期末学情评估

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是(　　)

A. B. C. D.

(第1题)　　 　 (第2题)　　 　 (第3题)

2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为AC的中点，则∠DAC的度数是(　　)

A．36° B．44° C．52° D．55°

3．小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心角的不同位置关系作出了如图所示的三个图进行探究．小明的探究过程体现的数学思想是(　　)

A．类比思想 B．分类讨论思想 C．函数思想 D．建模思想

4．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，若cos α＝，则小车上升的高度是(　　)

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

(第4题)　　　　 (第8题)

5．将二次函数y＝x²＋6x－1化为y＝a(x－h)²＋k的形式为(　　)

A．y＝(x－3)²－8 B．y＝(x＋3)²－8

C．y＝(x－3)²－10 D．y＝(x＋3)²－10

6．将二次函数y＝－2(x－1)²－2的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得图象对应的二次函数的表达式是(　　)

A．y＝－2(x－3)²－1 B．y＝－2(x＋1)²－1

C．y＝－2(x＋1)²－3 D．y＝－2(x－3)²－3

7．已知⊙O内有一点P，过点P的所有弦中，最长的为10，最短的为8，则OP的长为(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

8．如图，⊙A过O，D，C，B四点，连接CO，CD，若∠DCO＝30°，点B的坐标为(4，0)，则点D的坐标为(　　)

A．(0，2) B. C. D．(0，3)

9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点(小正方形的顶点)上，若AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为(　　)

A．2π－2 B．π－2 C．2π D．π

(第9题)　　　　　 (第10题)

10．如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点(－3，0)，下列结论：①abc<0；②2a－b＝0；③方程ax²＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根；④a＋c<0；⑤若(－2，y₁)，是图象上的两点，则y₁>y₂.其中正确的是(　　)

A．①②④ B．②③④ C．③④⑤ D．①③⑤

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．抛物线y＝2x²－4x＋3的对称轴是____________．

12．如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA，PB，若∠APB＝48°，则∠AOB＝______________________________________°.

(第12题)　　　 (第14题)　　　 (第15题)

13．若圆的半径为18 cm，则40°的圆心角所对的弧长为________cm.

14．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB.若∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为________．

15．太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比)．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为________米．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16．(5分)计算：

(1)|－3|＋·tan 30°－－(2 024－π)⁰；

(2)tan² 60°－2sin 30°－2cos 45°.

17．(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，CD＝40，求AB的长．

18．(8分)C－NCAP是中国汽车技术研究中心发布的首版中国新车评价规程．C－NCAP以更严格、更全面的要求，对车辆进行全方位的安全性能测试，包括乘员保护、行人保护、主动安全等，从而给予消费者更加系统、客观的车辆安全信息，促进汽车企业不断提升整车安全性能．《C－NCAP管理规则(2021年版)》中规定：试验车辆100%重叠正面冲击固定刚性壁障，壁障上附以20 mm厚胶合板，且碰撞速度不得低于50 km/h.如图是某校数学课外综合与实践小组进行的模拟碰撞试验(碰撞速度为50 km/h)的两种机位方案，设计如下：

实践课题	模拟汽车碰撞试验
试验工具	角度测量工具，皮尺，摄像机，秒表等
方案设计	方案一	方案二
测量方案 示意图
说明	点P为摄像机的最佳观察位置，点A为测试汽车达到碰撞速度时的开始位置，方案一中PC⊥AC，摄像机重点观察撞击时车头的变形情况；方案二中PB⊥AC，摄像机重点观察撞击时车身的变形情况
测量数据	测试汽车从点A处匀速行驶到点B处时，所用时间为18 s，并测得∠PBC＝45°，∠PAC＝20°	测试汽车从点A处匀速行驶到点C处时所用时间为27 s，并测得∠PAB＝30°，∠PCB＝45°

(1)方案一中AB＝______m，方案二中AC＝______m；

(2)请选择其中一种方案计算摄像机的最佳观察位置到汽车行驶轴线AC的距离．(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， ≈1.41， ≈1.73)

19．(9分)某商家销售一种发卡一段时间后，发现发卡每天的销售量y(单位：个)和销售单价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中3≤x≤6.

(1)y与x之间的函数关系式为____________________；

(2)若该种发卡的成本为每个2元，该商家如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

　

20．(9分)如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，与AC相交于点D.

【实践与操作】

(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法)

①作∠BAC的平分线AE，交⊙O于点E；

②连接BE并延长交AC于点F.

【探索与发现】

(2)试猜想AF与AB有怎样的数量关系，并证明．

(3)若AB＝10，sin∠FBC＝，求BF的长．

21．(11分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)，直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E，连接CO.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．

22．(11分)请阅读下面的材料，并完成相应任务．

地理兴趣小组想计算晋中市所在纬度的纬线圈的长度，下面是该小组成员查阅资料后，得到的相关信息：

(1)如图，与地轴垂直并环绕地球仪一周的圆圈叫做纬线圈．赤道是最大的纬线圈，纬线圈长短不相同．地球表面任意一点到地心的距离叫做地球的半径，地球半径约为6 400 km；

(2)晋中市的纬度约为北纬38°.(参考数据：π取3，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)

下面是该小组成员的部分解答过程：

解：根据题意得BP⊥OP.

