4 探索三角形相似的条件

一、请你填一填

（1）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.

图4—6—8

（2）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.

图4—6—9

（3）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.

图4—6—10

（4）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.

图4—6—11

二、认真选一选

（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）

图4—6—12

A. B.∠B=∠ADE

C. D.∠C=∠AED

（2）在平行四边形ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ）

A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9

（3）如图4—6—13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（ ）

图4—6—13

A.1 B.

C.2 D.4

三、开动脑筋

如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.

图4—6—14

四、用数学眼光看世界

如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？

图4—6—15

参考答案

一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似

（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似

（3）1.5 （4） 或

二、（1）C （2）D （3）D

三、（1）△AOB∽△DOC （2）△AOD∽△BOC

证明：（1）∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）

∴△AOB∽△DOC

（2）由（1）知△AOB∽△DOC

∴ ，

∴

又∵∠AOD=∠BOC

∴△AOD∽△BOC

四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE

∴△ABD∽△ECD ∴

将EC=50，BD=180，DC=60代入上式得：

，∴AB=150

即：小河的宽是150米.