第27章学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为(　　)

A．80° B．76° C．62° D．52°

2．如图，在⊙O中，若C是AB的中点，∠AOB＝80°，则∠AOC的度数为(　　)

A．40° B．45° C．50° D．60°

3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连结OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是(　　)

A．40° B．50° C．55° D．60°

4．如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P＝30°，若直线PA是⊙O的切线，则∠ACP的度数为(　　)

A．20° B．30° C．15° D．25°

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为(　　)

A．4 B．2 C. D．4

6．如图，已知A、B、C是⊙O上三点，OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC的延长线于点P，则AP的长为(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

7．如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)

A. B．2 C．4＋2 D．4－2

8．如图，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC、PD与⊙O相切，切点分别为C、D，若AB＝4，PC＝4，则sin∠CBD等于(　　)

A. B. C. D.

二、填空题(每题3分，共18分)

9．若⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相交，则d________5.(填“＞”“＜”或“＝”)

10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．

11．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为________m.

12．若圆锥的底面半径为5，高为12，则圆锥的侧面展开图的面积是________．

13．扇子古称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装．来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为135°，AB的长为30 cm, 扇面BD的长为20 cm，则扇面面积为________cm².

14．如图，正方形ABCD的边长为6，G为边CD的中点，动点E，F分别从B，C同时出发，以相同速度沿直线向各自终点A，B移动，连结CE，DF交于点P，连结BP，则BP的长度的最小值为________．

三、解答题(第15，16题每题6分，第17～19题每题9分，第20，21题每题12分，第22题15分，共78分)

15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为CD的中点，连结AM，BM，OA，OM.

(1)求证：AM＝BM；

(2)求∠AOM的度数．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若AB＝6，∠BAC＝54°，求AD的长．

18．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC.

(1)求证：DE⊥AC；

(2)若BC＝4，AD＝3，求AE的长．

19．如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.

(1)求证：∠D＝∠ABC；

(2)若OE＝CE，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．

20．【探究】小明遇到这样一个问题：如图①，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上(点P不与点A、C重合)，连结PA、PB、PC.求证：PB＝PA＋PC.小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证．

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，如图①.

∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.

∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE.

∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，

∴△PBC≌△EBA.

请你补全余下的证明过程．

【应用】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC.若PB＝2 PA，则的值为______．

21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，AB＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

(1)求证：∠1＝∠BCE；

(2)求证：BE是⊙O的切线；

(3)若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA.

22．如图①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O与内心I之间的距离OI＝d，则有d²＝R²－2Rr.

下面是上述结论的证明过程(部分)：连结AI并延长交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连结DM、AN.

∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI，

∴△MDI∽△ANI，∴＝，

∴IA·ID＝IM·IN.(a)

如图②，在图①(隐去MD、AN)的基础上作⊙O的直径DE，连结BE、BD、BI、IF.

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA.

∵∠BAD＝∠E，∴△AIF∽△EDB，

∴＝，∴IA·BD＝DE·IF.(b)

(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝________(用含R，d的代数式表示)；

(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)请观察式子(a)和式子(b)，并利用(1)(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该结论证明的剩余部分；

(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为________cm.

答案

一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.B　6.B　7.D　8.C

二、9.＜　10.1　11.1.3　12.65π　13.300π

14．3 －3　点拨：由题意得BE＝CF，∠EBC＝∠FCD，BC＝CD，

∴△EBC≌△FCD，∴∠ECB＝∠FDC，

∵∠ECB＋∠DCP＝90°，

∴∠FDC＋∠DCP＝90°，∴∠DPC＝90°，

∴点P在以DC为直径的圆上运动．连结BG，易知当点P在线段BG上时BP的长最短，GP＝CD＝3，由勾股定理，得BG＝3 ，

∴BP的长度的最小值为3 －3.

三、15.解：∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6.

∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3.

在Rt△ODB中，OD＝＝3 .

16．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∴AD＝BC.∵M为CD的中点，∴DM＝CM，

∴AD＋DM＝BC＋CM，∴AM＝BM，∴AM＝BM.

(2)解：连结OB.

∵正方形ABCD内接于⊙O，∴易得∠AOB＝90°.

∵AM＝BM，∴∠AOM＝∠BOM＝×(360°－90°)＝135°.

17．(1)证明：连结AE.∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.

(2)解：连结OD.∵AB＝6，∴OA＝3.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAC＝54°，

∴∠AOD＝180°－2×54°＝72°，

∴AD的长为 ＝.

18．(1)证明：如图，连结OD.

∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，

∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴DE⊥AC.

(2)解：如图，连结CD.

∵AC＝BC，BC＝4，∴AC＝4.

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴易得∠AED＝∠ADC，

∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，

∴＝，即＝，解得AE＝.

19．(1)证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠ABC＝90°.

∵DO⊥AB，∴∠A＋∠D＝90°，∴∠D＝∠ABC.

(2)解：设∠B＝α，则易得∠BCO＝α，

∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α.

在△BCO中，α＋α＋90°＋α＝180°，

∴α＝30°，∴∠D＝∠ABC＝∠EOC＝30°，

∴CA＝AB＝3，∴CA＝OA＝3.

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴△ACB≌△AOD，∴S_△ABC＝S_△ADO，AD＝AB＝6.

∵AO＝BO＝3，

∴S_△AOC＝S_△ABC，OD＝＝3 ，

∴S_阴影＝×3×3 －－××3×3 ＝－.

20．解：【探究】余下的证明过程如下：

∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，

∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°，

即∠EBP＝60°，∴△PBE是等边三角形，

∴PB＝PE＝PA＋AE＝PA＋PC.

【应用】　点拨：延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，如图．

∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，

∴∠BAP＋∠BCP＝180°.

∵∠BAP＋∠BAE＝180°，

∴∠BCP＝∠BAE.

∵AB＝CB，∴△PBC≌△EBA.

∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝90°，即∠EBP＝90°，∴△PBE是等腰直角三角形，∴PB²＋BE²＝PE²，

∴2PB²＝PE²，即PE＝PB.

∵PE＝PA＋AE＝ PA＋PC，∴PA＋PC＝PB.

∵PB＝2 PA，∴PA＋PC＝×2 PA＝4PA，∴PC＝3PA，

∴＝＝.

21．(1)证明：过点B作BF⊥AC于点F.

∵AB＝BD，∴AB＝BD.在△ABF与△DBE中，

∴△ABF≌△DBE，∴BF＝BE，

∴∠1＝∠BCE.

(2)证明：连结OB.∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，∴∠1＋∠BAC＝90°.

∵BE⊥DC，∴∠BCE＋∠EBC＝90°，

又∵∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC.

∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，

∴∠OBE＝∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝∠ABC＝90°，

∴BE是⊙O的切线．

(3)解：由(1)易得Rt△EBC≌Rt△FBC，

∴CF＝CE＝2.

∵△ABF≌△DBE，∴AF＝DE＝2＋8＝10，

∴AC＝CF＋AF＝2＋10＝12.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.

∵∠DBA＝∠DCA，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.

22．解：(1)R－d

(2)BD＝ID，理由：∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI.

∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，

∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID.

(3)由(2)知，BD＝ID，∴IA·ID＝DE·IF.

又∵IA·ID＝IM·IN，∴DE·IF＝IM·IN，

∴2R·r＝(R＋d)(R－d)，∴2Rr＝R²－d²，

∴d²＝R²－2Rr.

(4)