【332145】苏科九下期中测试卷（1）

苏科版数学九年级下册期中测试卷（1）

一．选择题

1．当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x²+4x﹣5（m是常数）是二次函数（　　）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

　

2．抛物线y= x²，y=﹣3x²，y=﹣x²，y=2x²的图象开口最大的是（　　）

A．y= x² B．y=﹣3x² C．y=﹣x² D．y=2x²

　

3．抛物线y=（x+1）²+2的顶点（　　）

A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）

　

4．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①ac＞0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a+b＜0；⑤4ac﹣b²＜4a；⑥a+b＞0中，其中正确的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

　

5．已知抛物线y=﹣（x﹣1）²+m（m是常数），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜1＜x₂，x₁+x₂＞2，则下列大小比较正确的是（　　）

A．m＞y₁＞y₂ B．m＞y₂＞y₁ C．y₁＞y₂＞m D．y₂＞y₁＞m

　

6．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x²﹣2x+4交y轴于点B，过点B作AB∥x轴交抛物线于点A，连接OA.将该抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），则m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜5 B．1＜m＜4 C．1＜m＜3 D．1＜m＜2

　

7．已知二次函数y=a（x﹣1）²+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（　　）

A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定

　

8．设抛物线y=x²+8x﹣k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）

A．﹣16 B．16 C．﹣8 D．8

　

9．已知抛物线y=x²﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²﹣m+2017的值为（　　）

A．2017 B．2020 C．2019 D．2018

　

10．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（　　）

A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份

　

11．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用.名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置.为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（　　）

A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.5

　

12．如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（　　）

A．4 B．3 C．2.4 D．2

　

13．列运算正确的是（　　）

A．（﹣a³）²=a⁹ B．（﹣a）²•a³=a⁵ C．2a（a+b）=2a²+2a D．a⁵+a⁵=a¹⁰

　

二．填空题

14．函数 +ax+2，当a=　 　时，它是二次函数.

　

15．对于二次函数y=x²﹣2mx﹣3，有下列结论：

①它的图象与x轴有两个交点；

②如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m=﹣1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=1；

④如果当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，则m=5.

其中一定正确的结论是　 　.（把你认为正确结论的序号都填上）

　

16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为　 　.

　

17．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为　 .

　

18．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣ x²，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是　 　.

　

19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=　 　.

　

三．解答题

20．在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

(1)若函数y₁的图象经过点（1，﹣2），求函数y₁的表达式；

(2)若一次函数y₂=ax+b的图象与y₁的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

(3)已知点P（x₀，m）和Q（1，n）在函数y₁的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围.

　

21．如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ x²+bx+c经过B、D两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标.

　

22．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；

(2)求出水柱的最大高度的多少？

　

23．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.

①求证：△DAE≌△DCF；

②求证：△ABG∽△CFG.

　

24．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9.

(1)求证：△COD∽△CBE.

(2)求半圆O的半径r的长.

　

25．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.

(1)求证：AE=GE；

(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；

(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.

答案

一．选择题

1．当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x²+4x﹣5（m是常数）是二次函数（　　）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用二次函数的定义，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．

【解答】解：根据二次函数的定义，得m﹣2≠0，即m≠2

∴当m≠2时，函数y=（m﹣2）x²+4x﹣5（m是常数）是二次函数．故选B．

【点评】本题考查二次函数的定义．

　

2．抛物线y= x²，y=﹣3x²，y=﹣x²，y=2x²的图象开口最大的是（　　）

A．y= x² B．y=﹣3x² C．y=﹣x² D．y=2x²

【考点】H2：二次函数的图象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．

【解答】解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，

又∵ ，

∴抛物线y= x²，y=﹣3x²，y=﹣x²，y=2x²的图象开口最大的是y= x²，

故选A．

【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道|a|的值越小，则开口越大．

　

3．抛物线y=（x+1）²+2的顶点（　　）

A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标．

【解答】解：

∵y=（x+1）²+2，

∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），

故选A．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）²+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．

　

4．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①ac＞0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a+b＜0；⑤4ac﹣b²＜4a；⑥a+b＞0中，其中正确的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线的顶点坐标情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：解：①图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＜0，

