【325450】吉林省九年级数学下册 第26章 二次函数学情评估（新版）华东师大版

第26章学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

1．下列函数中，是二次函数的是(　　)

A．y＝5x² B．y＝2²－2x C．y＝2x²－3x³＋1 D．y＝

2．抛物线y＝3x²－6x＋11的顶点坐标为(　　)

A．(1，8) B．(－1，8)

C．(－1，－8) D．(1，－8)

3．长春某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为(　　)

A．y＝5 000(1＋2x) B．y＝5 000(1＋x)²

C．y＝5 000(1－2x) D．y＝5 000(1－x)²

4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x²保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是(　　)

A．y＝2x²＋1 B．y＝2x²－1

C．y＝2(x－1)² D．y＝2(x＋1)²

5．已知点A(2，y₁)、B(3，y₂)、C(－1，y₃)均在抛物线y＝ax²－4ax＋c(a＞0)上，则y₁、y₂、y₃的大小关系为(　　)

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₁＜y₃＜y₂

C．y₂＜y₁＜y₃ D．y₂＜y₃＜y₁

6．函数y＝ax²＋bx＋c和y＝ax＋b(a≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)

7．若二次函数y＝－x²＋mx在－2≤x≤1内的最大值为5，则m的值是(　　)

A．－2 或6 B．2 或6

C．－或6 D．－或－2

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²经过平移得到抛物线y＝ax²＋bx，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a，b的值分别为(　　)

A.， B.，－ C.，－ D．－，

二、填空题(每题3分，共18分)

9．已知点P在抛物线y＝2x²上，则a等于________．

10．抛物线y＝x²＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．

11．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：

则不等式ax²＋bx＋c＞－3的解集为____________．

12．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m．则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为________．

(第12题) (第13题) (第14题)

13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y₁＝x²(x≥0)与y₂＝x²(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．

14．二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b²－4ac＜0.其中正确的是________．(填序号)

三、解答题(第15，16题每题6分，第17～19题每题9分，第20，21题每题12分，第22题15分，共78分)

15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．

16．如图，已知二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；

(2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围．

17．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x²＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．

(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．

18．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

19．现有一面12 m长的墙，某农户计划用28 m长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.

(1)若矩形养鸡场的面积为90 m²，求AD的长；

(2)求矩形养鸡场的最大面积．

20．如图，抛物线y＝ax²＋bx与x轴交于O，A两点，C(2，5)是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连结OP，OC，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标．

21．根据以下素材，探索完成任务．

22．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝－x²＋bx＋2(b是常数)经过点(2，2)．点A的坐标为(m，0)，点B在该抛物线上，横坐标为1－m，其中m<0.

(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)当点B在x轴上时，求点A的坐标；

(3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为2－m时，求m的值．

(4)当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连结AC、BO.若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点(不包括四边形AOBC的顶点)，设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D.当以点C、E、O、D(或以点C、F、O、D)为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．

答案

一、1.A　2.A　3.B　4.B

5．A　点拨：∵y＝ax²－4ax＋c，且a＞0，

∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝－＝2，

∴x≥2时，y随x的增大而增大．

∵C(－1，y₃)关于直线x＝2的对称点是(5，y₃)，

∴y₁＜y₂＜y₃.

6．A　7.C

8．C　点拨：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A和点B，连结OA、OB，

则S_阴影＝S_△OAB＝.由题意得a＝，

∴y＝ax²＋bx＝x²＋bx＝－，

∴点A的坐标为，

∴点B的坐标为 ，点O到AB的距离为－，∴AB＝，

∴S_△AOB＝××＝，解得b＝－.

二、9.或－　10.9　11.0＜x＜2

12．40 m　13.2　14.①②③

三、15.解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)²＋9，

将(－4，0)代入，得0＝9a＋9，

解得a＝－1，

∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)²＋9.

令x＝0，则y＝8，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，8)．

16．解：(1)∵二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)，

∴解得

∴表达式为y＝x²＋2x－5＝(x＋1)²－6，

∴图象的顶点坐标为(－1，－6)．

(2)当y≤－2时，－3≤x≤1.

