第1课时 二次函数与一元二次方程

●基础练习

1.如果抛物线y=－2x²+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.

2.二次函数y=－2x²+x－ ，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).

3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图1所示.

①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.

图1 图2

4.某一元二次方程的两个根分别为x₁=－2，x₂=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)

5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x²－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x²－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).

6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).

7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).

8

.若抛物线y=x²－(2k+1)x+k²+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.

9.已知二次函数y=ax²+bx+ c(a≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).

10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.

11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.

(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.

(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.

(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.

(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.

12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的

零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.

13.关于二次函数y=ax²+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）

①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;

③函数的图象最高点的纵坐标是 ;

④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

14.已知抛物线y=ax²+bx+c如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c－8=0的根的情况是

A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;

C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.

15.抛物线y=kx²－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )

A.k>－ ; B.k≥－ 且k≠0; C.k≥－ ; D.k>－ 且k≠0

16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形A BCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m²，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )

A. m B.6 m C.15 m D. m

图4 图5 图6

17.二次函数y=x²－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为( )

A.1 B.3 C.4 D.6

18.无论m为任何实数，二次函数y=x²+(2－m)x+m的图象总过的点是( )

A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)

19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax²+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )

①a<－ ②－ <a<0 ③a －b+c>0 ④0<b<－12a

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

20.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t².当h=20 m时，小球的运动时间为 （ ）

A.20 s B.2 s C.(2 +2) s D.(2 －2) s

21.如果抛物线y=－x²+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )

A.m>1 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1

22.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x²+bx+c的图象过点c且 与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )

A.(－ ， ) B.(－ ， ) C.( ， ) D.( ，－ )

23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )

A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5

24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－ x²+ x+ ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )

A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m

图7 图8 图9

25.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )

A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.

(1)y= x²+x+1; (2)y=4x²-8x+4; (3)y=-3x²-6x-3; (4)y=-3x²-x+4

27.一元二次方程x²+7x+9=1的根与二次函数y=x²+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.

28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.

(1)4x²-8x+1=0; (2)x²-2x-5=0;

(3)2x²-6x+3=0; (3)x²-x-1=0.

29.已知二次函数y=-x²+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.

●能力提升

30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函 数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

31.已知二次函数y=(m²－2)x²－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y= x+1上，求这个二次函数的表达式.

32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏 程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v²来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;

(1)列表表示I与v的关系.

(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？

34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手， 问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.

35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).

(1)根据图象你可获得哪些 关于该公司的具体信息？(至少写出三条)

(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.

36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？

●综合探究

37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？

38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：

(1)按照要求填表：

n	1	2	3	4	…
S	1	3	6		…

(2)写出当n=10时，S=______;

(3)根据上表中的数据 ，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;

(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.

参考答案

1.2 2. 大 － 没有

3.①x²－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y=x²－3x－10

5 . m>  无解 6.y=－x²+x－1 最大

7 .y=－ x²+2x+1 16.5

8. 2 9.b²－4ac>0(不唯一)

10 . 15 cm cm²

11.(1)A (2 )D (3)C (4)B

12. 5 625

13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B

20.B 21.B 22.A 23.C 24.D

25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)²+k,

∴A(0，10)，M(1， ).

∴y=a(x－1)²+ ，10=a+ .

∴a=－ .

∴y=－ (x－1)²+ .

令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),

即B点离墙的距离OB是3 m

26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0),草图略.

27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.

28.(1)x₁≈1.9,x₂≈0.1;(2)x₁≈3.4,x₂≈-1.4;(3)x₁≈2.7,x₂≈0.6;(4)x₁≈1.6,x₂≈-0 .6

29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).

解方程-x²+4x-3=0,得x₁=1,x₂=3.

故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).

所以AC=3-1=2,AB= ,BC= , OB=│-3│=3.

C_△ABC=AB+BC+AC= .

S_△ABC= AC·OB= ×2×3=3.

30．(1)y=－2x²+180x－2800.

(2)y=－2x²+180x－2800

=－2(x²－90x)－2800

=－2(x－45)²+1250.

当x=45时，y_最大=1250.

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.

31．∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y= x+1上.

∴y= ×2+1=2.

∴y=(m²－2)x²－4mx+n的图 象顶点坐标为(2，2).

∴－ =2.∴－ =2.

解得m=－1或m=2.

∵最高点在直线上，∴a<0,

∴m=－1.

∴y=－x²+4x+n顶点为(2，2).

∴2=－4+8+n.∴n=－2.

则y=－x²+4x+2.

32(1)依题意得

鸡场面积y=－

∵y=－ x²+ x= (x²－50x)

=－ (x－25)²+ ,

∴当x=25时，y_最大= ,

即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为 m².

(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为 m.

∴y= ·x=－ x²+ x

=－ (x²－50x ) =－ (x－25)²+ ,

当x=25时，y_最大= ,

即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m².

结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.

33(1)如下表

v	…	－2	－1	－	0		1	2	3	…
I	…	8	2		0		2	8	18	…

(2)I=2·(2v)²=4×2v^2­­.

当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.

34(1)设抛物线的表达式为y= ax²+bx+c.

由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).

∴抛物线的表达式为y=－0.2x²+3.5.

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为

h+1.8+0.25=(h+2.05) m,

∴h+2.05=－0.2×(－2.5)²+3.5,

∴h=0.2(m).

35 (1)信息：

①1、2月份亏损最多达2万元.

②前4月份亏盈吃平.

③前5月份盈利2.5万元.

④1~2月份呈亏损增加趋势.

⑤2月份以后开始回升.(盈利)

⑥4月份以后纯获利

……

(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为

y= (x－2)²－2,

当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).

36．设m=a+b y= a·b,

∴y=a(m－a)=－a²+ma=－(a－ )²+ ,

当a= 时，y最大值为 .

结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.

37．(1)由题意知：p=30+x,

(2)由题意知

活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,

死蟹的销售额为200x元.

∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x²+900x+30000.

(3)设总利润为

L=Q－30000－400x=－10x²+500x

=－10(x²－50x) =－10(x－25)²+6250.

当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.

38．(1)10 (2)55 (3)(略).

(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.

设 函数的解析式 为S=an²+bn+c.

由题意知

∴S=