【332146】苏科九下期中测试卷（2）

期中测试卷（2）

一．选择题

1．下列关系式中y是x的二次函数的是（　　）

A．y= x² B．y= C．y= D．y=ax²

　

2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是抛物线上的点，P₃（x₃，y₃）是直线l上的点，且x₃＜﹣1＜x₁＜x₂，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₃＜y₁ C．y₃＜y₁＜y₂ D．y₂＜y₁＜y₃

　

3．若y﹣4与x²成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（　　）

A．y=x²+4 B．y=﹣x²+4 C．y=﹣ x²+4 D．y= x²+4

　

4．已知二次函数y=（k﹣2）x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2

　

5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x²+2x+ ，则下列结论：

(1)柱子OA的高度为 m；

(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

　

7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（　　）

A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a

　

8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

　

9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　）

A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变

　

10．如图所示，图中共有相似三角形（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

　

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S_△ACD：S_△ABC=1：2，那么S_△AOD：S_△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

　

12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（　　）

A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）

　

二．填空题

13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为　 m.

　

14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿　 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.

　

15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC=　 　.

　

16．如图，△ABC内接于⊙O，D是 上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　.

　

17．二次函数y=﹣x²+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）²+k的形式为 　.

　

18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x=　 　时才能使利润最大．

　

三．解答题

19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax²+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.

(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

　

20．如图，直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+ 经过A，B两点.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.

　

21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C.

(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；

(2)设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时抛物线l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；

(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.

　

22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果 ，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；

(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

　

23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．

(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.

(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.

(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？

　

24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.

(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；

(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF= BF？请写出探究结果，并说明理由.

答案

一．选择题

1．下列关系式中y是x的二次函数的是（　　）

A．y= x² B．y= C．y= D．y=ax²

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数的定义判定即可．

【解答】解：A、y= x²，是二次函数，正确；

B、y= ，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；

C、y= ，分母中含自变量，不是二次函数，错误；

D、a=0时，不是二次函数，错误．

故选A．

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．

　

2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是抛物线上的点，P₃（x₃，y₃）是直线l上的点，且x₃＜﹣1＜x₁＜x₂，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₃＜y₁ C．y₃＜y₁＜y₂ D．y₂＜y₁＜y₃

【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】设点P₀（﹣1，y₀）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物线开口向下即可得出y₃＞y₀，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出y₀＞y₁＞y₂，进而即可得出y₂＜y₁＜y₃，此题得解．

【解答】解：设点P₀（﹣1，y₀）为抛物线的顶点，

∵抛物线的开口向下，

∴点P₀（﹣1，y₀）为抛物线的最高点．

∵直线l上y值随x值的增大而减小，且x₃＜﹣1，直线l在抛物线上方，

∴y₃＞y₀．

∵在x＞﹣1上时，抛物线y值随x值的增大而减小，﹣1＜x₁＜x₂，

∴y₀＞y₁＞y₂，

∴y₂＜y₁＜y₃．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设点P₀（﹣1，y₀）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y₂＜y₁＜y₀＜y₃是解题的关键．

　

3．若y﹣4与x²成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（　　）

A．y=x²+4 B．y=﹣x²+4 C．y=﹣ x²+4 D．y= x²+4

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据正比例函数的定义可设y﹣4=kx²，然后把x=2，y=6代入可计算出k的值，则可得到y与x的函数关系式．

【解答】解：根据题意得y﹣4=kx²，

当x=2，y=6，则4k=6﹣4，解得k= ，

所以y﹣4= x²，

即y与x的函数关系式为y= x²+4．

故选D．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了正比例函数的定义．

　

4．已知二次函数y=（k﹣2）x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x²+2x+1的图象与x轴有交点，

∴一元二次方程（k﹣2）x²+2x+1=0有解，

∴ ，

解得：k≤3且k≠2．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

　

5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x²+2x+ ，则下列结论：

(1)柱子OA的高度为 m；

(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．

【解答】解：当x=0时，y= ，故柱子OA的高度为 m；(1)正确；

∵y=﹣x²+2x+ =﹣（x﹣1）²+2.25，

∴顶点是（1，2.25），

故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；

解方程﹣x²+2x+ =0，

得x₁=﹣ ，x₂= ，

故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．

　

