4.6 一元二次方程根与系数的关系

综合练习

一、填空题：

1、如果关于 的方程 的两根之差为2，那么 。

2、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒数，则 。

3、已知关于 的方程 的两根为 ，且 ，则 。

4、已知 是方程 的两个根，那么： ； ； 。

5、已知关于 的一元二次方程 的两根为 和 ，且 ，则 ； 。

6、如果关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么另一个根是 ， 的值为 。

7、已知 是 的一根，则另一根为 ， 的值为 。

8、一个一元二次方程的两个根是 和 ，那么这个一元二次方程为： 。

二、求值题：

1、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。

2、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。

3、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程 的两根满足关系式 ，求 的值及方程的两个根。

6、已知方程 和 有一个相同的根，求 的值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数 在什么范围取值时，方程 有正的实数根？

2、已知关于 的一元二次方程

（1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值。

3、若 ，关于 的方程 有两个相等的正的实数根，求 的值。

4、是否存在实数 ，使关于 的方程 的两个实根 ，满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的 的值，如果不存在，请说明理由。

5、已知关于 的一元二次方程 （ ）的两实数根为 ，若 ，求 的值。

6、实数 、 分别满足方程 和 ，求代数式 的值。

答案与提示

一、填空题：

1、提示： ， ， ，∴ ，

∴ ，解得：

2、提示： ，由韦达定理得： ， ，∴ ，

解得： ，代入 检验，有意义，∴ 。

3、提示：由于韦达定理得： ， ，∵ ，

∴ ，∴ ，解得： 。

4、提示：由韦达定理得： ， ，

； ；由 ， 可判定方程的两根异号。有两种情况：①设 ＞0， ＜0，则 ；②设 ＜0， ＞0，则 。

5、提示：由韦达定理得： ， ，∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ 。

6、提示：设 ，由韦达定理得： ， ，∴ ，解得： ， ，即 。

7、提示：设 ，由韦达定理得： ， ，∴ ，

∴ ，∴

8、提示：设所求的一元二次方程为 ，那么 ， ，

∴ ，即 ； ；∴设所求的一元二次方程为：

二、求值题：

1、提示：由韦达定理得： ， ，∴

2、提示：由韦达定理得： ， ，∴

3、提示：由韦达定理得： ， ，

∴

4、提示：设这两个数为 ，于是有 ， ，因此 可看作方程 的两根，即 ， ，所以可得方程： ，解得： ， ，所以所求的两个数分别是 ， 。

5、提示：由韦达定理得 ， ，∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，化简得： ；解得： ， ；以下分两种情况：

①当 时， ， ，组成方程组： ；解这个方程组得： ；

②当 时， ， ，组成方程组： ；解这个方程组得：

6、提示：设 和 相同的根为 ，于是可得方程组：

；① ②得： ，解这个方程得： ；

以下分两种情况：（1）当 时，代入①得 ；（2）当 时，代入①得 。

所以 和 相同的根为 ， 的值分别为 ， 。

三、能力提升题：

1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；② ＞0， ＞0；于是可得不等式组：

解这个不等式组得： ＞1

2、提示：（1） 的判别式△

＞0，所以无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：

解这个关于 的方程组，可得到： ， ，由于 ，所以可得 ，解这个方程，可得： ， ；

3、提示：可利用韦达定理得出① ＞0，② ＞0；于是得到不等式组：

求得不等式组的解，且兼顾 ；即可得到 ＞ ，再由 可得： ，接下去即可根据 ， ＞ ，得到 ，即： ＝4

4、答案：存在。

提示：因为 ，所以可设 （ ）；由韦达定理得： ， ；于是可得方程组： 解这个方程组得：①当 时， ；②当 时， ； 所以 的值有两个： ； ；

5、提示：由韦达定理得： ， ，则 ，即 ，解得：

6、提示：利用求根公式可分别表示出方程 和 的根：

， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

又∵ ，变形得： ，∴ ，∴