一元二次方程根的判别式 练习题

 （一）填空

1．方程x²＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．

2．a是有理数，b是____时，方程2x²＋（a＋1）x-（3a²-4a＋b）=0的根也是有理数．

3．当k＜1时，方程2（k+1）x²＋4kx+2k-1=0有____实数根．

5．若关于x的一元二次方程mx²+3x-4=0有实数根，则m的值为____．

6．方程4mx²-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．

7．方程x²-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是 ，则m= ，n= _。

8．一元二次方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b²-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．

9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m²）x²+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．

10．若关于x的二次方程kx²+1=x-x²有实数根，则k的取值范围是____．

11．已知方程2x²-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．

12．若方程a（1-x²）＋2bx＋c（1＋x²）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．

13．二次方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．

14．若一元二次方程（1-3k）x²＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．

15．方程（x²＋3x）²+9（x²+3x）＋44=0解的情况是＿解．

16．如果方程x²＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x²-p（1＋q）x＋q³＋2q²＋q=0____实根．

（二）选择

那么α=    [    ]．

18．关于x的方程：m（x²＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为[    ]．

19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x²-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [    ]．

A．2个；            B．1个；            C．0个；             D．不确定．

20．如果m为有理数，为使方程x²-4（m-1）x＋3m²-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为[    ]．

则该方程 [    ]．

A．无实数根；   B．有相等的两实数根；

C．有不等的两实数根；    D．不能确定有无实数根．

22．若一元二次方程（1-2k）x²+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是     [    ]．

A．2；                  B．0；                

C．1；                D．3．

23．若一元二次方程（1-2k）x²+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是  [    ]．

A．1；                  B．2；                

C．-1；              D．0．

24．方程x²+3x+b²-16=0和x²+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是[    ]．

A．4；      B．-7； C．4或-7；      D．所有实数．

  [    ]．

A．两个相等的有理根；   B．两个相等的实数根；

C．两个不等的有理根；   D．两个不等的无理根．

26．方程2x（kx-5）-3x²+9=0有实数根，k的最大整数值是        [    ]．

A．-1；                B．0；               

  C．1；                  D．2．

29．若m为有理数，且方程2x²＋（m＋1）x-（3m²-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [    ]．

A．4；                 B．1；                 

C．-2；                 D．-6．

30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是  [    ]．

A．1；                 B．2；                 

C．3；                  D． 4．

（三）综合练习

有两个相等的实数根．求证：a²+b²=c²．

32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a²x²+（a²＋b²－c²）x＋b²=0无解．

33．当a，b为何值时，方程x²+2（1+a）x＋（3a²+4ab＋4b²＋2）=0有实数根．

34．已知：关于x的方程x²+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．

35．一元二次方程（m-1）x²+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．

36．k为何值时，方程x²+2（k-1）x+ k²+2k-4=0：

（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．

37．若方程3kx²-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．

38. m是什么实数值时，方程2（m＋3）x²＋4mx＋2m-2=0：

（1）有两个不相等的实数根；   （2）没有实数根．

39．若方程3x²-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．

40．若方程（k+2）x²+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．

41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x²＋（a＋1）x-（3a²-4a＋b）＝0的根对于a的任何值均是有理数？

42．k为何值时，方程k²x²＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两不等的实根；（2）有两相等的实根； （3）没有实数根．

43．已知方程（b-x）²-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证

（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．

44．若方程（c²＋a²）x＋2（b²-c²）x＋c²-b²=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．

参考答案 

（一）填空

1．2 2．1 3．有两个不相等的 4．6，-4

6．16 7．4，1 8．两个有理数根 9．m=0

11．m，n为不等于零的任意实数 12．b²-c²+a²=0 13．任意实数

14．k≤1 15．无实数 16．也有相等的

（二）选择

17．B    18．A    19．A    20．B    21．C 22．A    23．B    24．A    25．B    26．D 29．B    30．C

（三）综合练习

已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，

即 得4m（a²-c²+b²）=0．由于m＞0，所以a²-c²+b²=0，即a²+b²=c²．

32．提示：Δ＝（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．

33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］²-4（3a²+4ab+4b²+2）=-4[（1-a）²+（a+2b）²]≥0．又因为（1-a）²≥0，（a+2b）²≥0，故而有（1-a）²+（a+2b）²≥0，所以只有-4[（1-a）²+（a+2b）²]=0，即（1-a）²+（a+2b）²=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．

34．2≤b≤6．提示：方法一 Δ=（a-8）²-4（12-2b）≥0，即a²+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]²-4×16≤0，即有b²-8b+12≤0，解之2≤b≤6．

方法二  Δ=（a-8）²-4（12-2b）=a²+4a（b-4）+16

={a²+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]²}-[2（b-4）]²+16

=[a+2（b-4）]²-4[（b-4）²-4]≥0．

因此只能（b-4）²-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．

35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）²-4

k的最大整数值为2．

40．-4．

41．b=1．提示：Δ=（a+1）²+8（3a²-4a+b）=25a²-30a+8b+1．由于25a²-30a+8b+1应为a的完全平方式．所以（-30）²-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．

42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．

43．（1）（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．

44．提示：Δ=[2（b²-c²）]²-4（c²+a²）（c²-b²）=4（b²-c²）（b²-c²+a²+c²）=4（b+c）（b-c）（b²+a²）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b²+a²）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a²+b²≠0，只有b-c=0，解出b=c．