【330994】4.4 解直角三角形的应用
第四章 锐角三角函数
4.4 解直角三角形的应用
基础导练
1.如图,从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为150米,且点A、D、B在同一直线上,建筑物A、B间的距离为( )
A.150
米
B.180
米
C.200
米
D.220
米
2.小强和小明去测量一座古塔的高度(如图),他们在离古塔60米的A处,用测角仪器得塔顶的仰角为30°,已知测角仪器高AD=1.5米,则古塔BE的高为( )
A.(20
-1.5)米
B.(20
+1.5)米
C.31.5
D.28.5
3.由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为450、300,若CD=100m,则山高AB等于( )
A.100m
B.50
m
C.50
m
D.50(
+1)m
4.某堤的横断面如图.堤高BC是5米,迎水斜坡AB的长时13米,那么斜坡AB的坡度是( )
A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2
如图,坡角为
的斜坡上两树间的水平距离AC为
,则两树间的坡面距离AB为
6.如图,甲、乙两幢楼之间的距离是30米,自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为30°,则乙楼的高度为 米.
能力提升
7.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土,为维护国家主权和海洋权利,我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)
如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m,楼的底部D与山脚在同一水平面上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)
某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.
10.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.
6.(30+10
)
7.解:作BD⊥AC于D.
由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.
在Rt△ABD中,BD=AB·sin∠BAD=20×
=10
(海里).
在Rt△BCD中,BC=
=
(海里).
答:此时船C与船B的距离是20
海里.
8.解:过点C作CF⊥AB,垂足为F,则∠AFC=90°.
在Rt△ABD中,tan45°=
,所以AB=BD.
设AE=xm,则AF=(x+29)m,CF=BD=AB=(x+56)m.
因为在Rt△ACF中,tan36°52′=
,所以tan36°52′=
.
因为tan36°52′≈0.75,所以
=0.75,解得x=52.
经检验x=52是原方程的根,且符合题意.
答:该铁塔的高AE为52 m.
9.解:在Rt△ADC中,因为AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132.所以AD=±5(负值不合题意,舍去).所以DC=12.在Rt△ABD中,因为AD∶BD=1∶1.8,所以BD=5×1.8=9.所以BC=DC-BD=12-9=3.答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米.
10.解:过点C作CE⊥BD,垂足为E,所以CE∥GB∥FA.
所以∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.
所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°,
所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.
在Rt△BCE中,CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×
=5(海里).
因为5海里>4.8海里,所以渔船没有进入养殖场的危险.
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