∴ac＞0，故①正确；

②当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故②错误；

③当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；

④∵对称轴x=﹣ ＜1，

∴2a+b＞0，故④错误；

⑤∵抛物线的顶点在x轴的上方，

∴ ＞0，

∴4ac﹣b²＜4a，故⑤正确；

⑥∵2a+b＞0，

∴2a+b﹣a＞﹣a，

∴a+b＞﹣a，

∵a＜0，

∴﹣a＞0，

∴a+b＞0，故⑥正确；

综上所述正确的个数为4个，

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

　

5．已知抛物线y=﹣（x﹣1）²+m（m是常数），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜1＜x₂，x₁+x₂＞2，则下列大小比较正确的是（　　）

A．m＞y₁＞y₂ B．m＞y₂＞y₁ C．y₁＞y₂＞m D．y₂＞y₁＞m

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣（x﹣1）²+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=1，设A（x₁，y₁）的对称点为A′（x₀，y₁），从而求得x₁+x₀=2，由x₁＜1＜x₂，x₁+x₂＞2，得出1＜x₀＜x₂，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以1＜x₀＜x₂时，m＞y₁＞y₂．

【解答】解：∵y=﹣（x﹣1）²+m，

∴a=﹣1＜0，有最大值为m，

∴抛物线开口向下，

∵抛物线y=﹣（x﹣1）²+m对称轴为直线x=1，

设A（x₁，y₁）的对称点为A′（x₀，y₁），

∴ =1，

∴x₁+x₀=2，

∵x₁+x₂＞2，

∵x₁＜1＜x₂，

∴1＜x₀＜x₂，

∴m＞y₁＞y₂．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=﹣ ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．

　

6．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x²﹣2x+4交y轴于点B，过点B作AB∥x轴交抛物线于点A，连接OA.将该抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），则m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜5 B．1＜m＜4 C．1＜m＜3 D．1＜m＜2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】设原抛物线的顶点为D，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F．先根据抛物线的解析式求出点B的坐标，再利用对称性求出点A的坐标，再利用二次函数的顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围．

【解答】解：如图，设原抛物线的顶点为D，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F．

∵y=﹣x²﹣2x+4=﹣（x+1）²+5，

∴B（0，4），D（﹣1，5），对称轴为直线x=﹣1，

∵AB∥x轴交抛物线于点A，

∴A的坐标（﹣2，4），

∴AB的中点E的坐标是（﹣1，4），

∵OA的中点是F，

∴F的坐标是（﹣1，2），

当D点平移到E点时，平移后得到的抛物线顶点不在△OAB的内部，再继续往下平移正好进入△OAB的内部，

当D点平移到F点时，平移后得到的抛物线顶点正好不在△OAB的内部，

∴m的取值范围是：1＜m＜3．

故选C．

【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，线段中点坐标公式，利用数形结合思想是解题的难点，同学们应重点掌握．

　

7．已知二次函数y=a（x﹣1）²+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（　　）

A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．

【解答】解：∵二次函数y=a（x﹣1）²+b（a≠0）有最小值，

∴抛物线开口方向向上，即a＞0；

又最小值为﹣1，即b=﹣1，

∴a＞b．

故选：C．

【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

　

8．设抛物线y=x²+8x﹣k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）

A．﹣16 B．16 C．﹣8 D．8

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．

【解答】解：根据题意得 =0，

解得k=﹣16．

故选A．

【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．

　

9．已知抛物线y=x²﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²﹣m+2017的值为（　　）

A．2017 B．2020 C．2019 D．2018

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】把（m，0）代入y=x²﹣x﹣3可以求得m²﹣m=3，再将其整体代入所求的代数式进行求值即可．

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），

∴m²﹣m﹣3=0，

∴m²﹣m=3，

∴m²﹣m+2017=3+2017=2020．

故选：B．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数图象上点的坐标都满足该二次函数的解析式．

　