17．解：(1)∵二次函数y＝－2x²＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)，

∴解得

∴这个二次函数的表达式为y＝－2x²－4x＋4.

∵y＝－2x²－4x＋4＝－2(x＋1)²＋6，

∴顶点坐标为(－1，6)．

(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位．

18．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，

将(20，100)，(25，50)代入，得

解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋300.

(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元，

根据题意，得w＝(x－10)(－10x＋300)＝－10x²＋400x－3 000＝－10(x－20)²＋1 000.

∵－10＜0，∴x＝20时，w最大，最大值为1 000.

答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元．

19．解：(1)设AD的长为x m，则AB的长为 m，

由题意可得x·＝90，解得x₁＝18(舍去)，x₂＝10.

答：AD的长为10 m.

(2)设AB为a m，面积为S m²，

则S＝a(28－2a)＝－2(a－7)²＋98，

∵0＜28－2a≤12，∴8≤a＜14，

∴当a＝8时，S取得最大值，此时S＝96.

答：矩形养鸡场的最大面积是96 m².

20．解：(1)∵C(2，5)是抛物线的顶点，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴A(4，0)，

∵点A(4，0)，C(2，5)在抛物线y＝ax²＋bx上，

∴解得

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋5x.

(2)∵OP恰好平分△COD的面积，

∴OP经过CD的中点.

设直线OP的表达式为y＝kx，则2k＝，解得k＝，

∴直线OP的表达式为y＝x，

解得

∴点P的坐标为.

21．解：任务1：以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(OA，OB方向为正方向)．根据题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)²＋0.45，把点A(0，0.25)的坐标代入，得0.25＝a(0－2)²＋0.45，解得a＝－，所以抛物线的表达式为y＝－(x－2)²＋0.45.令y＝0，得0＝－(x－2)²＋0.45，解得x₁＝5，x₂＝－1(不合题意，舍去)，

所以B(5，0)，所以OB＝5 m，

所以喷灌器OA与围墙的距离为5 m.

任务2：由题意，得CD＝0.4 m，BC＝0.8 m，

所以D(4.2，0.4)，由题易知当水柱经过点D时，喷水口A′距离地面高度最小．

设y＝－(x－2)²＋k，把D(4.2，0.4)的坐标代入，得0.4＝－×(4.2－2)²＋k，

解得k＝0.642，所以y＝－(x－2)²＋0.642，

当x＝0时，y＝－×(0－2)²＋0.642＝0.442，

所以OA′＝0.442 m，即喷水口A′距离地面高度的最小值为0.442 m.

22．解：(1)将点(2，2)的坐标代入y＝－x²＋bx＋2，得

2＝－4＋2b＋2，解得b＝2，

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋2x＋2.

∵y＝－x²＋2x＋2 ＝－(x－1)²＋3，∴顶点坐标为(1，3)．

(2)由y＝－x²＋2x＋2知，当y＝0时，－x²＋2x＋2＝0，解得x₁＝1－，x₂＝1＋.

∵抛物线上的点B在x轴上，横坐标为1－m，其中m<0，

∴1－m>1，∴1－m＝1＋，解得m＝－.

∵点A的坐标为(m，0)，∴A(－，0)．

(3)①当1<1－m<1＋，即－<m<0时，抛物线在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为顶点， 最低点为点P.

∵顶点坐标为(1，3)，由(2)知P(1－，0)，

∴3－0＝2－m，解得m＝－1.

②当1－m≥1＋，即m≤－时，抛物线在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为顶点，最低点为点B.

当x＝1－m时，y＝－x²＋2x＋2＝－(1－m)²＋2(1－m)＋2＝－m²＋3，即B(1－m，－m²＋3)，∴3－(－m²＋3)＝2－m，解得m₁＝－2，m₂＝1(舍去)．

综上所述， m＝－1或m＝－2.

(4)m＝－2＋或m＝2－2 或m＝－.