期末学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

1．二次函数y＝－(x＋3)²＋9的图象的顶点坐标是(　　)

A．(－3，9) B．(3，9) C．(9，3) D．(9，－3)

2．下列调查适合采用普查的是(　　)

A．调查某综艺节目的收视情况

B．调查神舟十六号载人飞船的零部件合格情况

C．调查一个大型池塘中现有鱼的数量

D．调查某城市的空气质量

3．若A(－1，7)、B(5，7)是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是(　　)

A．直线x＝1

B．直线x＝2

C．直线x＝3

D．直线x＝4

4．如图，C、D是⊙O上两点，且位于直径AB两侧，连结BC、CD、BD，若∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为(　　)

A．85° B．75° C．70° D．65°

5．若A(－3，y₁)，B，C(2，y₃)在二次函数y＝x²＋2x＋c的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是(　　)

A．y₂＜y₁＜y₃ B．y₁＜y₃＜y₂ C．y₁＜y₂＜y₃ D．y₃＜y₂＜y₁

6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为(　　)

A．38° B．28° C．30° D．40°

7．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则AB的长为(　　)

A. B. C. D.

8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝－x²＋x＋6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新图象记为G(如图所示)，当直线y＝－x＋m与图象G有4个交点时，m的取值范围是(　　)

A．－＜m＜3

B．－＜m＜－2

C．－2＜m＜3

D．－6＜m＜－2

二、填空题(每题3分，共18分)

9．为了解某市参加中考的32 000名学生的体重情况，随机抽查了其中1 600名学生的体重进行统计分析，则该抽样调查中样本容量是________．

10．如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(3，0)，则不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是________．

11．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，过点D作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm.

12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x²＋mx＋3的图象过点(4，3)，当0≤x≤a 时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是________．

13．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪)，如图①.在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80 m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20 m，喷水口A、B距地面均为4 m．若两辆消防车同时后退10 m，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面________m.

14．如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连结OM，则OM的最大值为________．

三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)

15．如图，已知C、D是以AB为直径的⊙O上的两点，连结BC、OC、OD、AD、CD，若OD∥BC，求证：AD＝CD.

16．如图，平面直角坐标系中有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过点A(0，4)，B(－4，4)，C(－6，2)．

(1)作出该圆弧所在圆的圆心M，并写出点M的坐标；

(2)连结AM，CM，求扇形AMC的面积．

17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x²＋bx＋c的图象过点A(1，0)和B(0，－3)．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)求此二次函数图象的顶点坐标；

(3)此二次函数图象经过平移，能得到二次函数y＝(x＋5)²－2的图象吗？若能，请直接写出平移方法；若不能，请说明理由．

18．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，点E为⊙O上一点，AD＝DE，延长DE，交AB的延长线于点C.

(1)求证：CD与⊙O相切；

(2)若AC＝6，∠C＝30°，求线段EC的长．

19．为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2 500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行统计分析，发现考试成绩x(分)的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．

成绩x(分)	频数(人数)	频率
50＜x≤60	a	0.1
60＜x≤70	18	0.18
70＜x≤80	b	n
80＜x≤90	35	0.35
90＜x≤100	12	0.12
合计	100	1

　　　

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

(1)填空：a＝________，b＝________，n＝________；

(2)将频数分布直方图补充完整；

(3)该校对考试成绩为90＜x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比为1∶3∶6，请你估计全校获得二等奖的学生有多少名．

20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x²－3x与x轴交于点A和点O，与y轴垂直的直线l交该抛物线于点B和点C，设点B的纵坐标为n.

(1)求线段OA的长；

(2)当函数值y随x增大而增大时，直接写出自变量x的取值范围；

(3)当线段BC的长小于OA时，直接写出n的取值范围．

21．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该大米成本为每千克12元，销售价格不低于成本，且不超过22元/kg，根据各销售渠道的反馈，发现该大米一天的销售量y(kg)是该天的售价x(元/kg)的一次函数，部分数据如表：

售价x(元/kg)	…	14	16	18	…
销售量y(kg)	…	800	700	600	…

(1)求一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

(2)若某天销售这种大米获利3 250元，则这天该大米的售价为多少？

(3)该大米售价定为多少时，当天获利最大？最大利润为多少？

22．(1)【感悟】

如图①，把直角三角尺的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，连结MN，则线段MN为圆形玻璃镜的直径．此结论体现的数学道理是________________________．

(2)【应用】

如图②，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB＝90°，过点A作AD垂直于⊙O的切线CD，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，求AD的长．

(3)【拓展】

如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在△ABC外作等腰直角三角形ACD，点E为BC的中点，连结DE，请直接写出∠ADE＋∠DEC的度数．

23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC的中点，直线OD与⊙O相交于E、F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连结PA、PC、AF，且∠PCA＝∠ABC.

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)求证：EF²＝4OD·OP；

(3)若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．

24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1，0)、B在抛物线y＝x²＋bx＋c上，点C为该抛物线的顶点．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m.

(1)求该抛物线对应的函数关系式；

(2)连结BP，当BP⊥y轴时，顺次连结点A、B、C、P，求四边形ABCP的面积；

(3)当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间(包含点B和点P)的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为k、n，若k－n＝2，求m的取值范围；

(4)当点P在第四象限时，作点P关于点O的对称点Q，以PQ为对角线构造矩形PMQN，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点A、B在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图象为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，最低点在该矩形边所在的直线记为l，若点C到直线l的距离等于d，直接写出m的值．

答案

一、1.A　2.B　3.B　4.D　5.A　6.C　7.C

8．D　点拨：如图，设图象G与x轴交点为A，B，当y＝0时，－x²＋x＋6＝0，

解得x₁＝－2，x₂＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．

由题意得当－2≤x≤3时，图象G的表达式为y＝x²－x－6.

