第二学期期中学情评估

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是(　　)

A．sin A＝ B．sin A＝ C．sin A＝ D．sin A＝

(第1题)　　　　 (第5题)　　　　 (第7题)

2．直角三角形的一条直角边长为8 cm，它所对的角为30°，则斜边长为(　　)

A．2 cm B．4 cm C．2 cm D．16 cm

3．已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α的值为(　　)

A．20° B．40° C．60° D．80°

4．下列关于二次函数y＝－2x²－3x－1的说法正确的是(　　)

A．它的图象开口向上

B．它的图象的对称轴是直线x＝

C．当x＝0时，函数值是－1

D．它的图象与x轴没有交点

5．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为(　　)

A. B. C. D.

6．反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第二、四象限内，则二次函数y＝kx²－2x的图象可能是(　　)

7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，设∠ACE＝α，则tan α的值为(　　)

A. B. C．2 D.

8．在二次函数y＝－x²＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	－3	－2	－1	1	2	3	4	5	6
y	－14	－7	－2	2	m	n	－7	－14	－23

则m、n的大小关系为(　　)

A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法比较

9．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3 m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y＝ax²＋x＋c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为(　　)

A．1 m B. m C. m D．2 m

(第9题)　　　　 (第10题)　　　　 (第15题)

10．如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x＝，经过点(2，0)．有下列结论：①abc>0；②当x₁>x₂>时，y₁>y₂；③2a＋c＝0；④不等式ax²＋bx＋c>0的解集是－1<x<2；⑤若，是抛物线上的两点，则y₁<y₂，其中正确的是(　　)

A．①③④ B．②③⑤

C．③④⑤ D．②④⑤

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝________．

12．将二次函数y＝(x＋1)²－1的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________________．

13．一人乘雪橇沿坡度为1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s＝10t＋2t²，若滑到坡底的时间为4 s，则此人下降的高度为________m.

14．已知点P₁(－1，y₁)，P₂(3，y₂)，P₃(5，y₃)均在二次函数y＝ax²－2ax＋c(a＜0)的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是________________．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝，CO＝BO，AB＝3，则这条抛物线的表达式是__________________．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16．(10分)(1)cos 60°＋ sin 45°＋ tan 30°；

(2)2sin 30°－3tan 45°·sin² 45°＋4cos 60°.

17．(6分)如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，求AC的长．

　

18．(7分)如图，抛物线y₁＝x²＋bx－c经过直线y₂＝x－3与坐标轴的两个交点A，B.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)当y₁＜y₂时，求x的取值范围．

19．(8分)有一个抛物线型拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m．现将它放在如图所示的平面直角坐标系中．

(1)求这个拱形桥洞所在抛物线的表达式．

(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船，能否顺利通过此桥洞？

20．(9分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.

(1)求证：∠BAE＝∠DAF；

(2)若AE＝4，AF＝6，tan∠BAE＝，求CF的长．

21．(10分)为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向(如图)．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案 示意图
说明	点B，C在点A的 正东方向	点B，D在点A的 正东方向	点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量 数据	BC＝60 m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°	BD＝20 m， ∠ABH＝70°， ∠BCD＝35°	BC＝101 m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°

(1)哪个小组的数据无法计算出河宽？

(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，sin 35°≈0.57，tan 70°≈2.75，tan 35°≈0.70)

(3)计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议．

22．(12分)阅读与思考：

阿尔·花拉子米，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程x²＋2x－35＝0的一个解，具体做法如下：

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，如图所示，面积就是x²＋2·x·1＋1²，即x²＋2x＋1.而由原方程x²＋2x－35＝0变形得x²＋2x＋1＝35＋1，即边长为x＋1的正方形的面积为36.所以(x＋1)²＝36，则x＝5.

(1)上述求解过程中所用的解题方法是________；

A．直接开平方法 B．公式法

C．配方法 D．因式分解法

(2)所用的数学思想是________；

A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数思想

(3)山西某特产专卖店销售某品牌的枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现：每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋．若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，每袋的售价为x元，求y与x的函数表达式，再利用(1)中方法求出当x是多少时，利润y有最大值，最大利润是多少？

23.(13分)综合与探究：

如图，抛物线y＝ax²＋x＋c与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点E的坐标．

答案

一、1.D　2.D　3.D　4.C　5.A

6．A　7.D　8.A　9.D　10.C

二、11.4　12.y＝x²＋1　

13．36　14.y₁＝y₂＞y₃

15．y＝x²－x－2　点拨：∵tan ∠ACO＝，

∴＝，

∴OC＝2OA.