6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

【考点】S1：比例的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据合比性质，可判断A，根据分比性质，可判断B，根据合比性质、反比性质，可判断C，根据分比性质、反比性质，可判断D．

【解答】解：A、由合比性质，得 = ，故A正确；

B、由分比性质，得 = ，故B正确；

C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质，得 = ，再由反比性质，得 = ，故C正确；

D、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质，得 = ．再由反比性质，得 = ，故D错误；

故选；D．

【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键．

　

7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（　　）

A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a

【考点】S3：黄金分割．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接根据黄金分割的定义求解．

【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，

∴BE= AB= •2a=（ ﹣1）a．

故选B．

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

　

8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．

【解答】解：∵DF∥AC，

∴ = ，

∵DE∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴DE=CF，

∴ = ，故A正确；

∵DE∥BC，

∴ = ，故B正确；

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴ = ， = ，故C错误；

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴ = ， = ，

∴ = ，故D正确；

故选C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．

　

9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　）

A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变

【考点】S5：相似图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．

【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，

∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，

故选D．

【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是解此题的关键．

　

10．如图所示，图中共有相似三角形（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

【考点】S8：相似三角形的判定；M5：圆周角定理．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证．

【解答】解：共四对，分别是△PAC∽△PBD、△AOC∽△DOB、

△AOB∽△COD、△PAD∽△PCB．

故选C．

【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．

　

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S_△ACD：S_△ABC=1：2，那么S_△AOD：S_△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先根据S_△ACD：S_△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S_△AOD：S_△BOC是多少即可．

【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S_△ACD：S_△ABC=1：2，

∴AD：BC=1：2；

∵AD∥BC，

∴△AOD～△BOC，

∵AD：BC=1：2，

∴S_△AOD：S_△BOC=1：4．

故选：B．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．

　

12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（　　）

A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．

【解答】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2，

则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点为：（﹣2a，﹣2b）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．

　

二．填空题

13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为　 m.

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由小丽与旗杆的长度之比等于影子之比求出所求即可．

【解答】解：根据题意得： = ，

解得：x=10.4，

则旗杆的高约为10.4m，

故答案为：10.4

【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．

　

14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿　 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.

【考点】S3：黄金分割；1H：近似数和有效数字．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．

【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则

=0.618，

解得：x≈4.8cm．

经检验知x≈4.8是原方程的解，

答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．

故本题答案为：4.8．

【点评】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．

　

15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC=　 　.

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】如图，首先证明△ADE∽△ABC，列出比例式即可解决问题．

【解答】解：如图，∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ ，

故答案为4：5．

【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理、准确找出图形中的对应线段是解题的关键．

　

16．如图，△ABC内接于⊙O，D是 上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　.

【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．

【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，

∴∠ADB=∠ACE，

当∠DAB=∠CAE时，△ADB∽△ACE．

故答案为∠DAB=∠CAE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．

　

17．二次函数y=﹣x²+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）²+k的形式为 　.

【考点】H9：二次函数的三种形式．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．

【解答】解：∵y=﹣x²+2x﹣3

=﹣（x²﹣2x）﹣3

=﹣（x﹣1）²﹣2．

故答案为：y=﹣（x﹣1）²﹣2．

【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．

　

18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x=　 　时才能使利润最大．

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．

【解答】解：设获得的利润为w元，由题意可得，

w=（x﹣40）（100﹣x）=﹣（x﹣70）²+900，

∴当x=70时，w取得最大值，

故答案为：70．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

　

三．解答题

19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax²+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.