当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；

当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x²－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x²－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，则易得m＝－6，所以当直线y＝－x＋m与图象G有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.

二、9.1 600　10.－1＜x＜3

11．50　12.2≤a≤4　13.19　14.＋

三、15.证明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.

∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠OCB，

∴∠AOD＝∠COD，∴AD＝CD.

16．解：(1)如图，连结AB、BC，分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线交于点M.点M的坐标为(－2，0)．

(2)如图，圆弧所在圆的半径为＝2 ，

∴S_扇形AMC＝＝5π.

17．解：(1)把A(1，0)和B(0，－3)的坐标代入y＝x²＋bx＋c，得

解得

∴此二次函数的表达式为y＝x²＋2x－3.

(2)∵y＝x²＋2x－3＝(x＋1)²－4，

∴此二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)．

(3)能．(平移方法不唯一)将此二次函数图象先向左平移4个单位，再向上平移2个单位．

18．(1)证明：连结AE、OE.

∵AD＝DE，AO＝EO，

∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠AEO，∴∠DAO＝∠DEO.

∵AD⊥AB，∴∠DAO＝90°，∴∠DEO＝90°，∴OE⊥CD.

又∵OE是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．

(2)解：设⊙O的半径为r，则OC＝AC－OA＝6－r，由(1)可得∠OEC＝90°.

∵∠C＝30°，∴OE＝OC，

∴r＝(6－r)，解得r＝2，∴OC＝6－2＝4，

∴EC＝＝＝2 .

19．解：(1)10；25；0.25

(2)补全的频数分布直方图如图所示．

(3)因为2 500×0.12×＝90(名)，

所以估计全校获得二等奖的学生有90名．

20．解：(1)令y＝0，则x²－3x＝0.解得x₁＝0(舍去)，x₂＝3.

∴点A的坐标为(3，0)．∴OA＝3.

(2)x的取值范围为x＞.

(3)当线段BC的长小于OA时，n的取值范围为－＜n＜0.

21．解：(1)设一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式为y＝kx＋b，

由题意得解得所以一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式为y＝－50x＋1 500(12≤x≤22)．

(2)由题意，得(x－12)(－50x＋1 500)＝3 250，解得x＝17或x＝25(舍)，

所以这天该大米的售价为17元/kg.

(3)设当天获利w元，由题意，得w＝(x－12)(－50x＋1 500)＝－50(x－21)²＋4 050，因为－50＜0，

所以当x＝21时，w有最大值4 050，即该大米售价定为21元/kg时，当天获利最大，最大利润为4 050元．

22．解：(1)【感悟】90°的圆周角所对的弦是圆的直径

(2)【应用】连结AB，CO，如图．

∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，AB＝＝＝5.

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.

∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC.

∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，

∴＝，即＝，∴AD＝.

(3)【拓展】∠ADE＋∠DEC＝105°.

23．(1)证明：∵D是AC的中点，

∴OD⊥AC，∴PD是AC的垂直平分线，

∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠ABC＝90°.

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA＋∠CAB＝90°，

∴∠PAC＋∠CAB＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

(2)证明：由(1)知∠ODA＝∠OAP＝90°.

又∵∠AOD＝∠POA，

∴Rt△AOD∽Rt△POA，

∴＝，

∴OA²＝OD·OP.

又∵OA＝AB＝EF，

∴EF²＝OD·OP，即EF²＝4OD·OP.

(3)解：设AD＝2a(a＞0)，在Rt△ADF中，

∵tan∠AFD＝＝，

∴DF＝3a.

∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠DAO＝∠CAB，

∴△ADO∽△ACB，∴＝＝，∴OD＝BC＝4，

∴AO＝OE＝OF＝3a－4.

∵OD²＋AD²＝AO²，∴4²＋(2a)²＝(3a－4)²，

解得a＝或a＝0(舍去)，

∴DE＝OE－OD＝3a－4－4＝.

24．解：(1)∵点A(－1，0)、B在抛物线y＝x²＋bx＋c上，

∴解得

∴该抛物线对应的函数关系式为y＝x²－2x－.

(2)如图，∵y＝x²－2x－＝(x－2)²－，

∴该抛物线的顶点坐标为C，

∵BP⊥y轴，

∴点B与点P关于直线x＝2对称，∴BP＝4，

∴四边形ABCP的面积为×4×＋×4×＝9.

(3)①当0＜m＜2时，k＝－m²＋2m＋，n＝.

∵k－n＝2，

∴－m²＋2m＋－＝2，

解得m₁＝m₂＝2(舍去)；

②当2≤m≤4时，k＝，n＝，

∴k－n＝2，

∴m的取值范围为2≤m≤4；

③当4＜m＜5时，k＝，n＝－m²＋2m＋.

∵k－n＝2，∴－＝2，

解得m₁＝0(舍去)，m₂＝4(舍去)；

④当m≥5时，k＝，n＝m²－2m－.

∵k－n＝2，

∴－＝2，

解得m₁＝2＋，m₂＝2－(舍去)．

综上所述，m的取值范围为2≤m≤4或m＝2＋.

(4)或2＋或.