第四章 锐角三角函数

4.4 解直角三角形的应用

基础导练

1.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为( )

A.150 米 B.180 米 C.200 米 D.220 米

2.小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（ ）

A.（20 -1.5）米 B.（20 +1.5）米 C.31.5 D.28.5

3.由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为45⁰、30⁰，若CD=100m，则山高AB等于（ ）

A.100m B.50 m C.50 m D.50（ +1）m

4.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是( )

A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2

5. 如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ，则两树间的坡面距离AB为

6.如图，甲、乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为 米.

能力提升

7.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)

8. 如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)

8. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.

10.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

参考答案

1.C 2.B 3.D 4.C 5. 6.（30+10 ）

7.解：作BD⊥AC于D.

由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，所以∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.

在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20× =10 (海里).

在Rt△BCD中，BC= = (海里).

答：此时船C与船B的距离是20 海里.

8.解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC=90°.

在Rt△ABD中，tan45°= ，所以AB=BD.

设AE=xm，则AF=(x+29)m，CF=BD=AB=(x+56)m.

因为在Rt△ACF中，tan36°52′= ，所以tan36°52′= .

因为tan36°52′≈0.75，所以 =0.75，解得x=52.

经检验x=52是原方程的根，且符合题意.

答：该铁塔的高AE为52 m.

9.解：在Rt△ADC中，因为AD∶DC=1∶2.4，AC=13，由AD²+DC²⁼AC²，得AD2+(2.4AD)2=132.所以AD=±5(负值不合题意，舍去).所以DC=12.在Rt△ABD中，因为AD∶BD=1∶1.8，所以BD=5×1.8=9.所以BC=DC-BD=12-9=3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米.

10.解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，所以CE∥GB∥FA.

所以∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.

所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.

又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，

所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.

在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10× =5(海里).

因为5海里＞4.8海里，所以渔船没有进入养殖场的危险.