……

任务：

请你帮该小组成员完成求解过程．

23．(14分)如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为(－2，0)，(0，4)，连接AC，BC.点P是y轴右侧的抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出点B的坐标；

(2)连接PA，PA所在直线交BC所在直线于点D，当线段AD的长度最小时，求点P的坐标；

(3)坐标平面内是否存在一点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

一、1.D　2.A　3.B　4.A　5.D

6．B　7.D　8.B　9.D　10.A

二、11.直线x＝1　12.132　

13．4π　14.25°

15.　点拨：由题意得∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20(米)，

∵扶梯AB的坡度i＝5∶12＝，

∴设BC＝5a米，则AC＝12a米．

由勾股定理得(5a)²＋(12a)²＝20²，

解得a＝(负值已舍去)，

∴BC＝米．

三、16.解：(1)原式＝3＋×－2－1

＝3＋1－2－1

＝1.

(2)原式＝()²－2×－2×

＝3－1－

＝2－.

17．解：∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∴∠A＝180°－90°－45°＝45°＝∠ACD，

∴AD＝CD＝40.

在Rt△BCD中，∠DCB＝60°，

∴BD＝CD·tan∠DCB＝40 ，

∴AB＝AD＋BD＝40＋40 .

18．解：(1)250；375

(2)(答案不唯一)选方案一：

∵∠PCB＝90°，∠PBC＝45°，

∴易得PC＝BC，

设PC＝BC＝x m，则AC＝(x＋250)m，

在Rt△APC中，tan∠PAC＝tan 20°＝＝，

解得x≈140.6，

∴摄像机的最佳观察位置到汽车行驶轴线AC的距离约是140.6 m.

19．解：(1)y＝－100x＋800

(2)设该商家每天获得的利润为w元，则

w＝(x－2)(－100x＋800)

＝－100x²＋1 000x－1 600

＝－100(x－5)²＋900，

∵3≤x≤6，

∴当x＝5时，w取得最大值900.

答：当定价为每个5元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为900元．

20．解：(1)如图所示．

(2)AF与AB的数量关系是AF＝AB.

证明：∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠AEF＝90°.

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠FAE.

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE.

∴AF＝AB.

(3)由题意知∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠FBC＝90°.

由(2)易知∠ABE＋∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FBC.

∵sin∠FBC＝，

∴sin∠BAE＝.

在Rt△ABE中，sin∠BAE＝＝，AB＝10，

∴BE＝×10＝2 .

∵AF＝AB，∠BAE＝∠FAE，

∴BF＝2BE＝2×2 ＝4 .

21．(1)证明：连接OD，如图，

∵EB，ED为⊙O的切线，

∴EB＝ED，OD⊥DE，AB⊥CB，

∴∠ODE＝90°，∠OBE＝90°，

∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∴∠CDE＝∠ACB，

∴EC＝ED，

∴BE＝CE.

(2)解：作OH⊥AD于点H，如图，设⊙O的半径为r，

由(1)知∠ODE＝90°，∠OBE＝90°，

∵DE∥AB，

∴∠DOB＝∠DEB＝90°，

∴四边形OBED为矩形，

又∵OB＝OD，

∴四边形OBED为正方形，

∴易得BE＝CE＝r，

∴BC＝2r.

易得△AOD为等腰直角三角形，

∴易得OH＝r，

在Rt△OCB中，OC＝＝r，

在Rt△OCH中，sin∠OCH＝＝＝，

即sin∠ACO的值为.

22．解：∵BP⊥OP，OA⊥OP，

∴BP∥OA.

∴∠PBO＝∠BOA＝38°.

在Rt△BPO中，PB＝OB·cos 38°≈6 400×0.79＝5 056(km)．

2π·PB≈2×3×5 056＝30 336(km)．

答：晋中市所在纬度的纬线圈的长度约为30 336 km.

23．解：(1)将A(－2，0)，C(0，4)的坐标代入y＝－x²＋bx＋c，

得解得

∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x²＋x＋4.

点B的坐标为(4，0)．

(2)由题意得，当AP⊥BC时，AD的长度最小．设AP与y轴相交于点E，

如图．

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴OB＝4，OC＝4.

∴OB＝OC.

∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝45°.

∵AP⊥BC，

∴∠ADB＝90°.

∴∠EAO＝180°－∠ADB－∠OBC＝45°.

∵∠AOE＝90°，

∴∠OEA＝180°－∠AOE－∠EAO＝45°.

∴∠EAO＝∠OEA.

∴OE＝OA.

∵A(－2，0)，

∴OA＝2.

∴OE＝2.

∴E(0，2)．

设直线AE的表达式为y＝kx＋m.

把点A和点E的坐标代入得

解得

∴直线AE的表达式为y＝x＋2.

解得或

∵点P在y轴右侧，

∴P(2，4)．

(3)存在．点Q的坐标为或.