(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；

(3)当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．

【解答】解：

(1)在y=ax²+bx+4中，令x=0可得y=4，

∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x²+ x+4；

(2)由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ t²+ t+4），

∴PB=10﹣t，PE=﹣ t²+ t+4﹣4=﹣ t²+ t，

∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，

∴△PBE∽△OCD，

∴ = ，即BP•OD=CO•PE，

∴2（10﹣t）=4（﹣ t²+ t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），

∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；

(3)当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，

∴∠CQO+∠AQB=90°，

∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴ = ，即OQ•AQ=CO•AB，

设OQ=m，则AQ=10﹣m，

∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，

①当m=2时，CQ= =2 ，BQ= =4 ，

∴sin∠BCQ= = ，sin∠CBQ= = ，

∴PM=PC•sin∠PCQ= t，PN=PB•sin∠CBQ= （10﹣t），

∴ t= （10﹣t），解得t= ，

②当m=8时，同理可求得t= ，

∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为 或 ．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在(1)中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在(2)中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在(3)中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

　

20．如图，直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+ 经过A，B两点.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；

(2)由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(3)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

【解答】解：

(1)∵直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0， ），

∴OB=3，OC= ，

∴tan∠BCO= = ，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴ =tan30°= ，即 = ，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

(2)∵抛物线y=ax²+bx+ 经过A，B两点，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x²+ x+ ；

(3)∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH= DM，MH= DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣ t²+ t+ ），则D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t²+ t+ ），则D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t²+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t²+ t=﹣ （t﹣ ）²+ ，

∴当t= 时，DM有最大值，最大值为 ，

此时 DM= × = ，

即△DMH周长的最大值为 ．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

　

21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C.

(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；

(2)设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时抛物线l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；

(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H7：二次函数的最值．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)把x=2，y=1代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；

(2)根据坐标的特征求出y_c，根据平方的非负性求出y_c的最大值，根据二次函数的性质比较y₁与y₂的大小；

(3)根据把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），代入计算即可．

【解答】解：(1)把x=2，y=1代入y=﹣（x﹣h）²+1，得：h=2，

∴解析式为：y=﹣（x﹣2）²+1，

∴对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，1）；

(2)点C的横坐标为0，则y_c=﹣h²+1，

∴当h=0时，y_c有最大值为1，

此时，抛物线为：y=﹣x²+1，对称轴为y轴，

当x≥0时，y随着x的增大而减小，

∴x₁＞x₂≥0时，y₁＜y₂；

(3)把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），

把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）²+1，得：h=0或h=﹣2．

但h=﹣2时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去，

同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）²+1，

得：h=﹣5或h=﹣3（舍去），

∴h的值为0或﹣5．

【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．

　

22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果 ，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；

(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

【考点】S3：黄金分割；K3：三角形的面积．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；

(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．

【解答】解：∵ ， ，

又∵D是AB的黄金分割点，

∴ ，

，

∴CD是△ABC的黄金分割线；

(2)不是．

∵CD是△ABC的中线，

∴AD=DB，

∴ = ，

而 =1，

∴ ≠ ，

∴中线不是黄金分割线．

【点评】主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．

　

23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．

(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.

(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.

(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？

【考点】S4：平行线分线段成比例；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LI：直角梯形．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；

(2)根据平行线分线段成比例求得 = ；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得 = ；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积；

(3)由(2)知，PF=OA=13．分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t）；②PQ=FP；③FQ=FP．

【解答】解：(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13﹣2t=t

∴ ．

(2)不变．

∵ ，

∴ = ，

∵QB∥DE∥PA，

∴ = ，

∴AF=2QB=2t，

∴PF=OA=13，

∴S_△PQF= ；

(3)由(2)知，PF=OA=13，

①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t），

∴ ；

②PQ=FP，

∴ ，

∴ ；

③FQ=FP， ，

∴t=1；

综上，当 或 时，△PQF是等腰三角形．

【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．

　

24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.

(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；

(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF= BF？请写出探究结果，并说明理由.

【考点】SO：相似形综合题．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)先判断出∠BPF=∠EBF=60°，再结合公共角即可得出结论；

(2)同(2)的方法即可得出结论；

(3)先判断出∠BEF=30°，再利用锐角三角函数即可得出结论．

【解答】解：(1)△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，

理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，

∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF，

同理：△BPF∽△BCD

(2)成立，△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，

理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，

∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF，

同理：△BPF∽△BCD

(3)当BD平分∠ABC时，EF= BF，

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBF=30°，

∵∠BPF=60°，∠BFP=90°，

∴∠BEF=60°﹣30°=30°，

在Rt△BEF中，∠EBF=60°，

∴tan60°= ，

即：EF= BF．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，锐角三角函数的意义，解本题的关键是求出∠EBF=60°，是一道比较简单的题目．