【332147】苏科九下期中测试卷（3）

期中测试卷（3）

一．选择题

1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）

A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）²﹣x² C．y=2x²﹣7 D．

　

2．对于二次函数y=﹣（x﹣1）²+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2

　

3．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=﹣2（x+2）²+4 B．y=﹣2（x﹣2）²+4 C．y=2（x+2）²﹣4 D．y=2（x﹣2）²﹣4

　

4．对于二次函数y=x²﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）

A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x²﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小

　

5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

　

6．已知 = ，那么 的值为（　　）

A． B． C． D．

　

7．已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（　　）

A． B． C．2 ﹣4 D．6﹣2

　

8．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（　　）

A．12.5 B．12 C．8 D．4

　

9．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）

A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变

　

10．下列说法中，错误的是（　　）

A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似

　

11．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN²+CM²=MN²；⑤若AB=2，则S_△OMN的最小值是 ，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

　

12．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

　

二．填空题

13．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　 m.

　

14．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于　 　厘米.

　

15．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是　 .

　

16．如图，△ABC内接于⊙O，D是 上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 .

　

17．用配方法把二次函数y=2x²+3x+1写成y=a（x+m）²+k的形式　 　.

　

18．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m²）

(1)如图1，若BC=4m，则S=　 　m².

(2)如图2，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为　 m.

　

三．解答题

19．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）²+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）²﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

(1)在上面规定下，抛物线y=（x+1）²﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y=（x+1）²﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；

(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）²﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值 时，求m的值.

　

20．如图1，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

　

21．已知抛物线y₁=﹣x²+mx+n，直线y₂=kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（﹣1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4.

(1)求y₁的解析式；

(2)若y₂随着x的增大而增大，且y₁与y₂都经过x轴上的同一点，求y₂的解析式.

　

22． (1)已知 = ，求 的值；

(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB 的长.

　

23．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长.

　

24．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.

【问题引入】

(1)若点O是AC的中点， = ，求 的值；

温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．

【探索研究】

(2)若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • =1；

【拓展应用】

(3)如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值．

　答案

一．选择题

1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）

A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）²﹣x² C．y=2x²﹣7 D．

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．

【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；

B、整理后是一次函数，故本选项错误；

C、y=2x²﹣7是二次函数，故本选项正确；

D、y与x²是反比例函数关系，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax²+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．

　

2．对于二次函数y=﹣（x﹣1）²+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2

【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．

【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）²+2，

可知：对称轴x=1，

开口方向向下，所以有最大值y=2，

故选（B）

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．

　

3．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=﹣2（x+2）²+4 B．y=﹣2（x﹣2）²+4 C．y=2（x+2）²﹣4 D．y=2（x﹣2）²﹣4

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．

【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），

∴设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣2）²+4，

把（0，﹣4）代入得a=﹣2，

∴这个二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣2）²+4．

故选B．

【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y=a（x﹣h）²+k或y=a（x+m）²+k

　

4．对于二次函数y=x²﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）

A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x²﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．

【解答】解：A、∵b²﹣4ac=（2m）²+12=4m²+12＞0，

∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；

B、方程x²﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；

C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；

D、∵a=1＞0，对称轴x=m，

∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．

　

5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故选B．

【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．

　

6．已知 = ，那么 的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】S1：比例的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据 = ，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．

【解答】解：∵ = ，

∴设a=2k，则b=3k，

则原式= = ．

故选B．

【点评】本题考查了比例的性质，根据 = ，正确设出未知数是本题的关键．

　

7．已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（　　）

A． B． C．2 ﹣4 D．6﹣2

【考点】S3：黄金分割．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比，分别进行计算即可．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，

∴PB=4× =6﹣2 ；

故选D．

【点评】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 是本题的关键．

　

8．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（　　）

A．12.5 B．12 C．8 D．4

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴ = ，即 = ，

解得，EF=8，

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

　

9．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）

A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变

【考点】S5：相似图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．

【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，

∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B′=∠B．

故选D．

【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

　

10．下列说法中，错误的是（　　）

A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似

【考点】S8：相似三角形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到最后答案．

【解答】解：A正确，因为全等三角形符合相似三角形的判定条件；

B不正确，因为没有指明相等的角与可成比例的边，不符合相似三角形的判定方法；

C正确，因为其三个角均相等；

D正确，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定条件；

故选B．

【点评】此题考查了相似三角形的判定．

①有两个对应角相等的三角形相似；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；

③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

　

