【331189】21.2 第1课时 二次函数与一元二次方程1

22.2 二次函数与一元二次方程

第1课时 二次函数与一元二次方程

●基础训练

1.已知二次函数y=ax²-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:

(1) a=_______,c=______.

(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.

(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.

(4)当x_____时,y随x的增大而减小.

当x_____时,y随x的增大而增大.

(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;

与y轴交点C 的坐标为_______;

=_________, =________.

(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.

(7)方程ax²-5x+c=0中△的符号为________.方程ax²-5x+c=0的两根分别为_____,____.

(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.

2.已知下表:

x	0	1	2
ax2		1
ax 2+bx+c	3		3

(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；

(2)请你根据上面的结果判断:

①是否存在实数x,使二次三项式ax²+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.

②画出函数y=ax²+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax²+ bx+c>0?

3.请画出适当的函数图象,求方程x²= x+3的解.

4.若二次函数y=- x²+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).

(1)求这个二次函数的关系式;

(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?

5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.

(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;

(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?

(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;

(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.

●能力提升

6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.

(1 )求矩形各顶点坐标;

(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;

(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.

7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x= .

(1)求这条抛物线的关系式.

(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.

8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.

(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;

(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?

9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P= x²+5x+1000,Q=- +45.

(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;

(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?

10.已知抛物线y=2x²-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.

11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA²+OB²= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0的两个根.

(1)求C点的坐标;

(2)以斜边AB为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.

(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明 理由.

●综合探究

12.已知抛物线L;y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是 ,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.

(1)请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:

伴随抛物线的关系式_________________

伴随直线的关系式___________________

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:

(3)求抛物线L:y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;

(4)若抛物线L与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点x₂>x₁>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.

答案：

1.(1)a=1;c=4 (2)直线x= , (3)小; ;

(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1<x<4

(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>

2.(1)由表知,当x=0时,ax²+bx+c=3;当x=1时,ax²=1;当x=2时,ax²+bx+c=3.

∴ ,∴ ,

∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.

(2)①在x²-2x+3=0中,∵△=(-2)²-4×1×3=-8<0,

∴不存在实数x能使ax²+bx+c=0.

②函数y=x²-2x+3的图象示意图如答图所示,

观 察图象得出,无论x取什么实数总有ax²+bx+c>0.

3.:在同一坐标系中如答图所示,

画出函数y=x²的图象,画出函数y= x+3 的图象,

这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标 和2

就是方程x²= x+3的解.

4.:(1)∵y= x²+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得

∴ , ,

∴y= .

(2)∵y= =

∴顶点坐标为(-3,2),

∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.

5.:(1)函数的图象如答图所示.

(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.

(3)设所求函数关系式为:s=av²+bv+c,

把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av²+bv+c,

得 , 解得 .

∴

(4)当v=80时,

∵s=52.5, ∴

当v=112时,

∵s=94.5,∴

经检验,所得结论是正确的.

6.:(1)如答图所示.

∵y=x-2,AD=BC=2,设 C点坐标为(m,2),

把C(m,2)代入y=x-2,

2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,

∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).

(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).

设 经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax²+bx+c,

∴ , 解得

∴y= .

(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.

∵y= , ∴顶点为 .

∵ , ∴顶点 在矩形ABCD内部.

7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax²+bx+c,

∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x= .

∴ , 解得

∴y= .

(2)证明:令y=0,得 =0, ∴

∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E (0,-3).

设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,

∴k= ,∴y= x-3 .

由 x-3=0,得x= .

故C为 ,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,

在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.

又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD.

若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.

8:(1)图中各点字母表示如答图所示.

∵ OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.

∴点D坐标为(1.5,3.05).

∵抛物线顶点坐标(0,3.5),

∴设所求抛物线的关系式为y=a x²+3.5,

把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.5²+3.5,

∴ a=-0. 2,∴y=-0.2x²+3.5

(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),

∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x²+3.5,

得m=- 0.2×2.5²+3.5=2.25.

∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).

9:(1)∵P= x²+5x+1000,Q=- +45.

∴W=Qx-P=(- +45)-( x²+5x+1000)= .

(2)∵W= =- (x-150)²+2000.

∵- <0,∴W有最大值.

当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元 .

当x=150吨,Q=- +45=40(元).

10:∵y=2x²-kx-1,∴△=(-k)²-4×2×(-1)=k²+8>0,

∴无论k为何实数, 抛物线y=2x²-kx-1与x轴恒有两个交点.

设y=2x²-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x₁,x₂,且规定x₁<2,x₂> 2,

∴x₁-2<0,x₂-2>0.

∴(x₁-2)(x₂-2)<0 ,∴x₁x₂-2(x₁+x₂)+4<0.

∵x₁,x₂亦是方程2x²-kx-1=0的两个根,

∴x₁+x₂= ,x₁·x₂=- ,

∴ ,∴k> .

∴k的取值范围为k> .

法二:∵抛物线y=2x²-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,

∴此函数的图象大致位置如答图所示.

由图象知:当x=2时,y<0.

即y=2×2²-2k-1<0,∴k> .∴k的取值范围为k> .

11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0 的两个根,

∴

又∵OA²+OB²=17,∴(OA+OB)²-2·OA·OB=17.③

把①,②代入③,得m²-4(m-3) =17,∴m²-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.

∴当m= 5时,得方程:x²-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.

∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC²=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,

∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为

y=ax²+bx+c,则 ,解之,得

∴所求抛物线关系式为y= .

(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.

∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.

∵圆心的坐标( ,0 )在抛物线的对称轴上.

∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.

∴点E关于抛物线对称轴的对称点 E′也符合题意.

∴可求得E′(3,-2).

∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)

12.(1)y=-2x²+1,y=-2x+1.

(2)y=x²-2x-3

(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),

∴设它的解析式为y=m(x-0)²+c(m≠0).

∴设抛物线过P ,

∴

解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax²+c.

设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).

∵P 在此直线上,∴ , ∴k= .

∴伴随直线关系式为y= x+c

(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△₁=b²-4ac>0,∴b²<4ac.

∵x₂>x₁>0,∴x₁+ x₂= - >0,x₁x₂= >0,∴ab<0,ac>0.

对于伴随抛物线y=-ax²+c,有△₂=0²-(-4ac)=4ac>0.由-ax²+c=0,得x= .

∴ ,∴CD=2 .

又AB=x₂-x₁= .

由AB=CD ,得 =2 , 整理得b²=8ac,综合b²>4ac,ab<0,ac>0,b²=8 ac,得a,b,c满足的条件为b²=8ac且ab<0,(或b²=8ac且bc<0).