21.2.3　二次函数表达式的确定

【学习目标】

1．会用待定系数法求二次函数的表达式．

2．经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识．

【学习重点】

用待定系数法求二次函数的解析式．

【学习难点】

由条件灵活选择解析式类型．

旧知回顾：

1．正比例函数图象经过点(1，－2)，该函数解析式是y＝－2x．

2．在直角坐标系中，直线l过(1，2)和(3，－1)两点，求直线l的函数关系式．

解：设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把(1，2)、(3，－1)代入上式得解方程组得∴直线l的函数关系式为y＝－x＋.

思考：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们确定正比例函数y＝kx(k≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y＝ax²＋bx＋c的关系式，需要几个条件呢？

基础知识梳理

知识模块一　利用三点求二次函数y＝ax²＋bx＋c的解析式

阅读教材P_21～22，完成下面的内容：

通过学习，你会发现求y＝ax²＋bx＋c的解析式需要三个独立条件．

例：已知二次函数经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)，求这个二次函数解析式．

解：设二次函数解析式为y＝ax²＋bx＋c，∵二次函数y＝ax²＋bx＋c过点(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点．∴解得，∴所求二次函数的解析式为y＝2x²－3x＋5.

归纳：求二次函数的解析式y＝ax²＋bx＋c，需要求出a，b，c的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式．

变式：有一个二次函数，当x＝0时，y＝－1，当x＝－2时，y＝0；当x＝时y＝0，求这个二次函数解析式．

解：设所求二次函数表达式为y＝ax²＋bx＋c，由题意得解方程组得，答所求二次函数表达式为y＝x²＋x－1.

例：已知抛物线的顶点为(－2，5)，且点(1，－4)在抛物线上，求抛物线的解析式．

解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，5)，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)²＋5.∵抛物线过点(1，－4)，∴(1＋2)²·a＋5＝－4，解得a＝－1.∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋2)²＋5.

变式：如图，抛物线的对称轴为y轴，求图中抛物线的解析式．

解：∵抛物线上一点坐标为(0，3)，∴可设抛物线解析式为y＝ax²＋3.∵抛物线上一点坐标为(1，1)，∴1＝a＋3.解得a＝－2.∴抛物线解析式为y＝－2x²＋3.

基础知识训练

1．已知二次函数的图象经过点(2，－1)，并且当x＝5时有最大值4，则二次函数解析式为y＝－(x－5)²＋4．

2．一条抛物线的形状与抛物线y＝－7(x－5)²相同，其顶点坐标是(－9，6)，这个抛物线解析式为y＝－7(x＋9)²＋6．

3．抛物线图象经过(－1，11)、(1，9)、(0，0)三点，这个图象对应的函数解析式为y＝10x²－x．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑________________________________________________________________________