21.2　二次函数的图象和性质

21.2.1　二次函数y＝ax²的图象和性质

【学习目标】

1．能够利用描点法作出y＝ax²的图象，并能根据图象认识和理解y＝ax²的图象和性质．

2．经历画二次函数y＝ax²的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．

【学习重点】

会画y＝ax²的图象，理解其性质．

【学习难点】

结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．

画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x、y的对应值)；

2．描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x、y))；

3．连线(用光滑曲线)．

旧知回顾：(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．

特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是过原点的直线．

(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．

(3)我们把形如y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．

基础知识梳理

阅读教材P_5～6页的内容，回答以下问题：

1．在画二次函数y＝x²的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？

自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．

2．二次函数y＝x²的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

3．观察y＝x²，y＝2x²的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标．

4．根据函数y＝x²，y＝2x²图象特点，总结y＝ax²(a＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．

二次函数y＝ax²(a＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成)

二次函数y＝ax2(a＞0)
图象的形状	图象的特点	图象的性质
1.	向x轴左右方向无限延伸	自变量x的取值范围是全体实数
2.	是轴对称图形，对称轴是y轴	对于x和－x可得到相同的函数y
3.	在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的	当x＜0时，函数y随x的增大而减小；当x＞0时，函数y随x的增大而增大
4.	顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸	当x＝0时，函数取得最小值，y最小值＝0，且y没有最大值，即y≥0

　5.观察y＝－x²、y＝－2x²的图象，指出它们与y＝x²、y＝2x²图象的不同之处．

它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x＝0，函数取得最大值，y_最大值＝0且y没有最小值即y≤0，在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．当x＜0，y随x增大而增大，当x＞0时，函数y随x的增大而减小．

6．(1)a＞0与a＜0时，函数y＝ax²图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？

答：一般地，抛物线y＝ax²的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．

例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝x²，y＝－3x²，y＝x²的共同特点是(　D　)

A．关于y轴对称，抛物线开口向上

B．关于y轴对称，y随x的增大而增大

C．关于y轴对称，y随x的增大而减小

D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点

例2：已知函数y＝(m＋2)xm²＋m－4是关于x的二次函数，求：

(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

解：(1)m＝2或m＝－3；

(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．

基础知识训练

1．若(－5，2)在抛物线y＝ax²上，则________一定也在该抛物线上(　A　)

A．(5，2) B．(－2，－5)

C．(－5，－2) D．(0，2)

2．函数y＝5x²的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________