第一章学情评估

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．tan 45°的值为(　　)

A. B. C. D．1

2．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为70°，则梯子底端到墙脚的距离为(　　)

A．5cos 70°米 B．5sin 70°米 C.米 D.米

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是(　　)

A．tan A＝ B．tan A＝ C．sin A＝ D．cos A＝

4．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sin α＝(　　)

A. B. C. D.

(第4题)　　 (第5题)　　 (第7题)　　 (第8题)

5．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值中，错误的是(　　)

A. B. C. D.

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值等于(　　)

A. B. C. D．1

7．如图，港口A在观测站O的正西方向，AO＝4 n mile，某船从港口A出发，沿北偏西30°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏西60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　　)

A．2 n mile B．4 n mile C. n mile D．(＋1) n mile

8．如图为某大坝的横截面，斜坡AB的坡比为1∶2，背水坡CD的坡比为1∶1，若坡面CD的长度为6 米，则斜坡AB的长度为(　　)

A．4 米 B．6 米 C．6 米 D．24米

9．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于(　　)

A. B. C. D.

(第9题) 　　　 (第10题)

10．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前C处的距离DC是20米，坡长BC是12米，斜坡BC的坡度为1∶，则大楼AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)

A．39.4米 B．37.9米 C．32.1米 D．30.6米

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．计算－4sin 45°的结果是________．

12．如图，斜坡AB的坡度为1∶3，该斜坡的水平距离AC＝6米，那么斜坡AB的长等于______米．

(第12题)　　 　 (第13题)　　　 (第14题)　　　 (第15题)

13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE＝4，cos A＝，则菱形的周长为________．

14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝，AB＝6 ，AC＝6，则BC的长为________________________．

15．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B(0，)，点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是________．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16．(10分)计算：

(1)sin² 30°＋cos² 30°＋tan 30°tan 60°；　　(2)tan 45°sin 45°－2sin 30°cos 45°.

17．(8分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝ .求：

(1)BC的长；

(2)∠ADC的正弦值．

18．(7分)如图，小明在自己家中(点A处)分别测得正对面大楼最高处点C的仰角为60°，大楼底部点D的俯角为15°.已知两楼AB，CD之间的距离BD为60 m，求楼高DC.(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27， ≈1.73，结果保留整数)

　(第18题)

19．(8分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶ ，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据： ≈1.73， ≈1.41)．

20．(8分)双塔寺，三晋名刹，位于太原市城区东南方向，距市中心四公里左右．文峰塔直上直下，呈直线型；舍利塔上下直径相差很大．周末，小明和小亮结伴游玩，他俩很想知道舍利塔的高度，但因舍利塔塔身在进行修缮，四周设置了围栏，无法靠近，只有文峰塔对游客开放．于是两人开展了测量舍利塔的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．两人分别在文峰塔中不同塔层的对应的东窗口处，分别测量了舍利塔塔顶的仰角，又合作测量了在不同塔层测仰角时测角仪相对地面的高度．为了减小测量误差，两人在测量所有数据时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).

课题		测量舍利塔的高度
成员		组长：小明　　　　　　　　组员：小亮
测量工具		测量角度的仪器，皮尺等
测量 示意图			说明：线段GD表示舍利塔塔高，HA表示文峰塔塔高，线段CA表示小明在文峰塔中四层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度，线段BA表示小亮在文峰塔中二层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度，线段GD，HA都垂直于地面AD，点E，F都在线段GD上，且CF∥BE∥AD
测量 数据	测量项目			第一次	第二次	平均值
	小明测得仰角 ∠GCF的度数			40.01°	40.05°	40.03°
	小亮测得仰角 ∠GBE的度数			44.84°	44.82°	44.83°
	CA			12.48 m	12.52 m	12.50 m
	BA			4.97 m	5.03 m
…	…

(1)小亮在文峰塔中二层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度BA的平均值是________．(精确到0.01 m)

(2)根据以上测量结果，请你帮助小明求出舍利塔的高度GD.(精确到0.1m)

(参考数据：sin 40.03°≈0.64，cos 40.03°≈0.77，tan 40.03°≈0.84，sin 44.83°≈0.71，cos 44.83°≈0.71，tan 44.83°≈0.99)

(3)该二人小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)．

21．(8分)请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝.

