【331016】4.6 一元二次方程根与系数的关系 同步练习2
4.6 一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、选择题
1.若
,
是一元二次方程
的两个根,则
的值是(
)
A.2 B.1 C.―1 D.3
2.若关于x的一元二次方程
的两个实数根分别是
,且满足
.则k的值为( )
A.-1或
B.-1
C.
D.不存在
3.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为( )
A.-18 B.18 C.-3 D.3
4.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22 的值是( )
A.
B.
C.
D.7
5.若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根x1,x2,且x1·x2>x1+x2-4,则实数m的取值范围是( )
A.m>
B.m≤
C.m<
D.
<m≤
5.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,k的取值是( )
A.3 B.-3 C.1 D.-3或1
6.下列说法中不正确的是( )
A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为-2
B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5
C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18
D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为
7.如果x的方程x2+kx+1=0的两根的差为1,那么k的值为( )
A.±2
B.±
C.±
D.±
8.已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根为2,设方程的另一个根为x1,则有( )
A.x1=
,k=-7
B.x1=-
,k=-7
C.x1=-
,k=7
D.x1=
,k=7
二、填空题
1.已知一元二次方程
的两根为
、
,则
.
2.如果
,
是方程
的两个根,那么
=
.
3.已知
,
是方程
的两实数根,则
的值为______.
4.已知
、
是关于
的方程
的两个实数根,且
+
=
,则
=
.
5.设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)= .
6.若方程
的两根为a、β,则
.
7.若方程
的两根之比是2:3,则k=
.
8.请写出一个二次项系数为1,两实根之和为3的一元二次方程: .
三、解答题
1.已知关于x的二次方程x2+mx-1=0的一个根是
,求另一个根及m的值.
2.已知关于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6,求k的值.
3.α,β是关于x的一元二次方程(m-1)x2-x + 1 = 0的两个实数根,且满足(α+1)(β+1) = m +1,求实数m的值.
4.已知关于x的方程
,问:是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
5.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O.
(1)求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程两根为x1、x2,且满足+ =-,求m的值.
参考答案
一、选择题
1.B; 2.C; 3.A; 4.A; 5.D; 6.D;
7.B.〖提示〗令x1>x2,因为x1+x2=-k,x1x2=1,所以x1-x2=
=1,所以k2-2=1,所以k=±
.
8.B.提示:因为x1x2=-
,所以2x1=-
,所以x1=-
,又x1+x2=
,所以k=5×(
)=-7.
二、填空题
1.
;
2.6;
3.10;
4.
;
5.
;
6.10; 7.3; 8.答案不唯一,如x2-3x-2=0等;
三、解答题
1.设方程的另一个根为x1,那么(
)·x1=-1,所以x1=-
.
又因为
,所以m=2.所以方程的另一个根为
.
2.设方程的两根 x1、x2,则x1+x2=k+1,x1x2=k+2.因为x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=6,即(k+1)2-2(k+2)=6,解之,得k=±3.当k=3时,△=(k+1)2-4(k+2)=42-4×5<0.当k=-3时,△=(-2)2-4(-1)=8>0.
所以k=3不合题意,舍去,故k=-3.
3.根据题意,得α+β=
,αβ=
,且m-1≠0.
因为(α+1)(β+1)
= m +1,所以αβ+(α+β)=m,所以
+
=m,所以m2-m-2=0,所以m1=2,m2=1(不合题意,舍去).即实数m的值为2.
4.设方程
的两实数根是x1、x2,假设存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于56,则x12+x22=56,所以(x1+x2)2-2x1x2=56,又因为x1+x2=2(m-2),x1x2=m2,
所以4(m-2)2-2m2=56,所以m2-8m-20=0,所以m1=-8,m2=10.
因为m为正数,所以m=-8舍去.
当m=10时,原方程变形为x2-16x+100=0,该方程的△=(-16)2-4×100<0,与该方程有两个实数根相矛盾.
所以不存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于56.
5.(1)证明:因为一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O的根的判别式
△=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5.
因为不m取何值时,m2≥0,所以16m2+5总大于0,即不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)因为方程两根为x1、x2,所以x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1,
因为+
=-,所以
,所以
,所以m=
.
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