∵CO＝BO，

∴BO＝2AO.

又∵AB＝AO＋BO，AB＝3，

∴AO＝1，BO＝2，CO＝2，

∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(2，0)，(0，－2)．

把(－1，0)，(0，－2)代入y＝x²＋bx＋c，

得

解得

∴抛物线的表达式是y＝x²－x－2.

三、16.解：(1)原式＝＋×＋×

＝＋＋1

＝2.

(2)原式＝2×－3×1×＋4×

＝1－＋2

＝.

17．解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，∵sin B＝＝，AB＝3，

∴AD＝1.

在Rt△ACD中，∵tan C＝＝，AD＝1，

∴CD＝，

∴AC＝＝＝.

18．解：(1)对于y₂＝x－3，当y₂＝0时，x＝3，

当x＝0时，y₂＝－3，

∴A(3，0)，B(0，－3)．

将A(3，0)，B(0，－3)的坐标代入y＝x²＋bx－c，

得

解得

∴该抛物线的表达式为y＝x²－2x－3.

(2)当y₁<y₂时，x的取值范围为0＜x＜3.

19．解：(1)由题图可知，抛物线的顶点坐标为(6，4)，且过点(12，0)，

设抛物线的表达式为y＝a(x－6)²＋4，

则0＝a(12－6)²＋4，

解得a＝－.

即这个拱形桥洞所在抛物线的表达式为y＝－(x－6)²＋4.

(2)当x＝×(12－4)＝4时，y＝－×(4－6)²＋4＝＞3，

∴货船能顺利通过此桥洞．

20．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

∴∠B＋∠BAE＝90°，∠DAF＋∠D＝90°，

∴∠BAE＝∠DAF.

(2)解：∵AE⊥BC，

∴tan∠BAE＝＝.

∵AE＝4，∴BE＝3，

∴AB＝＝5，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD＝AB＝5.

∵∠BAE＝∠DAF，

∴tan∠DAF＝，

在Rt△ADF中，DF＝AF·tan∠DAF＝6×＝，

∴CF＝CD－DF＝.

21．解：(1)第二小组的数据无法计算出河宽．

(2)(任选其一即可)选择第一小组的方案及其数据的解法：

∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，

∴∠BHC＝∠BCH＝35°，

∴BC＝BH＝60 m，

∴AH＝BH·sin 70°≈60×0.94＝56.4(m)．

选择第三小组的方案及其数据的解法：设AH＝x m，

易知CA＝，AB＝.

∵CA＋AB＝CB，BC＝101 m，

∴＋＝101，

解得x≈56.4.

答：河宽约为56.4 m.

(3)可以通过多次测量取平均值的方法．(合理即可)

22．解：(1)C

(2)B

(3)根据题意得，

y＝(x－20)[200－10(x－30)]

＝－10x²＋700x－10 000

＝－10(x－35)²＋2 250，

∴当x＝35时，y有最大值，最大值为2 250，即最大利润为2 250元．

23．解：(1)由题意，得解得

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋x＋2.

(2)存在．由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线x＝，

∴D，设点P.

∵C(0，2)，

∴CD²＝＋2²＝.

当CP＝CD时，则＋(m－2)²＝，

解得m＝0(舍去)或m＝4，

即点P的坐标为，

当DP＝DC时，则m²＝，

解得m＝±，

综上所述，满足条件的点P的坐标为或或.

(3)点E的坐标为(1，0)或或或(7，0)．

点拨：设点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为，

当BC是对角线时，易得

解得或(舍去)

即点E的坐标为(1，0)；

当BE是对角线时，易得

解得

即点E的坐标为或；

当BF是对角线时，易得

解得或(舍去)

即点M的坐标为(7，0)．

综上，点M的坐标为或或(7，0)或(1，0)．