证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A．∴＝.

任务：

(1)如图②，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；

(2)如图③，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求△ABC的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)

22．(13分)综合与实践：

【问题情境】

在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图①，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，请用含a，c及∠B的三角函数的式子表示b².

【实践操作】

经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决问题，并且不能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D，如图②，大家认同；

乙同学说：要想得到b²，要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；

【探索发现】

(1)丙同学说：那就要先求出AD＝________，BD＝________；(用含c及∠B的三角函数的式子表示)

(2)丁同学顺着他们的思路，求出b²＝AD²＋DC²＝____________(其中sin²α＋cos²α＝1)；

【解决问题】

(3)请利用丁同学的结论解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5，求AC的长．

　

23．(13分)综合与探究：

图①是太原市某前后门都是大小相等的双开门型公共汽车，前门上车，后门下车；图②是此公共汽车双开门开合过程中某一时刻俯视示意图，AB，CD，BD表示门轴的滑动轨道，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF，GH分别代表两扇门，E，G分别在AB，CD上以相同的速度滑动，带动F，H在BD上滑动；两门关闭时如图③，此时，点E与点B重合，点G与点D重合，点F与点H重合；两门完全开启时如图④，此时，点F与点B重合，点H与点D重合；已知EF＝GH＝50厘米．

(1)某天因轨道润滑问题，双开后门最大只能开启到图②的位置，测得∠EFB＝∠GHD＝66.4°，求此时车门打开的宽度，即线段FH的长度．(参考数据： sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，tan 66.4°≈2.29)

(2)在(1)的情况下，后门每分钟可下乘客12名，若后门完全开启时，可下乘客18名，出现轨道润滑问题时，公交车距离终点站还有12千米，离规定到站时间还有1小时，已知公交车的平均速度为20千米/时，则本次公交车要晚到多长时间？

答案

一、1.D　2.A　3.A　4.C

5．C　6.C　7.B　8.C

9．D　点拨：过点D作DE垂直于BC，交BC的延长线于点E，可得∠CED＝90°.

∵∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，

∴∠DCE＝45°，

∴∠CDE＝45°，

∴DE＝CE.

设DE＝CE＝x，则易得CD＝x，

在Rt△ACD中，

∵∠ADC＝60°，

∴tan∠ADC＝＝，

∴AC＝x，

在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°，

∴BC＝x，

∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝.

10．A

二、11.　12.2 　

13．40　14.12

15．(1，)　点拨：∵点B(0，)，

∴OB＝，

连接ME.

∵点B和点E关于直线OM对称，

∴OB＝OE＝.

∵点E是线段AO的中点，

∴AE＝OE＝，AO＝2OE＝2 .

∵AB⊥OB，

∴∠ABO＝90°.

根据勾股定理得

AB＝＝＝3，

易知∠AEM＝90°，

∴cos A＝＝，即＝，

解得AM＝2，

∴BM＝AB－AM＝3－2＝1，

∴易得点M的坐标是(1，)．

三、16.解：(1)原式＝＋＋×＝2.

(2)原式＝1×－2××＝0.

17．解：(1)如图，作AH⊥BC于H.

在Rt△ACH中，∵cos C＝＝，AC＝，

∴CH＝1，∴AH＝＝1.

在Rt△ABH中，∵tan B＝＝，

∴BH＝5，

∴BC＝BH＋CH＝6.

(2)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BC＝6，

∴CD＝3，∴DH＝CD－CH＝2，∴AD＝＝.

在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝.

∴∠ADC的正弦值为.

18．解：由题意得∠AHC＝∠AHD＝90°，

AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABD＝∠CDB＝90°，

∴四边形ABDH是矩形．

∴AH＝BD.

