期中学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列选项中，y是x的反比例函数的是(　　)

A．y＝4x B.＝3 C．y＝－ D．y＝x²

2．若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是(　　)

A．5 B．10 C．20 D．40

3．如图，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、C，则矩形OABC的面积为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

(第3题) 　　 (第5题)

4．点A(－1，y₁)，B(1，y₂)在反比例函数y＝的图象上，则下列结论正确的是(　　)

A．0＜y₂＜y₁ B．0＜y₁＜y₂

C．y₂＜0＜y₁ D．y₁＜0＜y₂

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，将△OAB缩小到原来的，得到△OA′B′.若点A的坐标是(－2，4)，则点A′的坐标是(　　)

A．(1，2) B．(1，－2)

C．(－1，2) D．(－1，－2)

6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E在CD上，AE，BD相交于点F，若DEEC＝23，且DF＝4，则BD的长为(　　)

A．10 B．12 C．14 D．16

7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝kx－3(k≠0)的图象大致是(　　)

8．小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m．小芳比爸爸矮0.3 m，她在地面上的影长为(　　)

A．1.3 m B．1.65 m

C．1.75 m D．1.8 m

9．已知双曲线y＝与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点．若x₁＋x₂＝0，则y₁＋y₂的值是(　　)

A．0 B．正数

C．负数 D．随k的变化而变化

10．如图①，矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系如图②所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．当x＝3时，EC＜EM

B．当y＝9时，EC＞EM

C．当x增大时，EC·CF的值增大

D．当x变化时，四边形BCDA的面积不变

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．已知点P在反比例函数y＝的图象上，写出一个符合条件的点P的坐标________．

12．如图是反比例函数y＝图象的一支，则常数m的取值范围是________．

13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为________．

(第13题) 　　 (第14题)

14．如图，在测量凹透镜焦距时，将凹透镜嵌入直径为AB的圆形挡板中，用一束平行于凹透镜主光轴的光线射向凹透镜，在光屏上形成一个直径为CD的圆形光斑．测得凹透镜的光心O到光屏的距离OE＝36 cm，AB＝20 cm，CD＝50 cm，则凹透镜的焦距f为________cm.(f为焦点F到光心O的距离)

15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．

(第15题) 　　 (第16题)

16．如图，一次函数y＝x＋分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为反比例函数y＝(k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作y轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥PC交直线AB于点D.若AC·BD＝7，则k的值为________．

三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点(－3，2)．

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)在平面直角坐标系中画出该反比例函数的图象；

(3)若－3＜x＜－2，求y的取值范围．

18．(8分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．

(1)在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；

(2)B′C′的长度为________，△A′B′C′的面积为________．

19．(8分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.

(1)求证：△BDC∽△ABC；

(2)若BC＝4，AC＝8，求CD的长．

20．(8分)福州某学校科技创新小组用3D打印技术设计了一款胎压检测设备，为检测该设备的质量，在胎压检测设备内充满一定量的气体，当温度不变时，胎压检测设备内的气体的压强P(kPa)是气体体积V(mL)的反比例函数，其图象如图所示．

(1)求出该函数的解析式；

(2)若胎压检测设备内的气体的压强不能超过500 kPa，则气体体积要控制在什么范围？

21．(8分)如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心．

(1)求作过点I且平行于BC的直线，与AB，AC分别相交于点D，E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)若AB＝6，AC＝8，DE＝，求BC的长．

22．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点A作AC⊥y轴，交反比例函数y＝(k≠0)的图象于点C，连接BC.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积．

23．(10分)如图，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，∠CAB的平分线交CD于点F.

(1)求证：△ADB为等腰直角三角形；

(2)求证：DF²＝DE·DC.

24．(12分)如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.

(1)求m的值和反比例函数的解析式；

(2)将直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？

25．(14分)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC的边上，AB＝kAE，DE⊥AF，垂足为G，过点C作CH∥AF，交DE于点H.

(1)求证：AE＝BF；

(2)求的值；(用含k的代数式表示)

(3)如图②，当k＝2时，连接AH并延长，交DC于点M，求证：CM＝2DM.

答案

一、1.C　2.C　3.B　4.D　5.B　6.C　7.B　8.C　9.A

10．D

二、11.(1，5)(答案不唯一) 　12.m＞2　13.

14．24　15.

16．－　点拨：由题意易得PC∥x轴，PD∥y轴，设P(m，n)，则点C的纵坐标为n，点D的横坐标为m，

对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，

当y＝0时，x＝－，∴OA＝OB＝，

∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∴易得AC＝n，BD＝－m.