11．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN²+CM²=MN²；⑤若AB=2，则S_△OMN的最小值是 ，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．

【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，

∴∠BCN+∠DCN=90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN=90°，

∴∠BCN=∠CDM，

又∵∠CBN=∠DCM=90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，

又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，

又∵DO=CO，

∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；

∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，

∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，故③正确；

∵AB=BC，CM=BN，

∴BM=AN，

又∵Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，

∴AN²+CM²=MN²，故④正确；

∵△OCM≌△OBN，

∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，

∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，

设BN=x=CM，则BM=2﹣x，

∴△MNB的面积= x（2﹣x）=﹣ x²+x，

∴当x=1时，△MNB的面积有最大值 ，

此时S_△OMN的最小值是1﹣ = ，故⑤正确；

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D．

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．

　

12．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

【考点】SC：位似变换．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．

【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，

∴△A′B′C′∽△ABC．

∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，

∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，

∴ =

故选：A．

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

　

二．填空题

13．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　 m.

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．

【解答】解：

∵OD=4m，BD=14m，

∴OB=OD+BD=18m，

由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，

∴△OCD∽△OAB，

∴ = ，即 = ，解得AB=9，

即旗杆AB的高为9m．

故答案为：9．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键．

　

14．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于　 　厘米.

【考点】S3：黄金分割．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据黄金比值是 计算即可．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP= AB=（5 ﹣5）厘米，

故答案为：5 ﹣5．

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

　

15．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是　 .

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．

【解答】解：∵DE∥AC，

∴DB：AB=BE：BC，

∵DB=4，AB=6，BE=3，

∴4：6=3：BC，

解得：BC= ，

∴EC=BC﹣BE= ﹣3= ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

　

16．如图，△ABC内接于⊙O，D是 上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 .

【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．

【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，

∴∠ADB=∠ACE，

当∠DAB=∠CAE时，△ADB∽△ACE．

故答案为∠DAB=∠CAE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．

　

17．用配方法把二次函数y=2x²+3x+1写成y=a（x+m）²+k的形式　 　.

【考点】H9：二次函数的三种形式．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】把二次函数y=2x²+3x+1用配方法化为顶点式即可．

【解答】解：y=2x²+3x+1

=2（x+ ）²﹣ ．

故答案为：y=2（x+ ）²﹣ ．

【点评】本题考查的是用配方法把一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键，y=ax²+bx+c=a（x+ ）²+ ．

　

18．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m²）

(1)如图1，若BC=4m，则S=　 　m².

(2)如图2，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为　 m.

【考点】HE：二次函数的应用；KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的 圆，以C为圆心、6为半径的 圆和以A为圆心、4为半径的 圆的面积和，据此列式求解可得；

(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的 圆，以A为圆心、x为半径的 圆、以C为圆心、10﹣x为半径的 圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．

【解答】解：(1)如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：

由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的 圆，以C为圆心、6为半径的 圆和以A为圆心、4为半径的 圆的面积和，

∴S= ×π•10²+ •π•6²+ •π•4²=88π，

故答案为：88π；

(2)如图2，

设BC=x，则AB=10﹣x，

∴S= •π•10²+ •π•x²+ •π•（10﹣x）²

= （x²﹣5x+250）

= （x﹣ ）²+ ，

当x= 时，S取得最小值，

∴BC= ，

故答案为： ．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．

　

三．解答题

19．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）²+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）²﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

(1)在上面规定下，抛物线y=（x+1）²﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y=（x+1）²﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；

(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）²﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值 时，求m的值.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

(2)①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC²、AB²和BC²，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

【解答】解：

(1)∵y=（x+1）²﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

(2)①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）²﹣4m，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）²﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC²=4+16m²，AB²=1+m²，BC²=9+9m²，

∵∠CAB=90°，

∴AC²+AB²=BC²，即4+16m²+1+m²=9+9m²，解得m= （抛物线开口向下，舍去）或m=﹣ ，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣ ；

②设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）²﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）²﹣4m+mx+m=m（x²﹣x﹣2）=m[（x﹣ ）²﹣ ]，

∴S_△PBC= ×[（2﹣（﹣1）]PQ= （x﹣ ）²﹣ m，

∴当x= 时，△PBC的面积有最大值﹣ m，

∴S取得最大值 时，即﹣ m= ，解得m=﹣2．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在(1)中注意伴随直线的定义的理解，在(2)①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在(2)②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

　

