21．4　二次函数的应用

第1课时　二次函数的应用(1)

【学习目标】

经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验．

经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验．

【学习重点】

会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．

【学习难点】

从几何背景及实际情景中抽象出函数模型．

情景导入

1．利用配方法求函数y＝－4x²＋80x的最大值．

y＝－4(x²－20x＋10²－10²)

＝－4(x－10)²＋400

当x＝10时，y_最大值＝400

2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得

S＝x(20－2x)＝－2x²＋20x＝－2(x－5)²＋50(0＜x＜10)．∵－2＜0，∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米．

基础知识梳理

阅读教材P₃₆页内容，解决下面的问题：

1．“例1”中，场地面积S与边长x之间是什么关系？

解：二次函数关系．

2．当x取何值时，S最大？

解：当x＝－时，S最大．

3．当场地面积S最大时，该场地是什么图形？

解：正方形．

变式：如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m².

(1)求y与x的函数关系式；

(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．

解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x²＋30x.

(2)由题意：0＜30－3x≤10，即≤x＜10.对称轴为x＝＝－＝5，又当x＞5时，y随x的增大而减小．

∴当x＝m时面积最大，最大面积为m².

技巧：周长一定的四边形，当其为正方形时面积最大．

注意：1.让学生明确自变量改变决定函数值的大小．

2．体会每个变式之间的相同与不同点．

例：如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为多少米？

解：设抛物线解析式为y＝ax²(a≠0)，由题意知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax²，得－2＝4a，a＝－，∴y＝－x²，B点纵坐标为－3，当y＝－3时，－x²＝－3，解得x＝±，∴A(－，－3)，B(，－3)，AB＝2，∴当水面下降1米时，水面宽度为2米．

变式：如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.

　　　　

图1 图2

解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax²＋6.

依题意，得B(10，0)，代入10²a＋6＝0.

解得a＝－0.06，得y＝－0.06x²＋6.

当y＝4.5时，－0.06x²＋6＝4.5，解得x＝±5.

∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．

基础知识训练

1．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为48m.

2．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是米．

3．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5米．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________