22．2降次---解一元二次方程（第五课时）
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
◆随堂检测
1、已知一元二次方程
的两根为
、
，则
______．
2、关于
的一元二次方程
的两个实数根分别为1和2，则
______，
______．
3、一元二次方程
的两实数根相等，则
的值为（
）
A．
B．
或
C．
D．
或
4、已知方程
的两个根为
、
，求
的值.
◆典例分析
已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
和
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）当
时，求
的值．
（提示：如果
、
是一元二次方程
的两根，那么有
，
）
分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求
的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.
解:（1）∵一元二次方程
有两个实数根,
∴△＝
,∴
.
（2）当
时，即
,∴
或
.
当
时，依据一元二次方程根与系数的关系可得
,
∴
,∴
.
又∵由（1）一元二次方程
有两个实数根时
的取值范围是
,∴
不成立,故
无解；
当
时，
,方程有两个相等的实数根,
∴△＝
,∴
.
综上所述,当
时，
.
◆课下作业
●拓展提高
1、关于
的方程
的两根同为负数，则（
）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
2、若关于
的一元二次方程
的两个实数根分别是
,且满足
.则
的值为（
）
A、－1或
B、－1
C、
D、不存在
(注意:
的值不仅须满足
,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即
的值必须使得△
才可以.)
3、已知
、
是方程
的两实数根，求
的值.
4、已知关于
的方程
的一个根是另一个根的2倍，求
的值.
5、已知
，
是关于
的方程
的两个实数根．
（1）求
，
的值；
（2）若
，
是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
●体验中考
1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程
的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
）
A．
B．3
C．6
D．9
(提示：如果直接解方程
，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)
2、（2008年，黄石）已知
是关于
的一元二次方程
的两个实数根,则式子
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
◆随堂检测
1、
.
依据一元二次方程根与系数的关系可得
.
2、－3,2
依据一元二次方程根与系数的关系可得
，
∴
.
3、B.
△＝
，∴
或
，故选B.
4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴
.
◆课下作业
●拓展提高
1、A.
由一元二次方程根与系数的关系可得：
，当方程
的两根
同为负数时，
，∴
且
，故选A.
2、C.
由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∵
，∴
，解得
，
.
当
时,△＝
,
此时方程无实数根,故
不合题意,舍去.
当
时,△＝
,故
符合题意.综上所述,
.故选C.
3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴
.
4、解：设方程
的两根为
、
，且不妨设
.
则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
代入
,得
,∴
,
.
5、解：（1）原方程变为：
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
．
（2）∵直角三角形的面积为
=
=
=
，
∴当
且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为
或
．
●体验中考
1、B.
设
和
是方程
的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：
∴
，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.
2、D
由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴
.故选D.