【331203】21.3　二次函数与一元二次方程

21.3　二次函数与一元二次方程

【学习目标】

理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．

【学习重点】

二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．

【学习难点】

准确理解二次函数与一元二次方程的关系．

旧知回顾：

1．一次函数y＝kx＋b的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程kx＋b＝0的解是x＝4．

2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是x＝－2．

思考：对于二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．

基础知识梳理

观察二次函数y＝x²＋3x＋2的图象，并回答下列问题．

(1)函数图象与x轴有几个交点？

(2)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系？

解：(1)函数图象与x轴有两个交点．(2)从以上观察可以得出，求函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax²＋bx＋c＝0的根．

归纳：二次函数与一元二次方程的关系：

例：若方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x₁＝1，x₂＝2，则抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(2，0)．

变式：二次函数y＝x²－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x²－6x＋n＝0的一个解为x₁＝1，则另一个解x₂＝5．

阅读教材P_31～32页，完成以下问题

例：作出二次函数y＝x²－x－6的图象，根据图象回答下列问题：

(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么；

(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x²－x－6＝0有什么关系．

解：图略．

(1)图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)；与y轴的交点坐标为(0，－6)．

(2)当x＝－2或x＝3时，y＝0.这里x的取值与方程x²－x－6＝0的解相同．

由上述过程我们知道可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的．阅读教材P32的内容，完成下面的仿例：

我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．

变式：用图象法求一元二次方程x²＋2x－1＝0的近似解．

解：设y＝x²＋2x－1.画出抛物线y＝x²＋2x－1的图象如图所示．

由图象知，当x≈0.4或x≈－2.4时，y＝0.即方程x²＋2x－1＝0的近似解为x₁≈0.4，x₂≈－2.4.

基础知识训练

1．已知抛物线y＝x²－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m²－m＋2015的值为(　D　)

A．2013 B．2014 C．2015 D．2016

2．如果一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)两实根为－3及－5，则抛物线y＝ax²＋bx＋c的图象的对称轴是直线x＝－4．

3．已知二次函数y＝－x²＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x²＋2x＋m＝0的解为x₁＝－1，x₂＝3．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑________________________________________________________________________