10．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（　　）

A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．

【解答】解：设x月份出售时，每千克售价为y₁元，每千克成本为y₂元．

根据图甲设y₁=kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴y₁=﹣ x+7．

根据图乙设y₂=a（x﹣6）²+1，

∴4=a（3﹣6）²+1，

∴a= ，

∴y₂= （x﹣6）²+1．

∵y=y₁﹣y₂，

∴y=﹣ x+7﹣[ （x﹣6）²+1]，

∴y=﹣ x²+ x﹣6．

∵y=﹣ x²+ x﹣6，

∴y=﹣ （x﹣5）²+ ．

∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．

故选C．

【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．

　

11．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用.名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置.为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（　　）

A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.5

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y取得最大值时x的值即可得答案．

【解答】解：将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：

，

解得： ，

∴y=﹣0.45x²+4.72x﹣11.25，

当x=﹣ ≈5.244时，y取得最大值，

故选：C．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握二次函数的性质是解题的关键．

　

12．如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（　　）

A．4 B．3 C．2.4 D．2

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】作DH∥BF交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD=DC，得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到 = =2，计算即可．

【解答】解：作DH∥BF交AC于H，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴FH=HC，

∵DH∥BF，

∴ = =2，

∴AF= AC=2.4，

故选：C．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、平行线分线段成比例定理是解题的关键．

　

13．列运算正确的是（　　）

A．（﹣a³）²=a⁹ B．（﹣a）²•a³=a⁵ C．2a（a+b）=2a²+2a D．a⁵+a⁵=a¹⁰

【考点】4A：单项式乘多项式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】分别利用幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则和单项式乘以多项式等知识分别判断得出即可．

【解答】解：A、（﹣a³）²=a⁶，故此选项错误；

B、（﹣a）²•a³=a⁵，此选项正确；

C、2a（a+b）=2a²+2ab，故此选项错误；

D、a⁵+a⁵=2a⁵，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则和单项式乘以多项式等知识，熟练掌握基本性质是解题关键．

　

二．填空题

14．函数 +ax+2，当a=　 　时，它是二次函数.

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据二次函数的最高次数是二且二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：由 +ax+2是二次函数，得

，

解得a=0．

故答案为：0．

【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的最高次数是二且二次项的系数不等于零得出方程是解题关键．

　

15．对于二次函数y=x²﹣2mx﹣3，有下列结论：

①它的图象与x轴有两个交点；

②如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m=﹣1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=1；

④如果当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，则m=5.

其中一定正确的结论是　 　.（把你认为正确结论的序号都填上）

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】①利用根的判别式△＞0判定即可；

②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；

③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；

④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x=2012代入函数关系式计算即可得解．

【解答】解：①∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（﹣3）=4m²+12＞0，

∴它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；

②∵当x≤﹣1时y随x的增大而减小，

∴对称轴直线x=﹣ ≤﹣1，

解得m≤﹣1，故本小题错误；

③∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，

∴平移前的图象经过点（3，0），

代入函数关系式得，3²﹣2m•3﹣3=0，

解得m=1，故本小题正确；

④∵当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，

∴对称轴为直线x= =5，

∴﹣ =5，

解得m=5，故本小题正确；

综上所述，结论正确的是①④共2个．

故答案为：①③④．

【点评】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的对称性以及增减性，熟记各性质是解题的关键．

　

16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为　 　.

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据平行线分线段成比例，即可解答．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴AC=6，

故答案为：6．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例．

　

17．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为　 .

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，将两个式子相加，即可求出GH的长．

【解答】解：∵AB∥CH∥CD，

∴ ， ，

∴ + = + =1，

∵AB=2，CD=4，

∴ + =1，

解得：GH= ；

故答案为： ．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．

　

18．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣ x²，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是　 　.

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】结合图形求出x=6或x=﹣6时，y的值即可得．

【解答】解：根据题意，当x=6时，原式=﹣ ×6²=﹣9，

即水面离桥拱顶部的距离是9m，

故答案为：9m．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．

　

19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=　 　.

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．

【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，

∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，

∴DE=6．

故答案为6．

【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

　

三．解答题

20．在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

(1)若函数y₁的图象经过点（1，﹣2），求函数y₁的表达式；

(2)若一次函数y₂=ax+b的图象与y₁的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

(3)已知点P（x₀，m）和Q（1，n）在函数y₁的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围.

