5.4　二次函数的图象和性质(2)

教学目标

1．会用描点法画函数y＝ax²＋k和函数y＝a(x＋m)² （a≠0）的图象；

2．能用平移变换解释二次函数y＝ax²＋k、y＝a(x＋m)²和二次函数y＝ax²（a≠0）的位置关系；

3．能根据图象认识和理解二次函数y＝ax²＋k、y＝a(x＋m)²（a≠0）的性质；

4．体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．

教学重点

从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y＝ax²＋k、y＝a(x＋m)²的图象和二次函数y＝ax²的（a≠0）位置关系．

教学难点

从二次函数y＝ax²＋k、y＝a(x＋m)²的图象和二次函数y＝ax²（a≠0）的图象的异同从中体会它们之间的关系．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

回顾与猜想

你还记得二次函数y＝x²的图象是怎样的吗？

那么y＝x²＋1的图象与y＝x²的图象有什么关系？

回顾二次函数y＝x²图象的性质，为本节课学习打下基础．

新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望．

活动一：画图与观察

1．填表： 画函数y＝x²和y＝x²＋1的图象．

2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x²＋1的图象和y＝x²的图象；

3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？

（2）从对应点的位置看：函数y＝x²＋1的图象和y＝x²的图象的位置有什么关系？

（3）根据图象，你能得出函数y＝x²＋1的图象的性质吗？

4．猜想：函数y＝x²－2的图象和y＝x²的图象的位置有何关系？函数y＝x²－2的图象有哪些性质？

按照列表、描点、连线的过程画函数图象．

画图，观察、思考并交流提出的问题．

学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图象位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化；新问题y＝ax²＋k将k的取值由1变为－2，丰富了学生对上下平移的认识．

总结与归纳

思考：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax²＋k的图象与函数y＝ax²（a≠0）的图象有什么关系？

（2）二次函数y＝ax²＋k（a≠0）有什么性质？

学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：

1. 函数y＝ax²＋k的图象可以看成函数

y＝ax²（a≠0）的图象上下平移得到，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移－k个单位．

（2）函数y＝ax²＋k顶点坐标是（0，k），对称轴是y轴．

通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝ax²＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分

a＞0和a＜0来讨论．

活动二：观察与思考

1．填表：画函数y＝x²和y＝(x＋3)²的图象．

2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x²与函数y＝(x＋3)²的图象；

3．观察：（1）从表格的数值看：函数y＝(x＋3)²与函数

y＝x²的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？

（2）从对应点的位置看：函数y＝(x＋3)²的图象与y＝x²的图象的位置有什么关系？

（3）根据图象，你能得出函数y＝(x＋3)²图象的性质吗？

4．猜想：函数y＝(x－1)²的图象和y＝x²的图象的位置有何关系？函数y＝(x－1)²的图象有哪些性质？

按照列表、描点、连线的过程画函数图象．

学生画图，观察、思考并交流提出的问题．

与活动一类似：也按照四个层次组织活动二，将两个表格设计成“错位”的方式，引导学生展开观察和思考活动，引导学生发现函数值相等的两个函数的自变量之间的关系，从中感受函数图象的“平移”关系；进一步感受在平面直角坐标系中，点坐标的变化与图形运动变化之间的关系．

总结与归纳

思考：（1）由上面的例子，函数y＝a(x＋m)²的图象与函数y＝ax²（a≠0）的图象有什么关系？

（2）函数y＝a(x＋m)²有什么性质？

学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：

1. 函数y＝a(x＋m)²的图象可以看成函数

y＝ax²（a≠0）的图象左右平移得到，当m＞0时，向左平移m个单位，当m＜0时，向右平移－m个单位．

（2）函数y＝a(x＋m)²顶点坐标是（－m，0），对称轴是过（－m，0）且平行于y轴的直线．

通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝a(x＋m)²的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分

a＞0和a＜0来讨论，提倡利用图象总结性质，突出“数形结合”的思想．

检验与反馈

课本练习：课本36页练习；

补充练习：

1．将函数y＝2x²－2的图象先向___平移___个单位，

就得到函数y＝2x²的图象，再向___平移___个单位得到函数

y＝2(x－3)²的图象．

2．二次函数y＝－3(x＋4)²的图象开口_____，是由抛物线

y＝－3x²向___平移___个单位得到的；对称轴是_________，当x＝_____时，y有最______值，是______．

3．将二次函数y＝6x²的图象向右平移1个单位后得到函数___________的图象，顶点坐标是_____，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小．

　　学生在画图和练习中，进一步感受二次函数

y＝ax²＋k、y＝a(x＋m)²和二次函数y＝ax²（a≠0）的位置关系．并学会用图象来解决函数开口方向、最大（小）值、对称轴、顶点坐标等问题，体会数学结合思考问题的好处．

　　通过学生练习，培养学生运用知识的能力，加深对知识的理解，体会对“变化与对应”和“数形结合”等数学思想的理解．

小结与反思

本节课我学会了哪些知识和方法？

我对所学知识还有什么疑惑之处？

你认为还有继续探究的问题吗？

　　学生讨论，互相补充，师生共同归纳．

促进学生学会反思，总结知识和方法，将新知识纳入到自己原有的知识体系，学会自我建构．