意得：函数y=at²+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到 ，求得抛物线的解析式为：y=﹣ t²+5t+ ，当t= 时，y_最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣ ×2.8²+5×2.8+ =2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．

【解答】解：（1）由题意得：函数y=at²+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ t²+5t+ ，

∴当t= 时，y_最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，

∴当t=2.8时，y=﹣ ×2.8²+5×2.8+ =2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．

　

20．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：

y= ．

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；

（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；

（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．

【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，

由题意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x≤＜时，p=4.1；

当9≤x≤15时，设P=kx+b，

把点（9，4.1），（15，4.7）代入得， ，

解得 ，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w_最大=513（元）；

②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整数，

∴当x=9时，w_最大=741（元）；

③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x²+72x+336，

∵a=﹣3＜0，

∴当x=﹣ =12时，w_最大=768（元）；

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

（3）由（2）可知m=12，m+1=13，

设第13天提价a元，由题意得，w₁₃=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），

∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．

答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

　

21．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：

时间（第x天）	1	3	6	10	…
日销售量（m件）	198	194	188	180	…

②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：

时间（第x天）	1≤x＜50	50≤x≤90
销售价格（元/件）	x+60	100

（1）求m关于x的一次函数表达式；

（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】

（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；

（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2x²+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；

（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．

【解答】解：（1）∵m与x成一次函数，

∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：

，

解得： ．

所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200；

（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为： ，

当1≤x＜50时，y=﹣2x²+160x+4000=﹣2（x﹣40）²+7200，

∵﹣2＜0，

∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；

当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，

∵﹣120＜0，

∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；

综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；

（3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．

【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．

　

22．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y₁（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y₂（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．

（1）求图2中所确定抛物线的解析式；

（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）设 ，当x=2时，y₁=y₂=40，利用待定系数法即可解答；

（2）设y₁=kx+b（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分别代入y₁=kx+b，求得y₂=40x﹣40，当x=3时，y₁=80，y₂=90，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+90×5≥900，解得m≥5 ，因为m取整数，所以m≥6，即可解答．

【解答】解：（1）设 ，

当x=2时，y₁=y₂=40，

把（2，40）代入 ，

4a=40，

解得：a=10，

∴ ．

（2）设y₁=kx+b（1≤x≤3），

把（1，0），（2，40）分别代入y₁=kx+b得：

解得： ，

∴y₁=40x﹣40，

当x=3时，y₁=80，y₂=90，

设需要开放m个普通售票窗口，

∴80m+90×5≥900，

∴m≥5 ，

∴m取整数，

∴m≥6．

答：至少需要开放6个普通售票窗口．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．

　

23．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价﹣成本）

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；

（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；

【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，

由题意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x＜9时，p=4.1；

当9≤x≤15时，设P=kx+b，

把点（9，4.1），（15，4.7）代入得， ，

解得 ，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w_最大=513（元）；

②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整数，

∴当x=9时，w_最大=741（元）；

③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x²+72x+336，

∵a=﹣3＜0，

∴当x=﹣ =12时，w_最大=768（元）；

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

　

24．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；

（2）利用每件利润×销量=总利润，进而利用配方法求出即可；

（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．

【解答】解：（1）由题意可得：y= ；

（2）由题意可得：w= ，

化简得：w= ，

即w= ，

由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125＜6250，

故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；

（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，

将w=6000带入﹣20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000=﹣20（x+ ）²+6125，

解得：x₁=﹣5，

将w=6000带入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000=﹣10（x﹣5）²+6250，

解得x₂=0，x₃=10，

综上可得，﹣5≤x≤10，

故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出x的取值范围是解题关键．

　

25．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？

【考点】二次函数的应用．

【专题】销售问题．

【分析】用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即y=（x﹣40）[300﹣20（x﹣60）]，再把解析式整理为一般式，然后根据二次函数的性质确定销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．

【解答】解：根据题意得y=（x﹣40）[300﹣10（x﹣60）]

=﹣10x²+1300x﹣36000，

∵x﹣60≥0且300﹣10（x﹣60）≥0，

∴60≤x≤90，

∵a=﹣10＜0，

而抛物线的对称轴为直线x=65，即当x＞65时，y随x的增大而减小，

而60≤x≤90，

∴当x=65时，y的值最大，

即销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

　

26．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；

（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．

【解答】解：（1）设y=kx+b，由图象可知，

，

解之，得： ，

∴y=﹣2x+60；

（2）p=（x﹣10）y

=（x﹣10）（﹣2x+60）

=﹣2x²+80x﹣600，

∵a=﹣2＜0，

∴p有最大值，

当x=﹣ =20时，p_最大值=200．

即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．

　

27．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；

（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x²+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）²+8000，

∵x≥45，a=﹣20＜0，

∴当x=60时，P_最大值=8000元，

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣60）²+8000=6000，

解得x₁=50，x₂=70．

∵抛物线P=﹣20（x﹣60）²+8000的开口向下，

∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．

又∵x≤58，

∴50≤x≤58．

∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=58时，y_最小值=﹣20×58+1600=440，

即超市每天至少销售粽子440盒．

【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．

　

28．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？

（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当20≤x≤220时表示出函数关系，由函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得

，

解得： ，

∴当20≤x≤220时，v=﹣ x+88，

当x=100时，v=﹣ ×100+88=48（千米/小时）；

（2）由题意，得

，

解得：70＜x＜120，

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，

当20≤x≤220时，

y=（﹣ x+88）x=﹣ （x﹣110）²+4840，

∴当x=110时，y最大=4840，

∵4840＞1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．

【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

　

29．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）设AB=x米，根据等式x+x+BC=69+3，可以求出BC的表达式；

（2）得出面积关系式，根据所求关系式进行判断即可．

【解答】解：（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；

（2）小英说法正确；

矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）²+648，

∵72﹣2x＞0，

∴x＜36，

∴0＜x＜36，

∴当x=18时，S取最大值，

此时x≠72﹣2x，

∴面积最大的不是正方形．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．其中在确定自变量取值范围时要结合题目中的图形和长＞宽的原则，找到关于x的不等式．

　

30．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件）	100	110	120	130	…
月销量（件）	200	180	160	140	…

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　x﹣60　）元；②月销量是 （　400﹣2x　）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；

（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．

【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；

②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，

由题意得， ，

解得， ，

∴W=﹣2x+400；

（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）

=﹣2x²+520x﹣24000

=﹣2（x﹣130）²+9800，

∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．

【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．