【331201】21.2降次---解一元二次方程（第五课时）

22．2降次---解一元二次方程（第五课时）

22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

◆随堂检测

1、已知一元二次方程 的两根为 、 ，则 ______．

2、关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为1和2，则 ______， ______．

3、一元二次方程 的两实数根相等，则 的值为（ ）

A． B． 或 C． D． 或

4、已知方程 的两个根为 、 ，求 的值.

◆典例分析

已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．

（1）求实数 的取值范围；

（2）当 时，求 的值．

（提示：如果 、 是一元二次方程 的两根，那么有 ， ）

分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.

解:（1）∵一元二次方程 有两个实数根,

∴△＝ ,∴ .

（2）当 时，即 ,∴ 或 .

当 时，依据一元二次方程根与系数的关系可得 ,

∴ ,∴ .

又∵由（1）一元二次方程 有两个实数根时 的取值范围是 ,∴ 不成立,故 无解；

当 时， ,方程有两个相等的实数根,

∴△＝ ,∴ .

综上所述,当 时， .

◆课下作业

●拓展提高

1、关于 的方程 的两根同为负数，则（ ）

A． 且 B． 且

C． 且 D． 且

2、若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且满足 .则 的值为（ ）

A、－1或 B、－1 C、 D、不存在

(注意: 的值不仅须满足 ,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即 的值必须使得△ 才可以.)

3、已知 、 是方程 的两实数根，求 的值.

4、已知关于 的方程 的一个根是另一个根的2倍，求 的值.

5、已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根．

（1）求 ， 的值；

（2）若 ， 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

●体验中考

1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）

A． B．3 C．6 D．9

(提示：如果直接解方程 ，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)

2、（2008年，黄石）已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根,则式子 的值是（ ）

A． B． C． D．

参考答案：

◆随堂检测

1、 . 依据一元二次方程根与系数的关系可得 .

2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得 ，

∴ .

3、B. △＝ ，∴ 或 ，故选B.

4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ，

∴ .

◆课下作业

●拓展提高

1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，当方程 的两根 同为负数时， ，∴ 且 ，故选A.

2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，

∵ ，∴ ，解得 ， .

当 时,△＝ , 此时方程无实数根,故 不合题意,舍去.

当 时,△＝ ,故 符合题意.综上所述, .故选C.

3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ，

∴ .

4、解：设方程 的两根为 、 ，且不妨设 .

则由一元二次方程根与系数的关系可得： ，

代入 ,得 ,∴ , .

5、解：（1）原方程变为：

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴ ， ．

（2）∵直角三角形的面积为 =

=

= ，

∴当 且m＞－2时，以x₁，x₂为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 或 ．

●体验中考

1、B. 设 和 是方程 的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： ∴ ，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.

2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，

∴ .故选D.