22．3实际问题与一元二次方程（第二课时）

◆随堂检测

1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm²，则它的周长为________．

2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大108 ，这两块木板的长和宽分别是（ ）

A、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米

B、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米

C、第一块木板长9米，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7米

D、以上都不对

3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm²，求原来的正方形铁片的面积是多少？

4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

（点拨：设 秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．）

◆典例分析

如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为 ，则每个竖彩条的宽为 ．为更好地寻找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形 ．

解:设每个横彩条的宽为 ，则每个竖彩条的宽为 ．

∴ ， ，

∴矩形 的面积为 （cm ）.

根据题意，得 .

整理，得 .

解方程，得 ,

∵ 不合题意，舍去.∴ .

则 ．

答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm.

◆课下作业

●拓展提高

1、矩形的周长为8 ，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．

2、如图，在 中， 于 且 是一元二次方程 的根，则 的周长为（ ）

A、 B、 C、 D、

3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m²吗？能达到200m²吗？

（2）鸡场的面积能达到210m²吗？

4、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m²，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m³，需要多少天才能把这条渠道挖完？

(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 m.)

5、如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

（1）小岛D和小岛F相距多少海里?

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

(分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．

（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．)

●体验中考

1 、（2009年，青海）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程是（ ）

A、 B、

C、 D、

2 、（2009年，甘肃庆阳）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米²，则修建的路宽应为（ ）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

3、（2008年，庆阳）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？

参考答案：

◆随堂检测

1、32cm. 设长方形铁片的宽是 cm，则长是 cm．

根据题意，得： ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.

2、B. 设第一块木板的宽是 米，则长是 米，第二块木板的长是 米，宽是 米．

根据题意，得：

整理，得： ，

因式分解得， ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .

∴第一块木板的宽是6米，则长是12米，第二块木板的长是18米，宽是10米．故选B.

3、解：原来的正方形铁片的边长是 cm，则面积是 cm²．

根据题意，得： ，

整理，得： ，

因式分解得， ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .∴ .

答：原来的正方形铁片的面积是64cm²．

4、解：设 秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得： （8- ）（6- ）= × ×8×6

整理，得： ，

配方得， ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .

答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

◆课下作业

●拓展提高

1、 , . 设矩形的长 ，则宽为 ．

根据题意，得 .

整理，得 .

用公式法解方程，得 ,

当长为 时,则宽为 .

当长为 时,则宽为 ,不合题意，舍去.

∴矩形的长和宽分别为 和 .

_{2、A. ∵} 是一元二次方程 的根，∴ ，∴AE=EB=EC=1，∴AB= _，BC=2.∴ 的周长为 ，故选A。

3、解：（1）都能达到．

设宽为 m，则长为（40-2 ）m，

依题意，得： （40-2 ）=180

整理，得： ²-20 +90=0， ₁=10+ ， ₂=10- ；

同理 （40-2 ）=200， ₁= ₂=10．

（2）不能达到210m²．∵依题意， （40-2 ）=210，整理得， ²-20 +105=0，

b²-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．

4、解：（1）设渠深为 m，则上口宽为( +2)m，渠底为( +0.4)m.

根据梯形的面积公式可得: （ +2+ +0.4） =1.6,

整理，得：5 ²+6 -8=0,

解得： ₁= =0.8， ₂=-2（舍）

∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．

（2）如果计划每天挖土48m³，需要 =25(天)才能把这条渠道挖完.

答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

5、解：（1）连结DF，则DF⊥BC.

∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．

∴AC= AB=200 海里，∠C=45°.

∴CD= AC=100 海里.

DF=CF， DF=CD.

∴DF=CF= CD= ×100 =100（海里）.

∴小岛D和小岛F相距100海里．

（2）设相遇时补给船航行了 海里，那么DE= 海里，AB+BE=2 海里.

EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2 ）海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 ²=100²+（300-2 ）²

整理，得3 ²-1200 +100000=0.

解这个方程，得： ₁=200- , ₂=200+ .

∵ ₂=200+ 不合题意，舍去.

∴ =200- ≈118.4.

∴相遇时补给船大约航行了118.4海里．

●体验中考

1、B. 依题意, 满足的方程是 ,

整理得 .故选B.

2、A. 设修建的路宽应为 米．

根据题意，得： ，

整理，得： ，

因式分解得， ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .

∴则修建的路宽应为1米.故选A.

3、解：设此长方体箱子的底面宽是 米，则长是 米．

根据题意，得： ，

整理，得： ，

因式分解得， ，

解得， .

∵ 不合题意，舍去．∴ .

∴此矩形铁皮的面积是 （平方米），∴购回这张矩形铁皮共化了 （元）.

答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元.