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；F7：一次函数图象与系数的关系．权【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；

(3)根据二次函数的性质，可得答案．

【解答】解：(1)函数y₁的图象经过点（1，﹣2），得

（a+1）（﹣a）=﹣2，

解得a₁=﹣2，a₂=1，

函数y₁的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x²﹣x﹣2；

函数y₁的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x²﹣x﹣2，

综上所述：函数y₁的表达式y=x²﹣x﹣2；

(2)当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x₁=﹣a，x₂=a+1，

y₁的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），

当y₂=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a²+b=0，即b=a²；

当y₂=ax+b经过（a+1，0）时，a²+a+b=0，即b=﹣a²﹣a；

(3)当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，

（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，

由m＜n，得0＜x₀≤ ；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，

由m＜n，得 ＜x₀＜1，

综上所述：m＜n，求x₀的取值范围0＜x₀＜1．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．

　

21．如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ x²+bx+c经过B、D两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；

(2)由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．

【解答】解：(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1、OA=OC=2，

则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：

，

解得： ，

∴二次函数的解析式为y=﹣ x²+ x+ ；

(2)如图，

∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，

∴点Q坐标为（ ， ），

设直线OP解析式为y=kx，

将点Q坐标代入，得： k= ，

解得：k=3，

∴直线OP的解析式为y=3x，

代入y=﹣ x²+ x+ ，得：﹣ x²+ x+ =3x，

解得：x=1或x=﹣4，

当x=1时，y=3，

当x=﹣4时，y=﹣12，

∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．

【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．

　

22．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；

(2)求出水柱的最大高度的多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，

(2)求出当x=1时，y= 即可．

【解答】解：(1)如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为

：y=a（x﹣1）²+h，

代入（0，2）和（3，0）得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣1）²+ ；

即y=﹣ x²+ x+2（0≤x≤3）；

(2)y=﹣ x²+ x+2（0≤x≤3），

当x=1时，y= ，

即水柱的最大高度为 m．

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

　

23．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.

①求证：△DAE≌△DCF；

②求证：△ABG∽△CFG.

【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；

②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．

【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF；

②延长BA到M，交ED于点M，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，

∵∠MAD=∠BCD=90°，

∴∠EAM=∠BCF，

∵∠EAM=∠BAG，

∴∠BAG=∠BCF，

∵∠AGB=∠CGF，

∴△ABG∽△CFG．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．

　

24．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9.

(1)求证：△COD∽△CBE.

(2)求半圆O的半径r的长.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．

(2)由勾股定理求出BC= =15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．

【解答】(1)证明：∵CD切半圆O于点D，

∴CD⊥OD，

∴∠CDO=90°，

∵BE⊥CD，

∴∠E=90°=∠CDO，

又∵∠C=∠C，

∴△COD∽△CBE．

(2)解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，

∴BC= =15，

∵△COD∽△CBE．

∴ ，即 ，

解得：r= ．

【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

　

25．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.

(1)求证：AE=GE；

(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；

(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.

【考点】SO：相似形综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换即可；

(2)先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；

(3)先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．

【解答】解：设AE=a，则AD=na，

(1)由对称知，AE=FE，

∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AF，

∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，

∴EG=EF，

∴AE=EG；

(2)如图1，当点F落在AC上时，

由对称知，BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DAC，

∴ ，∵AB=DC，

∴AB²=AD•AE=na²，

∵AB＞0，

∴AB= a，

∴ ；

(3)若AD=4AB，则AB= a，

如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时 a=a，

∴n=4，

∴当点F落在矩形内部时，n＞4，

∵点F落在矩形内部，点G在AD上，

∴∠FCG＜∠BCD，

∴∠FCG＜90°，

①当∠CFG=90°时，

如图3，则点F落在AC上，

由(2)得， ，

∴n=16，

②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DGC，

∴ ，

∴AB•DC=DG•AE，

∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=（n﹣2）a，

∴（ a）²=（n﹣2）a•a，

∴n=8+4 或n=8﹣4 （舍），

∴当n=16或n=8+4 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解(1)的关键是判断出EG=EF，解(2)的关键是判断出△ABE∽△DAC，解(3)的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题，是一道中考常考题．