正多边形与圆

【基础巩固】

1．正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．

2．正十二边形的每一个外角为_______，每一个内角是_______，该图形绕其中心至少旋转_______才能和本身重合．

3．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_______cm．

4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_______．

5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．

6．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是 ( )

A．八边形 　　B．十二边形 　　C．十边形 　　D．九边形

7．边长为a的正六边形的内切圆的半径为( )

A．2a 　　　　　 B．a 　　　 C． a 　 D． a

8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为 ( )

A．2 　　　　 B．4 　　　　　C．8 　　　　　 D．16

9．如图，有一个⊙O和两个正六边形T₁、T₂．T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和⊙O相切(我们称T₁、T₂分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)．

(1)设T₁、T₂的边长分别为a、b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；

(2)求正六边形T₁、T₂的面积比S₁：S₂的值．

【拓展提优】

10．如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是( )

A．2 cm B． cm C． cm D．1 cm

　　　　　　 　　　　

11．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 ( )

A．40 B．50 C．60 D．80

12．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm²，则该半圆的半径为( )

A．(4＋ )cm　　　B．9 cm 　　 C．4 cm 　 D．6 cm

13．将一块正五边形纸片(图①)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是_______．

14．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 _______．

15．(1)如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_______．

(2)如图②，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数．

(3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？

　　

16．如图①，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个

△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．

(1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a₁；

(2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a₂；

(3)如图①，求正三角形的边长a_n(用含n的代数式表示)．

　　　　

17．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

(1)当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；

(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

参考答案

【基础巩固】

1．轴　n　中心　轴对称 中心对称　2．30°150°30°　3．4 　4．中心　

5．60°1 　 　120°　中心　6．C 　7．C　 8．A

9．(1)1：1；　 ：2．　(2)3：4．

【拓展提优】

10．A 11．A 12．C 13． 72°　14．

15．(1)12　(2)图略，这个图形的边数是20 (3)图略，得到的图形的边数是30 　

16．(1)a₁＝ 　(2)a₂＝ 　(3)a_n＝

17．(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，

∴ AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD交AC于O。

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA= AC。

∴OB= AB=1。∴OA= ，AC=2OA=2 。

运动ts后，AP= t，AO=t，∴ 。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.∴PQ∥BC.

( 2)如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= 。

由 PM=PQ=AQ=t，即 =t，解得t= ，

此时⊙P与边BC有一个公共点。

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴当 时，⊙P与边BC有2个公共点。

如 图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即 =t

∴t= 。

∴当1≤t≤ 时，⊙P与边BC有一个公共点。

当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，

此时，⊙P与边BC有一个公共点。

综上所述，当t= 或1≤t≤ 或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当 时，⊙P与边BC有2个公共点。