∵BD＝60 m，

∴AH＝BD＝60 m，

在Rt△AHD中，tan∠HAD＝.

∵∠HAD＝15°，tan 15°≈0.27，

∴HD＝tan∠HAD·AH≈0.27×60＝16.2(m)，

在Rt△AHC中，tan∠CAH＝.

∵∠CAH＝60°，

∴HC＝×AH＝60 ≈103.8(m)，

∴DC＝HC＋HD≈103.8＋16.2＝120(m)．

答：楼高DC约为120 m.

19．解：如图，过点D作DH⊥AN于H，过点E作EF⊥DH于F，

∴∠AHD＝∠DHN＝∠DFE＝∠EFH＝90°.

易知四边形EFHN为矩形，

∴EN＝FH，EF＝HN.

∵坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶，

∴易得EF＝10米，DF＝10 米，

∴DH＝DF＋FH＝DF＋EN＝DF＋EC＋CN＝10 ＋10＋20＝10 ＋30(米)，

在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，

∴AH＝DH×tan 30°＝(10＋10 )米，

∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝10＋10 ＋10＝20＋10 (米)．

∵∠BCN＝45°，

∴易得CN＝BN＝20米，

∴AB＝AN－BN＝10 ≈17(米)．

答：条幅的长度约是17米．

20．解：(1)5.00 m

(2)由题意可得，四边形ADEB，四边形BEFC，四边形ADFC都是矩形，

∴ED＝BA＝5.00 m，FD＝AC＝12.50 m，AD＝BE＝CF，

∴EF＝CB＝12.50－5.00＝7.50(m)．

设AD＝x m，则BE＝CF＝x m.

在Rt△BEG中，∠BEG＝90°，tan ∠GBE＝.

∵∠GBE＝44.83°，

∴GE＝tan 44.83°x≈0.99x(m)．

在Rt△CFG中，∠CFG＝90°，tan ∠GCF＝.

∵∠GCF＝40.03°，

∴GF＝tan 40.03°x≈0.84x(m)．

∵EF＝GE－GF，

∴0.99x－0.84x≈7.50，

∴x≈50，

∴GD＝GE＋ED≈0.99×50＋5.00＝54.5(m)．

答：舍利塔的高度GD约为54.5 m.

(3)(答案不唯一)还需要补充计算过程．

21．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，AD＝c sin B，

在Rt△ACD中，AD＝b sin C，

∴c sin B＝b sin C，

∴＝ .

(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E.

∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，

∴∠C＝60°.

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×＝40 (m)．

又∵＝，

∴BC＝≈＝90(m)，

∴S_△ABC＝BC·AE≈×90×40 ＝1 800 (m²)．

22．解：(1)csin B；ccos B

(2)a²＋c²－2ac·cos B

(3)如图，延长BC，AD交于点E.

∵∠B＝90°，∠BAD＝60°，

∴∠E＝30°.

∵AB＝4，

∴AE＝2AB＝8.

∵AD＝5，

∴DE＝3.

∵∠ADC＝∠CDE＝90°，

∴易得CE＝2 .

∴AC²＝CE²＋AE²－2CE·AE·cos 30°＝12＋64－2×2 ×8×＝28.

∴AC＝2 .

23．解：(1)由题意得BD＝EF＋GH＝50＋50＝100(厘米)．

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B＝∠D＝90°.

在Rt△EBF中，∠B＝90°，∠EFB＝66.4°，EF＝50厘米．

∵cos∠EFB＝，

∴BF＝EF·cos∠EFB＝50×cos 66.4°≈50×0.40＝20(厘米)．

同理可得DH≈20厘米，

∴FH＝BD－BF－DH≈100－20－20＝60(厘米)．

答：线段FH的长度约为60厘米．

(2)设本次公交车要晚到x分钟，由题意得

12×＝18×60×，

解得x＝12.

答：本次公交车要晚到12分钟．