∵AC·BD＝7，∴－2mn＝7，∴mn＝－，∴k＝－.

三、17.解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点(－3，2)，

∴2＝，∴k＝－6，∴该反比例函数的解析式为y＝－.

(2)如图所示．

(3)由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，

∵－3＜x＜－2，∴2＜y＜3，即当－3＜x＜－2时，y的取值范围是2＜y＜3.

18．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

(2)3 ；9

19．(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，

∴△BDC∽△ABC.

(2)解：∵△BDC∽△ABC，∴＝，

∵BC＝4，AC＝8，∴＝，∴CD＝2.

20．解：(1)设反比例函数的解析式为P＝(k≠0)，

根据题意，得200＝，解得k＝6 000，

∴该函数的解析式为P＝(V>0)．

(2)当P＝500 kPa时，500＝，解得V＝12 mL.

∵压强P随着体积V的增大而减小，∴V≥12 mL.

21．解：(1)如图，DE是所求作的直线．

(2)∵点I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠IBC.

∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，

∴∠ABI＝∠DIB，∴DB＝DI.同理可证EI＝EC.

∵AB＝6，AC＝8，

∴△ADE的周长为AD＋DI＋EI＋AE＝AD＋DB＋EC＋AE＝AB＋AC＝6＋8＝14.

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，

∴＝，解得BC＝7.

22．解：(1)∵点B在一次函数y＝3x＋2的图象上，且点B的横坐标为1，当x＝1时，y＝3×1＋2＝5，∴点B的坐标为(1，5)．

∵点B在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，

∴5＝，则k＝5.∴反比例函数的解析式为y＝.

(2)∵一次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，

当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．

∵AC⊥y轴，∴点C的纵坐标为2.

∵点C在反比例函数y＝的图象上，

当y＝2时，x＝，∴AC＝.

过点B作BD⊥AC于点D，

∴BD＝y_B－y_C＝5－2＝3.

∴S_△ABC＝AC·BD＝××3＝.

23．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90° .

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°.∴AD＝BD.

∴△ADB为等腰直角三角形.

(2)由(1)得，△ADB为等腰直角三角形，

∴∠BAD＝∠ACD＝45°.

∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAF.

∴∠CAF＋∠ACD＝∠EAF＋∠BAD.

∴∠DFA＝∠DAF.∴AD＝DF.

∵∠DAE＝∠DCA＝45°，∠ADE＝∠CDA，

∴△ADE∽△CDA.

∴＝.∴DA²＝DE·DC.∴DF²＝DE·DC.

24．解：(1)∵直线y＝2x＋6经过点A(1，m)，

∴m＝2×1＋6＝8.∴A(1，8)．

∵反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A(1，8)，

∴8＝，即k＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.

(2)由题意易得M，N.

∵0<n<6，∴＜0，>0.

∴S_△BMN＝××n＝××n＝－(n－3)²＋.

∴当n＝3时，△BMN的面积最大．

25．(1)证明：∵DE⊥AF，

∴∠AGD＝90°，∴∠DAG＋∠ADE＝90°.

∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，

∴∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，

∴△ADE≌△BAF，∴AE＝BF.

(2)解：延长CH交AD于点P，

在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，AD∥BC.

∵CH∥AF，∴四边形AFCP是平行四边形，＝，

∴AP＝FC，∴DP＝BF.

∵AE＝BF，∴DP＝AE.∵AB＝kAE，∴AD＝kDP.

∵AP＝AD－DP＝(k－1)DP，

∴＝＝＝k－1.

(3)证明：∵AB＝kAE，k＝2，∴AB＝2AE.

设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝a，

∴在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝a.

∵在正方形ABCD中，∠DAE＝∠CDA＝90°，

∴∠ADE＋∠CDH＝90°.

∵DE⊥AF，∴∠DGF＝90°.

∵CH∥AF，∴∠DHC＝∠DGF＝90°，

∴∠DCH＋∠CDH＝90°，∠DAE＝∠DHC，

∴∠ADE＝∠DCH，∴△ADE∽△HCD，

∴＝，∴＝，∴DH＝，∴EH＝.

∵在正方形ABCD中，AB∥DC，

∴∠MDH＝∠AEH，∠DMH＝∠EAH，

∴△MDH∽△AEH，∴＝.∴＝.

∴DM＝a，∴CM＝CD－DM＝a，∴CM＝2DM.