4.6 一元二次方程根与系数的关系

同步练习

一、选择题

1．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）

A．2 B．1 C．―1 D．3

2．若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且满足 .则k的值为（　　）

A．－1或 　 B．－1　 C． 　 D．不存在

3．方程x²-3x-6=0与方程x²-6x+3=0的所有根的乘积为（ ）

A．-18 B．18 C．-3 D．3

4．若x₁，x₂是一元二次方程2x²-3x+1=0的两个根，则x₁²+x₂² 的值是（ ）

A． B． C． D．7

5．若关于x的一元二次方程2x²－2x＋3m－1＝0的两个实数根x₁，x₂，且x₁·x₂＞x₁＋x₂－4，则实数m的取值范围是（ ）

A．m＞ B．m≤ C．m＜ D． ＜m≤

5．已知方程x²+(2k+1)x+k²－2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）

A．3 B．－3 C．1 D．－3或1

6．下列说法中不正确的是（ ）

A．方程x²+2x-7=0的两实数根之和为－2

B．方程x²-3x-5=0的两实数根之积为-5

C．方程x²-2x-7=0的两实数根的平方和为18

D.方程x²-3x-5=0的两实数根的倒数和为

7．如果x的方程x²+kx+1=0的两根的差为1，那么k的值为（ ）

A．±2 B．± C．± D．±

8．已知关于x的方程5x²+kx-6=0的一个根为2，设方程的另一个根为x₁，则有（ ）

A．x₁= ，k=-7 B．x₁=- ，k=-7 C．x₁=- ，k=7 D．x₁= ，k=7

二、填空题

1．已知一元二次方程 的两根为 、 ，则 　．

2．如果 ， 是方程 的两个根，那么 ＝ ．

3．已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为______．

4．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ＋ ＝ ，则 ＝ ．

5．设x₁、x₂是方程2x²+4x-3=0的两个根，则(x₁+1)(x₂+1)= ．

6．若方程 的两根为a、β，则 ．

7．若方程 的两根之比是2：3，则k= ．

8．请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： ．

三、解答题

1．已知关于x的二次方程x²+mx-1=0的一个根是 ，求另一个根及m的值．

2．已知关于x的方程x²－（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．

3．α，β是关于x的一元二次方程(m－1)x²－x + 1 = 0的两个实数根，且满足(α+1)(β+1) = m +1，求实数m的值．

4．已知关于x的方程 ，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

5．已知关于x的一元二次方程x²+(4m+1)x+2m-1=O．

(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程两根为x₁、x₂，且满足+ =－，求m的值．

参考答案

一、选择题

1．B； 2．C； 3．A； 4．A； 5．D； 6．D；

7．B．〖提示〗令x₁＞x₂，因为x₁+x₂=-k，x₁x₂=1，所以x₁-x₂=

=1，所以k²-2=1，所以k=± ．

8．B．提示：因为x₁x₂=- ，所以2x₁=- ，所以x₁=- ，又x₁+x₂= ，所以k=5×（ ）=-7．

二、填空题

1． ； 2．6； 3．10； 4． ； 5． ；

6．10； 7．3； 8．答案不唯一，如x²-3x-2=0等；

三、解答题

1．设方程的另一个根为x₁，那么（ ）·x₁=－1，所以x₁=－ ．

又因为 ，所以m=2．所以方程的另一个根为 ．

2．设方程的两根 x₁、x₂，则x₁+x₂=k+1，x₁x₂=k+2．因为x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²―2x₁x₂=6，即(k+1)²－2（k+2）=6，解之，得k=±3．当k=3时，△=(k+1)²－4（k+2）=4²－4×5＜0．当k=－3时，△=(-2)²－4（-1）=8＞0．

所以k=3不合题意，舍去，故k=－3．

3．根据题意，得α+β= ，αβ= ，且m-1≠0．

因为(α+1)(β+1) = m +1，所以αβ+（α+β）=m，所以 + =m，所以m²-m-2=0，所以m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．即实数m的值为2．

4．设方程 的两实数根是x₁、x₂，假设存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，则x₁²+x₂²=56，所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=56，又因为x₁+x₂=2（m-2），x₁x₂=m²， 所以4(m-2)²-2m²=56，所以m²-8m-20=0，所以m₁=-8，m₂=10．

因为m为正数，所以m=-8舍去．

当m=10时，原方程变形为x²－16x+100=0，该方程的△=（-16）²-4×100＜0，与该方程有两个实数根相矛盾．

所以不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于56．

5．（1）证明：因为一元二次方程x²+(4m+1)x+2m-1=O的根的判别式

△=(4m+1)²－4（2m-1）=16m²+8m+1-8m+4=16m²+5．

因为不m取何值时，m²≥0，所以16m²+5总大于0，即不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）因为方程两根为x₁、x₂，所以x₁+x₂=－（4m+1），x₁x₂=2m－1，

因为+ =－，所以 ，所以 ，所以m= ．