20．如图1，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；

(3)分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．

【解答】解：

(1)∵矩形OBDC的边CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x²﹣ x+2

(2)在y=﹣ x²﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x²﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直线OE解析式为y=﹣x，

由题意可得P（m，﹣ m²﹣ m+2），

∵PG∥y轴，

∴G（m，﹣m），

∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣ m²﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m²﹣ m+2=﹣ （m+ ）²+ ，

∵直线OE解析式为y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l= PG= [﹣ （m+ ）²+ ]=﹣ （m+ ）²+ ，

∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；

(3)①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3，

又y=﹣ x²﹣ x+2，

∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y= ，

∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；

②当AC为对角线时，设AC的中点为K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣ ，1），

∵点N在对称轴上，

∴点N的横坐标为﹣1，

设M点横坐标为x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，

∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中求得A、B的坐标是解题的关键，在(2)中确定出PG与l的关系是解题的关键，在(3)中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

　

21．已知抛物线y₁=﹣x²+mx+n，直线y₂=kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（﹣1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4.

(1)求y₁的解析式；

(2)若y₂随着x的增大而增大，且y₁与y₂都经过x轴上的同一点，求y₂的解析式.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F5：一次函数的性质；FA：待定系数法求一次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y₁的解析式；

(2)分两种情况讨论：当y₁的解析式为y₁=﹣x²﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；

当y₁=﹣x²﹣2x+8时，解﹣x²﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y₂随着x的增大而增大，求得y₁与y₂都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．

【解答】解：(1)∵抛物线y₁=﹣x²+mx+n，直线y₂=kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（﹣1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4．

∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），

∴﹣ =﹣1， =1或9，

解得m=﹣2，n=0或8，

∴y₁的解析式为y₁=﹣x²﹣2x或y₁=﹣x²﹣2x+8；

(2)①当y₁的解析式为y₁=﹣x²﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），

∵y₁的对称轴与y₂交于点A（﹣1，5），

∴y₁与y₂都经过x轴上的同一点（﹣2，0），

把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得 ，

解得 ，

∴y₂=5x+10．

②当y₁=﹣x²﹣2x+8时，解﹣x²﹣2x+8=0得x=﹣4或2，

∵y₂随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），

∴y₁与y₂都经过x轴上的同一点（﹣4，0），

把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ，

解得 ；

∴y₂= x+ ．

【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．

　

22． (1)已知 = ，求 的值；

(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB 的长.

【考点】S3：黄金分割；S1：比例的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)设a=3k，则b=5k，代入 ，计算即可求解；

(2)根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA= AB，PB= AB，代入数据即可得出PA、PB的长．

【解答】解：(1)∵ = ，

∴可设a=3k，则b=5k，

∴ = = ；

(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，

∴PA= AB= ﹣1，PB= AB=3﹣ ．

【点评】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 ．同时考查了比例的性质．

　

23．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长.

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出 = = = ，代入求出DF、AE即可求出答案．

【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DFCE是平行四边形，

∴DE=FC，DF=EC

∵DF∥BC，

∴△ADF∽△ABC，

∴ = = = ，

∵AC=8，BC=12，

∴AF=2，DF=3

∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，

∴DE=FC=6，DF=EC=3

∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．

答：四边形DECF的周长是18．

【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE=CF，DF=CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．

　

24．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.

【问题引入】

(1)若点O是AC的中点， = ，求 的值；

温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．

【探索研究】

(2)若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • =1；

【拓展应用】

(3)如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值．

【考点】SO：相似形综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得 = ，即 = ，同理由△ACG∽△OCN得 = ，结合AO=CO得NG=CN，从而由 = = 可得答案；

(2)由 = 、 = 知 • • = • • =1；

(3)由(2)知，在△ABD中有 • • =1、在△ACD中有 • • =1，从而 • • = • • ，据此知 = • • = • = ．

【解答】解：(1)过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，

∴∠G=∠BNM，

又∠B=∠B，

∴△ABG∽△MBN，

∴ = ，

∴ ﹣1= ﹣1，

∴ = ，即 = ，

同理，在△ACG和△OCN中， = ，

∴ = ，

∵O为AC中点，

∴AO=CO，

∴NG=CN，

∴ = = = ；

(2)由(1)知， = 、 = ，

∴ • • = • • =1；

(3)在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，

由(2)得 • • =1，

在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，

由(2)得 • • =1，

∴ • • = • • ，

∴ = • • = • = × = ．

【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键．